КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА
У V 517.9+519.6+531.39
СИМВОЛЬНО-ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ В ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧЕ
ЧЕТЫРЕХ ТЕЛ
© 2013 г. Д. А. Будько 1, А. Н. Прокопеня 2 3
1 Брестский государственный университет им. A.C. Пушкина, Белоруссия 224016 Брест, бул. Космонавтов, 21 E-mail: master_ booblik@tut. by
2
02-787 Варшава, ул. Новоурсыновска, 166 E-mail: alexander_prokopenya@sggw.pl 3 Брестский государственный технический университет, Белоруссия 224017 Брест, ул. Московская, 267 E-mail: prokopenya@brest.by Поступила в редакцию 10.07.2012
Обсуждаются алгоритмы поиска равновесных решений круговой ограниченной задачи четырех тел, сформулированной на основе треугольных лагранжевых решений задачи трех тел. Предложен алгоритм вычисления бифуркационной кривой на плоскости параметров системы, разделяющей области существования восьми и десяти равновесных решений. Для значений параметров, соответствующих бифуркационной кривой, система имеет девять равновесных решений. В окрестности точек бифуркации равновесные решения находятся в виде степенных рядов по малому параметру и численно исследуется их зависимость от параметров системы. Приводятся варианты практической реализации предложенных алгоритмов в кодах системы компьютерной алгебры Mathematica.
1. ВВЕДЕНИЕ
Классическая задача многих тел (см. [1]) является одной из самых известных моделей небесной механики и космической динамики, исследования которой продолжаются по сегодняшний день. Поскольку для трех и более тел общие решения уравнений движения в этой задаче не найдены, исследуются различные частные случаи, которые представляют интерес для приложений. Одним из характерных примеров является ограниченная задача п + 1 тел [2], в которой предполагается, что п массивных точечных тел Ро,Рь..., Рп-1 движутся по заданным траекториям, определяемым некоторым точным реп Рп небрежимо малую массу, не влияет на движение массивных тел, и задача сводится к исследованию движения этого тела в гравитационном поле массивных тел Ро, Р1,..., Рп-1-
В данной работе рассматривается плоская ограниченная задача четырех тел (п = 3) в случае, когда три тела Р0,Р1 , Р2 массами Шо,Ш1,Ш2, соответственно, движутся в плоскости хОу по круговым орбитам вокруг общего центра масс системы, образуя в любой момент времени равносторонний треугольник. Соответствующее точное решение задачи трех тел известно в литературе как треугольник Лагранжа (см., например, [3]). Движение тела пренебрежимо малой массы Р3 удобно исследовать во вращающейся системе координат, в которой тела Ро, Р1, Р2 покоятся в плоскости Оху в точках (0,0) (1,0), (1/2, \/3/2) соответственно. В рассматриваемом случае система обладает двумя степенями свободы, а ее функцию Гамильтона можно представить в виде [4]
Н = 2 + Ру) - РуX + РхУ+
+
1
1 + + /Л2
( ( . ) .
11^1 + т^ж + ~г^уу-
1
/ж2 + у2 ^(ж - 1)2 + у2
2^2
^(2ж - 1)2 + (2у - ^3)2/ '
(1)
где ж,рх и у,ру - две пары канонически сопряженных координат и импульсов, а = т1/то, ^2 = Ш2/Ш0.
Легко убедиться в том, что уравнения движения системы
^ж дН ^у дН
^ дрх ' ^ дру '
фх = _ дН ¿Ру = _ дН (2)
^ дж ' ^ ду '
определяемые функцией Гамильтона (1), являются нелинейными и найти их общее решение не представляется возможным. Наиболее простыми частными решениями системы (2), которые можно найти в аналитической форме, являются стационарные решения, определяющие не зависящие от времени равновесные значения координат и импульсов. Исключая из уравнений (2) импульсы рх,ру и определяя две функции /1(ж,у), /2(ж, у), получаем для равновесных положений ж, у два уравнения ед, записанные в кодах системы МаЛетаЫса [5]:
(ж2 + у2)3/2 1
/1 [ж_, у_] := (^3ж - у) -
Иж - 1)+ у) (1 - ((ж- 1)2 + у2)3/2У '
/2[ж_, у_] :=2у 1 -
1
+
(ж2 + у2 )3/2 +^2 (^3(ж - 1) + у) X 1
(1 - ж + ж2 - л/3у + у2)3/2 ед = { /1[ж,у]==0 , /2 [ж, у] == 0 } ; (3)
1
Система (3) содержит два параметра, причем все физически различные случаи расположения тел определяются значениями параметров из интервала 0 < ^1,2 < 1. При = 0 второе уравнение легко решается и определяет на плоскости жОу прямую у = 0 и окружность ж2 +у2 = 1. При у=0 вид
ж / ж -1 Й3 + V + |ж -1|3
= (1 + ^)ж . (4)
Уравнение (4) совпадает с аналогичным уравнением, возникающим в задаче трех тел (см. [3]), и определяет прямолинейные равновесные конфигурации тел Ро,Р1 ,Рэ. На каждом из интервалов ж< 0 0 <ж< 1, ж> 1 это уравнение имеет по одному вещественному корню, которые могут быть вычислены с требуемой точностью.
ж2 + у2 = 1
1 ^ ж = - , у = ±— 2 ' у 2
(5)
первого уравнения системы (3) находятся точно и соответствуют двум треугольникам Лагранжа, образуемым телами Р0, Р1, Р3.
