КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА -
УДК 681.3.06
СИМВОЛЬНО-ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ СПУТНИКА-ГИРОСТАТА
© 2014 г. С.А. Гутник1'2, В.А. Сарычев3
1 Московский физико-технический институт
141700 Московская область, г. Долгопрудный, Институтский переулок, 9 2
119454 Москва, пр-т Вернадского, 76
3
125047 Москва, Миусская пл., 4 E-mail: s.gutnik@inno.mgimo.ru, vas31@rambler.ru Поступила в редакцию 12.08.2013
С использованием методов компьютерной алгебры исследованы свойства нелинейной алгебраической системы, определяющей положения равновесия спутника-гиростата, движущегося по круговой орбите. Численно найдены бифуркационные значения параметров, при которых изменяется число положений равновесия. Проведен детальный численный анализ эволюции областей существования различного числа равновесий в пространстве безразмерных параметров.
1. ВВЕДЕНИЕ
Небесная механика является одной из популярных областей применения методов символьных вычислений. В астродинамике использование методов компьютерной алгебры встречается гораздо реже. К одному из крупных разделов астродинамики относится тема исследования задач ориентации искусственных спутников Земли. Создание систем ориентации искусственных спутников Земли является одним из важных направлений развития космической техники. Ориентация спутника может быть осуществлена с использованием как активных, так и пассивных методов. При разработке пассивных систем ориентации можно использовать свойства гравитационного и магнитного полей, эффект сопротивления атмосферы и давление солнечного излучения, гироскопические свойства вращающихся тел и др. Важное свойство пассивных систем ориентации заключается в возможности функционировать продолжительное время без расходования энергии. Среди пассивных систем ориентации наибольшее распространение получили гравитационные системы, принцип работы кото-
рых основан на том, что в центральном ньютоновом поле сил спутник с неравными главными центральными моментами инерции имеет на круговой орбите 24 положения равновесия, четыре из которых являются устойчивыми [1]. Введение в конструкцию вращающихся с постоянной угловой скоростью относительно корпуса спутника роторов позволяет получить новые, более сложные, положения равновесия спутника-гиростата, интересные для практических приложений. Задаче определения положений равновесия спутника-гиростата посвящено много работ. Подробное рассмотрение динамики спутников с гравитационными системами ориентации представлено в [1]. В [2], [3], [4], [5] и [6] все положения равновесия гиростата были определены для некоторых частных случаев, когда вектор гиростатического момента параллелен одной их главных центральных осей инерции спутника-гиростата или находится в одной из плоскостей, образуемых главными центральными осями инерции.
Общий случай задачи о гиростате был впервые рассмотрен в [7], где представлены результаты символьного исследования динамики спутника
под действием гравитационного и гиростати-ческого моментов. В представленной работе предложен метод, основанный на алгоритмах построения базисов Гребнера и понятия результата, определения всех положений равновесия спутника-гиростата при заданных значениях вектора гиростатического момента и главных центральных моментов инерции и получены условия их существования в зависимости от четырех безразмерных параметров системы. Найдены бифуркационные значения параметров, при которых изменяется число положений равновесия. Проведен детальный численный анализ эволюции областей существования различного числа равновесий в пространстве безразмерных параметров.
Символьно-численные методы определения положений равновесия, изложенные в данной работе, ранее успешно применялись при анализе влияния аэродинамических и гравитационных сил на равновесные ориентации спутника [8].
2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим задачу о вращательном движении спутника-гиростата (далее спутник или гиростат), представляющего собой твердое тело с расположенными внутри него статически и динамически уравновешенными роторами. Считаем, что угловые скорости вращения роторов относительно корпуса спутника постоянны и центр масс спутника-гиростата движется по круговой орбите.
Для записи уравнений движения введем две правые декартовы системы координат с началом в центре масс О. OXYZ - орбитальная система координат. Ось OZ направлена вдоль радиуса-вектора, соединяющего центры масс Земли и гиростата; ось ОХ направлена вдоль вектора линейной скорости центра масс О. Охуг - связанная со спутником-гиростатом система координат; Ох Оу Ог - главные центральные оси инерции спутника-гиростата. Ориентацию системы координат Охуг относительно орбитальной системы координат определим с использованием углов Эйлера Направляющие косинусы
осей системы координат Охуг в орбитальной системе координат OXYZ выражаются через углы Эйлера с помощью соотношений [7]
ац = cos(x,X )= cos ф cos ф —
— sin ф cos $ sin ф,
ai2 = cos(y,X )= — cos ф sin ф —
— sin ф cos $ cos ф,
ai3 = cos(z,X )= sin ф sin $, a21 = cos(x,Y )= sin ф cos ф + + cos ф cos $ sin ф,
(1)
a22 = cos(y,Y )= — sin ф sin ф + + cos ф cos $ cos ф,
a23 = cos(z,Y )= — cos ф sin $,
a3i = cos(x, Z) = sin $ sin ф,
a32 = cos(y, Z) = sin $ cos ф,
a33 = cos(z, Z) = cos $.
Тогда уравнения движения спутника-гиростата относительно его центра масс записываются в следующем виде [1], [7]:
Ap + (C — B)qr — 3wg(C — B^ass —
—Н2Г + Я39 = 0,
Bq + (A — C )rp — 3^(A — C )assasi —
—HHsp + HHir =0,(2) Cr + (B — A)pq — 3w2(B — A)asias2 —
—Hiq — H2P = 0,
p = фaзl + $ cos ф + woa2i = p + woa2i, q = фaз2 — $ sin ф + woa22 = q + woa22, (3) r = фaзз + ф + woa23 = í + Woa23.
