научная статья по теме СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА В СЛУЧАЕ КРАТНОГО КОРНЯ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯ Математика

Текст научной статьи на тему «СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА В СЛУЧАЕ КРАТНОГО КОРНЯ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2013, том 53, № 8, с. 1291-1301

УДК 519.632.34

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА В СЛУЧАЕ КРАТНОГО КОРНЯ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯ^

© 2013 г. В. А. Белошапко, В. Ф. Бутузов

(119991 Москва, Ленинские горы, МГУ, физ. ф-т) e-mail:postvab@rambler.ru, butuzov@phys.msu.ru Поступила в редакцию 20.03.2013 г.

Для сингулярно возмущенной эллиптической краевой задачи построено и обосновано асимптотическое разложение погранслойного решения в случае двукратного корня вырожденного уравнения. Кратность корня приводит к качественному изменению асимптотики решения по сравнению со случаем простого корня. Библ. 5.

Ключевые слова: сингулярно возмущенные эллиптические уравнения, погранслойная асимптотика, случай кратного корня вырожденного уравнения.

DOI: 10.7868/S0044466913080036

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим краевую задачу

62Ди = f (и,х,б), х = (хьх2) eQ, (1.1)

— = 0, х е дО, (1.2)

дп

д2 д2

где е > 0 — малый параметр, А = —j +--- — оператор Лапласа, Q — ограниченная область с гра-

дх1 дх2

ницей dQ, —— производная по внутренней нормали к dQ. дп

Известно (см. [1], [2]), что если вырожденное уравнение

f (и, х,0) = 0 (1.3)

имеет корень и = ф(х), х еО, причем

f/фх),х,0) > 0, х еО, (1.4)

функция f и граница 5Q достаточно гладкие, то задача (1.1), (1.2) для достаточно малых s имеет решение и(х, е) с асимптотическим представлением

п п

и(х,Б) = ф(х) + ^е'щ (х) + ^е'п,(р,l) + 0(sn+1), х еО, (1.5)

i=1 i=1

где и(х) — члены регулярной части асимптотики, р = r/е — погранслойная переменная, (r, l) — локальные координаты точки в окрестности 5Q, r — расстояние от точки до SQ вдоль нормали к дО, П¡(р, l) — пограничные функции, играющие существенную роль вблизи границы дО и экспоненциально стремящиеся к нулю при р ^ да. Отметим, что в этом случае корень ф(х) вырожденного уравнения является простым (однократным) в силу (1.4).

Если область D. — прямоугольник, то асимптотика решения содержит четыре вида пограничных функций типа функций П¡(р, l) из (1.5) (каждый вид относится к одной из четырех сторон

1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 12-01-00387).

1291

5*

прямоугольника О) и еще четыре вида угловых пограничных функций, относящихся, соответственно, к каждой из четырех вершин прямоугольника О (см. [2]).

В данной работе задача (1.1), (1.2) исследуется при условии, что вырожденное уравнение (1.3) имеет двукратный корень. В связи с этим введем следующее

Условие А1. Пусть функция 7(и, х, е) имеет вид

7(и,х, е) = к(и, х)(и - ф(х))2 - е/1(и, х, е), (1.6)

где к, ф, У1 — достаточно гладкие функции, и пусть

к(х) := к(ф(х),х) > 0, х ей (1.7)

Как обычно, требуемый порядок гладкости зависит от порядка асимптотики, которую мы хотим построить; поскольку речь пойдет об асимптотике произвольного порядка, будем считать указанные функции бесконечно дифференцируемыми.

При условии А1 корень и = ф(х) уравнения(1.3) является двукратным и, как оказывается, это приводит к качественному изменению асимптотики (при малых е ) решения задачи (1.1), (1.2): изменяется масштаб погранслойных переменных, а регулярный и погранслойные ряды становятся рядами не по целым, а по дробным степеням е . Кроме того, существенное влияние на вид асимптотики решения оказывает теперь член порядка е , входящий в правую часть уравнения (1.6),

а именно функция /х(х) := /!(ф(х), х,0).

Условие А2. Пусть

/х(х) > 0, х еП.

В разд. 2 будет рассмотрен случай, когда О — область с достаточно гладкой границей, а в разд. 3 рассматривается случай, когда О — прямоугольник. В каждом случае будет построено асимптотическое разложение решения задачи (1.1), (1.2) и доказано существование решения с построенной асимптотикой.

2. СЛУЧАЙ, КОГДА О - ОБЛАСТЬ С ГЛАДКОЙ ГРАНИЦЕЙ 2.1. Построение асимптотики решения

Как и в случае простого корня вырожденного уравнения, асимптотика решения задачи (1.1), (1.2) при условиях А1 и А2 будет состоять из регулярной и погранслойной частей, но существенное отличие от случая простого корня состоит в том, что регулярная часть будет теперь рядом по

степеням (а не е ), а погранслойная переменная будет иметь другой масштаб. Итак, регулярную часть и(х,е) будем строить в виде

да

и(х, е) = ^ е1/2щ (х). (2.1)

1=0

Уравнения для коэффициентов щ(х) этого ряда получаются стандартным способом, т.е. путем подстановки ряда (2.1) в уравнение (1.1) вместо и и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях л/в в разложениях левой и правой частей равенства. В результате получаем и0 = ф(х), а функция и1(х) является решением уравнения

к(х)и1 - 7г(х) = 0.