Анализ системы (3) показывает, что все ее вещественные корни располагаются в области
-1 < ж < 2 , < у < 1 + ^ . (6)
Однако получить точные выражения для корней не представляется возможным и неизбежно приходится использовать численные методы. Следует отметить, что применение численных методов всегда требует выбора некоторого начального приближения, что представляет собой нетривиальную задачу в случае, когда система имеет несколько решений и требуется исследовать зависимость какого-либо конкретного решения от параметров. В этом случае следует сначала найти приближенное алгебраическое решение, например, в виде степенного ряда по малому параметру, а затем использовать его в качестве нулевого приближения и продолжить вычисления при изменении параметра с малым шагом. Такой подход позволяет определить число решений и найти их с требуемой точностью, а также выполнить достаточно сложный бифуркационный
анализ системы. Именно такой подход и используется в данной работе при исследовании системы (3) для значений параметров 0 < < 1, 0 < < 1, а ее основной целью является разработка соответствующих алгоритмов расчета и их практическая реализация в системе компьютерной алгебры МаШе.таИса.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА РАВНОВЕСНЫХ РЕШЕНИЙ
Заметим, что каждое уравнение системы (3) определяет некоторую кривую на плоскости хОу. Задавая значения параметров, например, = 0.9, ^2 = 0.05 и используя функцию СогйоигРШ. системы МаЛетаЫса, соответствующие кривые можно легко визуализировать, на рис. 1 они показаны соответственно жирными сплошной и штриховой линиями. При этом ху
этих кривых определяют решение системы (3). Следует отметить, что при построении графиков функция СопЫтгРкЛ сначала вычисляет значения визуализируемой функции в конечном числе узлов сетки, шаг которой определяется опцией РкЛРоМв. Затем вычисляются значения функции в дополнительных узлах, расположенных в середине каждого отрезка сетки, причем процесс уменьшения шага сетки в два раза повторяется многократно до получения гладкой кривой. Количество возможных делений каждого отрезка сетки ограничивается опцией МахКесигвмт и может быть легко увеличено. Учитывая, что все коэффициенты в уравнениях (3) заданы точно, а точность вычислений значений функции в узлах сетки может быть установлена на требуемом уровне с помощью опции ШогктдРгеслвгоп, функция Соп1оигРШ позволяет детально исследовать зависимость функций, определяемых уравнениями (3), от параметров и ^2 и установить количество положений равновесия тела Рз при различных значениях параметров системы.
Как видно из рисунка, имеется восемь точек пересечения 51, £2,..., $8 кривых. Уменьшая значение параметра ^2 при фиксированном и повторяя построения, легко убедиться в том, что при ^2 ^ 0 положения равновесия $1, $2, $з, $4 вырождаются в одну точку Р2, которая совпадает с точкой либрации £4 в ограничен-
/
-1.5 -1.0 -0.5
Рис. 1.
Кривые, определяемые уравнениями (3), при значениях параметров = 0.9, = 0.05.
ной задаче трех тел. Оставшиеся четыре положения равновесия 56, $7, $8 переходят, соответственно, в точки либрации £1, £2, £5, £3 (см. [3]).
Р2
или бифуркация решений системы (3) при ^2 > 0 и фиксированном значении ^1. Очевидно, такой
Р1
сированном значении ^2 и > 0.
В работе [6] нами исследован случай малых значений параметра ^2 при произвольном фиксированом значении и предложен алгоритм построения решений системы (3) в виде степенных рядов по ^2 в окрестностях точек, определяемых уравнениями (4) и (5). Используя приведенные там процедуры, можно легко проследить перемещение положений равновесия $1, $2,..., $8 на плоскости хОу при увеличении параметра ^2 от нуля до 1 и заданном значении ^.Поскольку при = 1 система обладает осью симметрии у = —\/3(х — 1), естественно ожидать, что точки $1,$2 ,...,$8 окажутся расположенными симметрично относительно этой оси. Вычисления показывают, что при малых значениях параметра указанная симметрия в расположении положений равновесия имеет место. Однако выполняя соответствующие построения при = 0.9, например, легко видеть, что при ^2 = 1 для точки $5 отсутствует симметричная относительно оси
y = — \/3(ж — 1) точка (см. рис. 2), т.е. наблюдается нарушение симметрии в расположении положений равновесия. Чтобы выяснить причину этого нарушения, достаточно произвести графический анализ системы (3) при различных значениях параметров и ^ что можно сделать в динамическом режиме, используя встроенную в систему Mathematica функцию Manipulate. Увеличивая значение параметра при = 0.9, например, легко видеть (Рис. 3), что при ^2 ~ 0.44 появляется точка Sg касания кривых, определяемых системой (3), которая порождает две новых точки пересечения кривых при дальнейшем увеличении параметра ^2-Таким образом, при = 0.9 и 0 < < 0.44 система (3) имеет восемь равновесных решений, при ^2 = 0.44 - девять равновесных решений и при 0.44 < ^2 < 1 _ десять равновесных решений. Естественно ожидать аналогичных результатов и при других значениях параметров системы, что ставит проблему построения на плоскости параметров бифуркационной
кривой, разделяющей области значений параметров системы, при которых имеется восемь или десять положений равновесия.
/ р2
Рис. 2.
Перемещение положений равновесия на плоскости хОу щи = 0.9 и возрастании от нуля до 1.
3. АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ БИФУРКАЦИОННОЙ КРИВОЙ
Графический анализ системы (3) показывает, что при заданном знач
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.