ABC
pqr
iíi, ÍÍ2, Í3 - проекции абсолютной угловой скорости и проекции вектора гиростатического момента гиростата на оси Ox, Oy, Oz; wo - угловая скорость движения центра масс гиростата по круговой орбите. Точкой обозначено дифференцирование по времени t.
3. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ СПУТНИКА-ГИРОСТАТА
Положив в (2) и (3) ф = ф0 = const, $ = $o = const, ф = ф0 = const, а так же ii = ii i/wo, i2 =
Н2/wq , Я3 = Н3/wq , получим при A = B = C
уравнения
(С — В)(а22й23 — 3аз2азз) = Я2а2з — —Нза22,
(А — С)(а2за21 — Заззаз:) = Яза21 — (4) —Я^з,
(В — А)(а21а22 — Заз1аз2) = Я^22 — —Н2а21,
позволяющие определить положения равновесия спутника-гиростата в орбитальной системе координат. В последующем исследовании удобнее использовать эквивалентную систему
Аацаз! + Ва12аз2 + Са1зазз = 0, Аап а21 + Ва12а22 + Са1за2з + (Я^ц +
+Я2а12 + Яза1з) = 0, (5) 4(Аа21аз1 + Ва22аз2 + Са2зазз) + (Я1аз1 + +Я2аз2 + Язазз) = 0,
которая получается проектированием уравнений (4) на оси орбитальной системы координат. Подставляя в (4) или (5) выражения для направляющих косинусов из (1), можно получить систему трех уравнений с неизвестными ф, р.
Другой, более удобный для исследования способ замыкания уравнений (5) заключается в добавлении шести условий ортогональности направляющих косинусов
а21 + а12 + а2з = 1, ®11Й21 +
+Й12Й22 + Й1з а2з = 0, а21 + 022 + а!з = 1, аиаз1 +
+а12аз2 + а1з азз = 0, (6)
+022аз2 + а2з азз = 0.
°21 + а32 + °23 = 1 «21^31 +
Уравнения (5) и (6) образуют замкнутую алгебраическую систему уравнений относительно 9 неизвестных направляющих косинусов, определяющих положения равновесия гиростата. Для системы уравнений (5) и (6) ставится следующая задача: для заданных А, В, С Я1; Я2 и Яз
ющих косинусов, т.е. все положения равновесия
гиростата. Система уравнений (5) и (6) с девятью неизвестными была решена для некоторых частных случаев. В случае, когда вектор гиростати-ческого момента параллелен одной из главных центральных осей инерции спутника-гиростата, например, Оу, при условиях Я1 = 0 Я2 = 0, Яз = 0
лены в зависимости от двух безразмерных параметров задачи все положения равновесия, получены в виде простых неравенств достаточные условия устойчивости этих положений равновесия. Решение задачи для случая, когда вектор гиростатического момента параллелен плоскости любых двух главных центральных осей инерции, например, Ож,г (Я1 = 0, Я2 = 0 Яз = 0) получено в [4], [5].
Я1 = Я2 = Яз = 0 что система (5), (6) имеет 24 решения, определяющие равновесные ориентации спутника, представляющего собой твердое тело [1].
В данной работе проводится исследование положений равновесия гиростата для общего слу-
Я1 = 0 Я2 = 0 Яз = 0 чай задачи был впервые рассмотрен в [7]. Как показано в [7], систему уравнений (5), (6) можно разрешить относительно ац, а12, а1з, а21, а22, а2з следующим образом:
а11 = 4((С — В )аз2азз/^, 021 =4((1з —
-A)a31/F «12 = 4((A - C)a33«31/F, я>22 =4((/3-
-B)a32/F, «13 = 4((B - A)«31a32/F, «23 =4((/j-
-C )«33/F.
(7)
Здесь F = #1a31 + Я2а32 + #3a33, /3 = Aa21 +
Ba22 + Ca33-
Для нахождения решения алгебраической системы (5), (6) применялся алгоритм построения базисов Гребнера [9]. Метод построения базиса Гребнера представляет собой алгоритмическую процедуру для полного приведения задачи в случае системы полиномов от многих переменных к рассмотрению полинома от одной переменной. Используя реализованный в системе компьютерной алгебры Maple [10] пакет построения базисов Гребнера Groebnerfgbasis] с опцией линейного упорядочения по степеням tdeg, был построен
базис Гребиера для системы 9 полиномов (5), (6) с девятью переменными aj (i,j = 1, 2, 3). Выпишем из построенного базиса Гребнера полиномы, которые зависят только от 3 переменных аз1, азг, азз:
16[(В - C)2а22а3з + (C - А)2а2за^1 +
+(A - В)2а21а22] = = (Н1аз1 + Я2аз2 + Нзазз)2^ +
+аз2 + а3з),
4(В - C)(C - A)(A - В)аз1аз2азз +
+ [H1(B - C)аз2азз + (8)
4(B - C)(C - A)(A - В)аз1аз2азз + + [H1(B - C)аз2азз + +H2(C - А)аззаз1 + Нз(A - В)аз1аз2]
(Н1аз1 + Н2аз2 + Нзазз) = 0,
а21 + а32 + а2з = 1.
Получить алгебраическое уравнение от одной неизвестной в базисе Гребнера не удается вследствие большого числа параметров. Тем не менее, учитывая однородность первых двух уравнений (8) и переходя к новым неизвестным x = аз1/азз, у = аз2/азз, h = Hi/(B-C), v = (B-A)/(B-C), получим алгебраическую систему уравнений относительно переменных x и y
аоу + а1у + а
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.