УДК 620.179.14
СИГНАЛ НАКЛАДНОГО ВИХРЕТОКОВОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ АНАКСИАЛЬНОГО ТИПА, РАСПОЛОЖЕННОГО НАД ПРОВОДЯЩИМ ПОЛУПРОСТРАНСТВОМ
В.Г. Рыбачук, Я.П. Кулыныч
Получено точное аналитическое выражение, описывающее вносимое напряжение накладного вихретокового преобразователя анаксиального типа со смещенными осями возбуждающей и измерительной катушек, расположенного над проводящим немагнитным полупространством. Приведены годографы вносимого напряжения в комплексной плоскости, построенные по результатам численного анализа данного выражения. Установлено, что в отличие от аксиальных вихретоковых преобразователей анаксиальные преобразователи характеризуются большей фазовой чувствительностью вносимого напряжения к изменениям обобщенного параметра контроля р, а также тем, что с ростом значения данного параметра их годографы переходят из четвертого квадранта комплексной плоскости в третий и второй квадранты. Исследовано влияние конструктивных параметров анаксиального преобразователя на форму годографов его вносимого напряжения.
Ключевые слова: вихретоковый контроль, вихретоковый преобразователь, проводящее полупространство, вносимое напряжение, годограф вносимого напряжения.
Накладные вихретоковые преобразователи (ВТП) получили широкое распространение в вихретоковом контроле ввиду своей универсальности. Теоретическому анализу их работы посвящены многочисленные научные исследования, например [1—5]. Однако в большинстве этих и других работ в качестве модели накладного трансформаторного ВТП рассматривают осесимметричную систему из двух концентрических витков (или катушек), плоскости которых параллельны границе раздела проводящей среды, над которой они расположены. В то же время существует много типов накладных ВТП, конструктивно представляющих собой комбинацию двух или более индукционных катушек со смещенными осями. В таких преобразователях отсутствует осевая симметрия и поэтому их еще называют анаксиальными ВТП. К ним, например, относятся мультидифференцийные преобразователи, которые очень эффективны при решении задач вихретоковой дефектоскопии [6]. Для выявления закономерностей работы такой разновидности накладных трансформаторных ВТП используют модель в виде двух витков со смещенными осями [4]. С ее помощью исследовали поведение нормальной составляющей магнитного поля вихревых токов в центре измерительного витка. Вследствие неоднородности поля вихревых токов, возбуждаемых в проводящей среде витком с током, допустимость использования такой модели ограничивается случаями, когда радиус возбуждающего витка значительно больше радиуса измерительного витка (измерительная катушка зон-дового типа). Если же возбуждающая и измерительная катушки накладного ВТП имеют близкие по значению радиусы, то необходимо использовать более адекватную модель в виде двух несоосных витков, расположенных над проводящей средой, и рассматривать поведение вносимого напряжения измерительного витка.
Попытка проанализировать такую модель накладного ВТП предпринята в [7]. Однако полученное выражение для нормированного вносимого напряжения измерительной катушки является громоздким и сложным для численного анализа, так как содержит двойные несобственные интегралы
Владимир Георгиевич Рыбачук, канд. техн. наук, старший научный сотрудник Физико-механического института им. Г.В. Карпенко НАН Украины (г. Львов). Тел. (38032) 229-66-81, 263-32-00. E-mail: rybachuk@ipm.lviv.ua, vgryb@mail.ru
Ярослав Петрович Кулыныч, канд. техн. наук, старший научный сотрудник Физико-механического института им. Г.В. Карпенко НАН Украины (г. Львов). Тел. (38032) 263-32-00. E-mail: kulynych@ipm.lviv.ua
от функций Бесселя. Кроме того, в него вместо общепринятых в вихрето-ковом контроле обобщенных параметров входят в явном виде конструктивные параметры ВТП (радиусы измерительной и возбуждающей катушек, расстояние от катушек до поверхности контролируемого проводящего объекта, расстояние между осями катушек), что требует значительного объема вычислений для каждой конкретной конструкции ВТП. По этой причине в данной работе не рассматриваются годографы вносимого напряжения, а анализируется только поведение нормированной амплитуды и фазы вносимого напряжения от толщины стенки трубы при различных значениях смещения между осями катушек, нормированного к радиусу возбуждающей катушки. В связи с этим актуальным является получение точного выражения, описывающего вносимое напряжение измерительного витка анаксиального накладного ВТП, позволяющее анализировать его годографы в комплексной плоскости при изменении обобщенных параметров контроля и конструктивных параметров преобразователя.
Постановка задачи. Рассмотрим систему в виде совокупности возбуждающего и измерительного витков, оси которых смещены относительно друг друга на величину I (рис. 1). Плоскости витков параллельны поверхности проводящего немагнитного полупространства, удельная электрическая проводимость (УЭП) которого равна с; радиус возбуждающего витка Я; измерительного — г. Возбуждающий виток находится на высоте Нв над поверхностью полупространства, а измерительный виток — на высоте Ни. Поперечное сечение витков считаем бесконечно малым по сравнению с их размерами. В возбуждающем витке протекает гармонический ток, который описывается зависимостью I ехр(/ю() (ю — круговая частота), М — произвольная точка в плоскости измерительного витка. Необходимо получить аналитическое выражение для вносимого напряжения измерительного витка, которое возникает под действием электромагнитного поля вихревых токов, протекающих в проводящем полупространстве.
