ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2012, том 52, № 10, с. 1812-1846
УДК 519.624.3
СИНГУЛЯРНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В МОДЕЛИ СТРАХОВАНИЯ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПРЕМИЯМИ: АНАЛИЗ И ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ^
© 2012 г. Т. А. Белкина*, Н. Б. Конюхова**, С. В. Курочкин**
(*117418Москва, Нахимовский пр-т, 47, ЦЭМИРАН;
**119333 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН) e-mail: tbel@cemi.rssi.ru; nadja@ccas.ru; kuroch@ccas.ru Поступила в редакцию 14.03.2012 г.
Даются корректная постановка и математический анализ сингулярной краевой задачи для линейного интегродифференциального уравнения второго порядка с вольтерровым и не-вольтерровым интегральными операторами. Уравнение определено на R+, обладает слабой особенностью в нуле и сильной особенностью на бесконечности и зависит от нескольких положительных параметров. При естественных ограничениях на коэффициенты уравнения доказаны теоремы существования и единственности решения этой задачи с заданными предельными условиями в особых точках, даны асимптотические представления решения и алгоритм его численного нахождения. Проведены расчеты и дана их интерпретация. Задача возникает при исследовании вероятности неразорения страховой компании за бесконечное время (как функции ее начального капитала) в динамической модели страхования — модификации классической модели Крамера—Лундберга со случайным процессом поступления страховых взносов (премий) и при определенной стратегии инвестирования капитала на финансовом рынке. Дан сравнительный анализ результатов с результатами для модели с детерминированными премиями. Библ. 32. Фиг. 9.
Ключевые слова и фразы: динамические модели страхования; модель Крамера—Лундберга со стохастическими премиями; вероятность неразорения страховой компании как функция ее начального капитала; линейное интегродифференциальное уравнение второго порядка на полуоси; сингулярная краевая задача с ограничениями; сопутствующие сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений; существование, единственность и поведение решения; алгоритм численного нахождения решения.
1. ВВЕДЕНИЕ: ОПИСАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СТРАХОВАНИЯ, ВКЛЮЧАЮЩИХ ИНВЕСТИЦИИ В РИСКОВЫЕ АКТИВЫ
Рассматриваемая в данной работе сингулярная краевая задача (КрЗ) с ограничениями для линейного интегродифференциального уравнения (ИДУ) второго порядка, которая в целом ставится и изучается впервые, возникает при исследовании проблемы платежеспособности в одной динамической модели страхования, предполагающей инвестирование капитала на финансовом рынке (см. [1]). В основе указанной модели лежит модификация классической модели Крамера— Лундберга (КЛ-модели) коллективного риска (описание динамических процессов коллективного риска см., например, в [2, гл. 7—9]).
В классической КЛ-модели процесс, описывающий изменение капитала (процесс риска), складывается из двух процессов — детерминированного процесса поступления премий и сложного пуассоновского процесса страховых выплат (исков). Если отказаться от упрощающего предположения о детерминированности процесса поступления премий, наиболее естественно считать, что он также является сложным пуассоновским процессом, причем с параметрами, отличными от параметров процесса страховых выплат. Следуя [3], соответствующую модель, которую коротко опишем ниже, будем называть КЛ-моделью со стохастическими премиями.
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 10-01-00767-а и 11-01-00219-а).
1812
При инвестировании капитала на финансовом рынке на изменение капитала (помимо указанных двух факторов) влияют, по крайней мере, еще два фактора — изменение цен рыночных активов и возможность принятия тех или иных инвестиционных решений. Далее будем рассматривать только стратегии инвестиций с постоянной структурой, когда некоторая фиксированная доля капитала вкладывается в рисковый актив (акции, цена которых моделируется геометрическим броуновским движением), а оставшаяся часть капитала вкладывается в безрисковый актив (банковский счет при постоянной процентной ставке). При этом если исходный процесс риска описывается классической КЛ-моделью, то соответствующую модель с погружением в финансовый рынок будем называть моделью I. Если же исходный процесс риска описывается КЛ-моде-лью со стохастическими премиями, то соответствующую модель с инвестициями будем называть моделью II.
Одним из центральных вопросов в динамических моделях страхования является определение или оценка вероятности неразорения, являющейся традиционной детерминированной характеристикой платежеспособности. В большинстве рассматриваемых моделей динамика капитала страховой компании описывается однородным марковским процессом с непрерывным временем, в частности, при инвестировании капитала в рисковые активы этот процесс описывается стохастическим дифференциальным уравнением (СДУ). В таких процессах для вероятности неразорения как функции начального капитала (НК) при определенных предположениях относительно свойств этой функции можно получить ИДУ, используя аппарат производящих операторов (см, например, [4] и цитированную там литературу).
