Письма в ЖЭТФ, том 102, вып. 2, с. 111-116
© 2015 г. 25 июля
Симметричные конические несоизмеримые структуры фрустрированного изотропного гейзенберговского ферримагнетика
С. Н. Мартынов1')
Институт физики им. Киреиского СО РАН, 660036 Красноярск, Россия
Поступила в редакцию 22 мая 2015 г. После переработки 11 июня 2015 г.
Для ферримагнетика с геометрически фрустрированным обменом между спинами в разных магнитных позициях (подсистемах) и конкуренцией между обменами в одной из подсистем аналитически исследованы условия возникновения конических несоизмеримых структур и определены температуры фазовых переходов в конические состояния. Численной минимизацией свободной энергии определены типы фазовых переходов и получены фазовые диаграммы температура - обменные параметры.
БО!: 10.7868/80370274X15140076
Интерес к изучению несоизмеримых магнитных структур в последнее десятилетие в значительной степени обусловлен магнитоэлектрическими эффектами, сопровождающими этот тип магнитного упорядочения [1—3]. Большой практический интерес представляет возможность управления направлением электрической поляризации малым внешним магнитным полем при комнатных температурах. Муль-тиферроиками с соответствующими магнитоэлектрическими характеристиками являются ферримаг-нетики с коническим типом несоизмеримого упорядочения [2-6]. Необходимое условие управления направлением ферримагнитного момента малыми магнитными полями - малая величина магнитной анизотропии. Формирование конического упорядочения в таких изотропных (или почти изотропных) магнетиках является частным случаем неколлинеарности, вызванной фрустрацией (конкуренцией) изотропных обменов. Конкретный вид неколлинеарно-го магнитного порядка определяется прежде всего пространственным распределением обменных связей в кристалле и симметрией расположения магнитных ионов в рассматриваемой магнитной структуре. К настоящему времени единственным детально изученным теоретически примером конического несоизмеримого упорядочения остается случай кубической шпинели АВ2О4 [7,8]. Трехконусная несоизмеримая структура в ней определяется тремя положениями магнитных ионов А, Вх и В2, неэквивалентными относительно направления вектора модуляции магнитной структуры к[1,1,0] [3,8,9]. В настоящей работе теоретически рассматриваются ко-
Че-таП: unonav@iph.krasn.ru
нические несоизмеримые структуры, возникающие в изотропной модели Гейзенберга, когда магнитные ионы находятся в двух неэквивалентных позициях как кристаллографически, так и относительно возникающих магнитных структур. Число независимых переменных задачи определяется спиновой размерностью и числом неэквивалентных позиций (магнитных подсистем) и в рассматриваемом двух-подсистемном случае допускает сравнительно простое аналитическое решение на параметры магнитной структуры. Кроме того, в рамках такой модели существует ряд решений с копланарной ориентацией спинов [10-12]. Это позволяет, сравнивая свободные энергии различных состояний, определить условия существования конических решений - значения обменных взаимодействий и температуры, при которых возможно их появление, а также определить типы фазовых переходов между состояниями.
В модели учитываются два типа фрустрирован-ных обменов: геометрически фрустрированный обмен между спинами в разных подсистемах и конкурирующие обмены между ближайшими и вторыми магнитными соседями в одной подсистеме. Направления фрустрированных обменных связей, определяющие направление вектора модуляции магнитной структуры, в рассматриваемой модели одинаковы. Это обеспечивает сохранение данного направления при изменении типа несоизмеримой структуры (рис. 1). Такая схема обменных взаимодействий реализуется в тетрагональном ферримагнетике С11В2О4 [10,11]. Как будет показано ниже, она дает как плоские, так и конические решения. Гамильтониан модели имеет вид
X Л А/А /С
/ \ / \ / \ об / \ / \ ' 4 Л \ / г \ / \ \
V Jb\ V
<____.:
^ъг
Рис. 1. Схема обменных взаимодействий и ориентации спинов в антиферромагнитном плоском геликоиде при Jbi > О
Я = Л ]Г SjS.;/ + Jbl ]Г S,-Sf + (1)
ii' jj'
+ Jb2 ^ SJSJ" + Jab SiSJ' * G A' j G B'
jj" »J
£0J0 > ¿m|Jm|, ZboJb2, ZabJab, ZbaJab> 0,
где г и j - индексы спинов А- и В-подсистем соответственно, zab (Zba) — числа магнитных соседей в позиции В (А) для спина в позиции А (В), Ja, Jm, Jb2 ~ обмены внутри подсистем. Для межподсистем-ного обмена Ja.b числа магнитных соседей zab, Zba связаны с числами магнитных ионов в подсистемах Na и Nb соотношением
Zab Zba
Nb_ Na
Антиферромагнитный обмен в нефрустрированной А-подспстеме считается доминирующим. Это позволяет при рассмотрении состояний, возникающих при температурах ниже температуры антиферромагнитного упорядочения Tn в А-подсистеме (в AF-фазе), использовать приближение среднего поля (Mean Field Approximation, MFA). Рассматриваются случаи как антиферромагнитного ( Jm > 0), так и ферромагнитного (Jm < 0) обменов между ближайшими магнитными соседями в В-подсистеме, дающие различные конические решения. В MFA гамильтониан аддитивен по спинам:
Hmfa — hjSj + hjSj, i j
hi = „Л 'У ] Sa,.;/ + — Jab ^ ]
(2)
h j - - Jbl + 0Jb2^2 Sb'J" + 9 Jab
где Бь^ - вектора средних спинов в А- и В-
подсистемах соответственно. Необходимым условием существования стационарных состояний в приближении среднего поля является коллинеарность средних
спинов соответствующим суммарным полям [13]. Это требование эквивалентно ограничению, накладываемому на эффективные поля, действующие на спины: поперечные компоненты полей должны быть равны нулю. В нашем случае двух неэквивалентных магнитных позиций поля на спинах Ь.;^ являются функциями четырех углов ориентации спинов, 6а<ъ и <Ра,ь (полярного и азимутального углов в локальных сферических координатах соответствующих спинов), и двух средних значений Ба и й'ь. Четыре условия коллинеарности и два уравнения самосогласования на средние значения спинов в приближении среднего поля [14] формируют полную систему нелинейных уравнений на переменные задачи:
h'ab(Qa.,b, <Pa,b, Sa.tb) = 0,
Sa,b — ~Sa,bBsо ^
ha'bS
bc< 0
a,b
т
(3)
(4)
1 в,Ф
где ^ ~ поперечные поля, направленные вдоль ортов е,® ^ и е^3 • локальных систем координат, Ьа'Ъ - продольные поля, В8о (ж) - функция Бриллюэна для спинов ь. В локальных системах координат все 5'0,ь > 0, а Нагь < 0. Определим безразмерные обменные параметры модели и продольные эффективные поля, нормированные на полное обменное взаимодействие между А-спинами, а также параметр фрустрации обменов между В-спинами Д и нормированную на температуру Нееля А-подсистемы температур 1:
jb = ZblJbl ZaJa : jab ZabJab j 7 Jba -hn Jab r T '
ha,b , R = Zb2Jb2 T 6 T
ZaJa Zbl\Jbl\ sm +1)
(5)
ha,b —
jab, jba, R, t G {0, 1} , -1 < jb < 1.