б
а — вид сбоку; б — вид сверху.
Вывод исходных выражений. Поскольку плоскость измерительного витка является параллельной поверхности проводящего полупространства, то вносимое напряжение определяется следующим образом [8]:
ивн = /иЦ0И, (1)
где Н * — нормальная составляющая вектора напряженности магнитного поля вихревых токов в воздухе над проводящим полупространством; ц0 = 4 л 10-7 Гн/м — магнитная постоянная.
На основании известных выражений для напряженности магнитного поля и вектор-потенциала поля вихревых токов, возбуждаемых витком в проводящем полупространстве [1], Н ^составляющую можно представить в следующем виде:
Т? 7 Я 1
Н*(р,2) = " 2р I^ ) ф ^ехр^+ кЯСС+Х dх, (2)
где с = ^Х + /иц с , Яе с > 0; Jn (х) - функция Бесселя действительного аргумента первого рода п порядка; X — параметр преобразования интегрального преобразования Фурье—Бесселя; (р, ф, — цилиндрическая система координат, связанная с декартовой системой координат (х, у, * ), центр которых О находится на поверхности проводящего полупространства, а ось * проходит через центр возбуждающего витка.
Для того чтобы определить 11вн, согласно выражению (1), введем две системы координат: цилиндрическую (р', ф', *') и связанную с ней декартову систему (х1, у', *'). Общий центр этих систем координат О' находится на поверхности полупространства, а ось *' проходит через центр измерительного витка (см. рис. 1). Тогда двойной интеграл в выражении (1) для внесенного напряжения измерительного витка можно представить следующим образом:
г 2л
йш = >Ц01 | Н* р'dр' dф'. (3)
0 0
После подстановки (2) в (3) с учетом того, что * = к получаем
Цн = -/| Jl (ХЛ) (Х)ехр[-Х(в + ки)]ХХ, (4)
2 л г
где Sw (Х) = | | J0 (Хр)р'dр'dф'.
Особенностью двойного интеграла ^^ (Х) является то, что часть его подынтегральной функции, а именно J0 (Хр , представлена в системе координат (р, ф, *), а интегрирование проводится в системе координат (р', ф', *'). Поэтому для вычисления используем теорему сложения для цилиндрических функций, согласно которой [9, 10]
Л (Хр) = I (-1)п Jn (Х1) Jn (Хр')ехр(/пф').
п=-ю
Поскольку
{ ехр ф' = {;;л ппррии =°о,
то Sw (А,) можно представить следующим образом:
г
Sw (А) = 2л J° (А/)|р' J° (Ар') ёр'. (5)
о
Сделав в выражении (5) замену переменной Хр' = / и используя формулу 1/р+12р (/= /р+12р+1 (/) из [11], а также учитывая, что J1 (0) = 0 , после соответствующих преобразований имеем
2 лг
Sw (А) = — Л (А/)^ (Аг). (6)
Теперь подставляем (6) в (4) и получаем
А
ивн = -улш^Дг/1^ (АЯ) Jl (Аг) J° (А/) ехр[-А(АВ + К)] А.
о с + А
Для удобства дальнейшего анализа введем следующие общепринятые в вихретоковом контроле безразмерные обобщенные параметры: Р = ;
¿в + К Г „ . / „
а =-; У "Я , а также новый параметр / = —, равный отношению расстояния между центрами измерительного и возбуждающего витков к радиусу возбуждающего витка. Сделав замену переменной в виде ХЯ = /, после необходимых преобразований получаем
м I/ 2 + ,р2 — /
ЦУвн = — г11 Jl (/) Jl (у/) J о (/ V) ехр [—а/ ] ^ 2 УР2 ё/. (7)
о ф + ур2 + /
Если в выражении (7) положить / = о (то есть оси возбуждающего и измерительного витков совпадают) и при этом учесть, что J° (о) = 1, то получим выражение для вносимого напряжения измерительного витка для частного случая, когда возбуждающий и измерительный витки являются концентрическими
™ //2 + 7р2 — /
ивН I,. о = — У'яйЦоГ/1 Jl (/) Jl (у/) ехр [—а/] ^ 2 ^ ё/. (8)
1/=о о ф2 + УР2 + /
Формула (8) совпадает с известными выражениями для вносимого напряжения системы двух концентрических витков, расположенных над проводящими средами [! 2, 8], что свидетельствует о корректности полученного нами результата в виде выражения (7).
Для удобства дальнейшего анализа проведем нормирование вносимого напряжения к модулю напряжения холостого хода. Последнее представляет собой напряжение измерительного витка в отсутствие проводящей среды, то есть когда система возбуждающего и измерительного витков находится в свободном пространстве. Выражение для напряжения холостого хода получается аналогично выражению (7) для вносимого напряжения с той раз-
ницеи, что вместо вектор-потенциала поля вихревых токов используется известное выражение для вектор-потенциала поля витка с током в свободном пространстве [1], в котором координата г заменяется на АИ = Ив - И (расстояние между плоскостями возбуждающего и измерительного витков). В результате получаем
= г11А1 (г) А (Уг) Ао () ехР] Ж,
(9)
где ^ =
безразмерныи конструктивныи параметр, которыи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.