ИДУ определены на и неотрицательные на 15+ решения этих ИДУ, не превосходящие единицы, с заданными условиями на левом конце и условием стремления решения к единице на бесконечности, если таковые существуют, действительно определяют искомую вероятность, что может быть доказано с привлечением вероятностных методов (см. подробнее [5] и цитированную там литературу). В частности, в [5] обоснованы, в указанном смысле, постановки задач для рассматриваемых в данной работе моделей I и II.
Ниже прежде всего дается описание модели II, которая является основным предметом исследования данной работы; для последующего сравнения приводится также описание модели I и формулируются полученные для нее ранее основные результаты.
Далее, в частности, используются обозначения: Р(А) — вероятность события A; EX — математическое ожидание случайной величины X. Остальные обозначения будут вводиться по мере необходимости.
Опишем кратко КЛ-модель со стохастическими премиями (подробнее см. [1], [3] и [2, разд. 9.5]). Пусть процесс риска в непрерывном времени имеет вид
Здесь Rt — величина капитала страховой компании в момент времени 1, u — величина НК; первая сумма в правой части — совокупный страховой взнос к моменту времени 1, N(1) — пуассоновский процесс с интенсивностью > 0 (Е^(?) = Хх1, N^0) = 0), определяющий для любого 1 > 0 число премий, внесенных клиентами страховой компании за временной промежуток (0, 1], Ci — независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения G(y) ^(0) = 0, ЕСХ = п < да), которые определяют размеры премий и предполагаются независимыми от процесса N^0 (Ci — взнос с номером I в момент 1-го скачка процесса N^0); вторая сумма — совокупные страховые выплаты, N(1) — пуассоновский процесс с интенсивностью X > 0 = Х1, N(0) = 0;
X < Хх), определяющий для любого 1 > 0 число исков, предъявленных клиентами страховой компании за временной промежуток (0, 1], Zj — независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения F(x) ^(0) = 0, Е^ = т < да), которые определяют размеры предъявленных исков и считаются независимыми от процесса N(1) — выплата по иску с номером ] в момент]-го скачка процесса N(1)). В целом, процессы суммарных премий и суммарных страховых выплат также предполагаются независимыми.
1.1. Модель Крамера—Лундберга со стохастическими премиями; сингулярное ИДУ на полуоси для модели с инвестициями
ЩГ) щ()
(1.1)
I = 1 У = 1
Замечание 1. Независимость процессов суммарных премий и суммарных страховых выплат является упрощающим предположением по сравнению с более общей ситуацией, описанной, например, в [2, разд. 9.5], где считается, что N(0 < для любого , > 0, т.е. общее число исков не может быть больше общего числа премий. Но если предпо-
лагать, что до нулевого момента времени компания может иметь предысторию по накоплению премий и исков, то это требование заменяется более слабым условием на ожидаемые количества исков в единицу времени: X < А^.
Для дальнейшего нам понадобится определение величины (так называемой относительной "нагрузки безопасности"), характеризующей ожидаемый "удельный доход" страховой компании в единицу времени (для классической КЛ-модели см. далее определение 2).
Определение 1. Нагрузкой (коэффициентом) безопасности для процесса риска (1.1) называется величина
р2 = (X!п - Хт)/(тX). (1.2)
Для описания модели II рассмотрим теперь ситуацию, когда страховая компания с процессом риска (1.1) непрерывно инвестирует некоторую постоянную долю а (0 < а < 1) своего капитала в акции, изменение цены которых описывается СДУ:
dSt = £г(ц& + аdwt), г > 0.
Здесь 8, — цена акции в момент времени ,, ц — ожидаемая доходность акции, 0 < а — параметр изменчивости (волатильности) указанного дохода, — стандартный винеровский процесс, или броуновское движение (процесс 8, называют геометрическим броуновским движением). При этом будем предполагать, что оставшаяся доля капитала инвестируется в безрисковый актив — банковский счет при процентной ставке г, 0 < г < ц, эволюция которого описывается обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ)
dBt = гБ^г, г > 0,
где В, — величина банковского счета в момент времени
В этом случае динамика капитала (результирующий процесс риска) описывается начальной задачей для СДУ:
dXt = [(ац + (1 - а)г)dt + ааdwt]Х1 + dRt, г > 0, Х0 = и. (1.3)
Здесь X, — стоимость портфеля в момент времени , (подробнее о постановке (1.3) см., например, [4] и цитированную там литературу).
В качестве меры платежеспособности компании будем рассматривать вероятность неразорения ф(и) (как функцию НК и) на бесконечном интервале времени:
ф(и) = Р{X > 0, г > 0}, где Х0 = и, и > 0; при и < 0 полагаем ф(и) = 0.
Заметим, что СДУ в (1.3) при замене параметров
а = ац + (1 - а)г > 0, Ь = аа> 0 (1.4)
можно рассматривать как уравнение динамики капитала, полностью инвестируемого в акции с ожидаемой доходностью а и волатильностью Ь, что позволяет без огра
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.