В этих обозначениях уравнения самосогласования (4) принимают вид
S*
(6)
Система уравнений (3) и (4) определяет все решения с двумя неэквивалентными магнитными позициями. Для нахождения решения с минимальной свободной энергией:
Zmfa = Sp exp
F = -TlnZ, ( Hmfa\
V T J
(7)
yNa yNb ¿a ^b >
где Za,tb ~ одночастпчные статсуммы, последняя варьируется по переменным задачи:
Симметричные конические несоизмеримые структуры
ИЗ
SF = NaSaSha + NbSbShb = 0.
(8)
Коническими структурами, имеющими трехмерную ориентацию магнитных моментов и сохраняющими число неэквивалентных магнитных позиций равным двум, являются структуры с двумя конусами в подсистеме с главным нефрустрированным обменом, расположенными симметрично относительно плоскости спинов второй подсистемы (рис. 2). При сохранении симметричного распределения про-
Рис. 2. Ориентации спинов в симметричных конических геликоидах при Jы > 0 и Jы < 0 (а) и проекции спинов на плоскость геликоида (Ь)
екций спинов подсистемы А на плоскость В-спинов (рис. 2Ь) условия равенства нулю двух поперечных компонент на спинах и компоненты на спинах выполняются автоматически. Требование обращения в нуль компоненты Ьеа накладывает дополнительное ограничение на углы и средние спины:
; в ¥ а а ■ а ¥ _i_ с 3аЬ
п" = cos — cos 0 Ьа sm 0 cos — ± bh — а 2 I 0 2 2
0,
(9)
дающее три решения:
1) cos (<р/2) = 0. Решение возникает для антиферромагнитного обмена (Jbi > 0) и соответствует антиферромагнитному упорядочению в обеих подсистемах типа "крест" [15] с основным состоянием, вырожденным относительно взаимной ориентации векторов антиферромагнетизма подсистем. Это состояние является глобально нестабильным и при сколь угодно малых значениях межподсистемного обмена переходит в плоскую несоизмеримую структуру [11];
2) cos в = 0 - антиферромагнитный плоский геликоид (Antiferromagnetic Flat Helix, AFH) при Jm > 0 и плоская треугольная структура Яфета-Киттеля [15] (YK) при Jbi < 0;
3) симметричные конические геликоиды (Symmetrical Conical Helix, SCH) с углами конуса
яп0 = т-JabSb , (Ю)
2ba cos (<f/2) V ;
Верхние и нижние знаки в (9) и (10) и далее относятся к случаям антиферромагнитного и ферромагнитного обменов Jbi соответственно. Для SCH-решений продольные поля на спинах имеют вид
,SCH
S*
S*
—— COS
Sb .
¥
> + — sin- 0 COS (f lb —jab sin 0 cos —,
]SCH nb
^-jbi cos if±R. COS 2(f) ± ^-jba sin в COS ^ .
(11)
Подстановка в них (10) позволяет исключить угол в из числа независимых переменных задачи:
" 2 '
■SCH
hSbGH
Si/., 0 \ JabJba — \jb(cosip±Rcos2ip)--—
(12)
В конической фазе уменьшение обменного поля на А-спинах из-за их неколлинеарности точно компенсируется полем со стороны В-спинов. В результате его величина остается равной полю при антипараллельный ориентации антиферромагнитных подреше-ток А-спинов и не зависит ни от средних значений Бь, ни от шага геликоида 92. Для В-подсистемы взаимодействие с А-спинами сводится к дополнительному эффективному обмену между В-спинами. Таким образом, минимизация свободной энергии (8) сводится к варьированию продольного поля /?5СН (12) по шагу геликоида, что дает стандартные выражения для К > 1/4:
сс^ = ^(Ш)-1. (13)
При R < 1/4,= 7г решения (10) при конечном Бь не существуют. Подставляя (13) в (10) и (12), получаем
sin а =
jabSb
Ба
2 Т
7 SCH _ -р^Ь
hb ~ Тт
Зъ
R
1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.