В силу условий А1 и А2 это уравнение имеет два вещественных корня. В качестве и1(х) выберем положительный корень (такой выбор будет оправдан ниже):

и1 (х) = [к- (х) 7 (х )]1/2 > 0, х еа (2.2)

Следующие коэффициенты и(х) ряда (2.1) последовательно определяются как решения линейных алгебраических уравнений

[2к(х)и1 (х)]и (х) = % (х), 1> 2, (2.3)

где И(х) выражаются рекуррентно через и у(х), у < I, а коэффициент при щ(х) отличен от нуля в силу (1.7) и (2.2).

Отметим, что уравнение (2.3) получается в результате приравнивания коэффициентов при

17+1)/2

в , поэтому частичная сумма

(и) и

и = У г %(х)

1=0

ряда (2.1) при подстановке в уравнение (1.1) дает невязку порядка 0(еи/2+1), т.е.

(и) (и) (и) _

Ц и := б2А и - /(и, х, б) = 0(би/2+1), х еП. (2.4)

Для построения погранслойной части асимптотики перейдем в окрестности границы дО. к новым (локальным) координатам. Пусть уравнения границы дО. имеют вид

Х1 = ^(0, Х2 2(1), 0 < I < 1о,

где ^1(/) и у2(1) — бесконечно дифференцируемые функции и у12(/) + у22(/) ф 0.

В достаточно малой окрестности границы дО (в которой нормали к дО не пересекаются) введем локальные координаты (г, /), где г — расстояние от точки до дО вдоль нормали. Координаты (х1, х2) точки связаны с координатами (г, /) равенствами

Х1 =¥1(/) - Г^Ш-, х2 =¥2(/) + Г^ЛШ-.

^ *\(/) + ¥'"(/) '?(/) + ¥'"(/) Произведем теперь растяжение переменной г, причем коэффициент растяжения возьмем равным в3/4 (а не е , как в случае простого корня вырожденного уравнения), т.е. введем погран-

слойную переменную р = .

е 3

2

В переменных (р, /) оператор е А имеет вид

2

Б 2Д = 4г-д2 + У е;/4 Ц, (2.5)

дР ,=3

где Ц — линейные дифференциальные операторы с коэффициентами, зависящими от р, /, содержащие операции дифференцирования —, —, —-.

др д/ д/2

Погранслойную часть асимптотики П(р, /, б) будем строить в виде ряда по степеням в1/4, а поскольку граничное условие (1.2) можно записать в виде

1 ди

ди дг

г=0

£3/4 др

= 0,

р=о

то погранслойный ряд имеет вид

да

П(р, /, 6) = 63/4 У б;/4Щр, /). (2.6)

,=0

Уравнения для коэффициентов П,(р, /) этого ряда получаются стандартным образом (см. [2]), т.е. путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях е в разложениях левой и правой частей равенства

6 2ДП = П/ (П, р, /, б), (2.7)

где оператор в2 А записывается в виде (2.5),

П/ = /(и(х(б3/4р,/),6) + П(р,/,б),х(б3/4р,/),6) - /(й(х(б3/4р,/),6),х(б3/4р,/),6),

.3/4

м(х(б р, /), б) — ряд (2.1) в переменных (р, /), П(р, /, б) — ряд (2.6).

Для П,(р, I) получаются линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка (переменная I входит как параметр)

^ - k2(/)П, =п(р,/), р> 0, (2.8)

др

где

k2(/) := 2Л(0, /)U1(0, l), щ(г, l) := щ(х(г, /))

и аналогичный смысл имеет обозначение к (г, I), а функции щ(р, I) выражаются рекуррентно через Пу(р,I), у < I, в частности, я0(р,I) = 0.

Граничные условия для функций П;(р, I) при р = 0 обусловлены тем, что погранслойная часть асимптотики совместно с регулярной частью должны удовлетворять заданному граничному условию (1.2), т.е.

дЩ/2

^ (0, /) =

dp

:(0, /), если i - четное число,

дг ' (2.9)

0, если i - нечетное число. Второе граничное условие — стандартное для пограничных функций условие на бесконечности:

П i (да, /) = 0. (2.10)

Для П 0(р, /) получается выражение

П 0(р, /) = k-\l) ^(0, /) exp(-k(/)p), дг

а следующие функции ni(p, /), i > 1, также находятся последовательно в явном виде и экспоненциально стремятся к нулю при р ^ да :

|Пi(p, /)| < с ехр(-кр), р> 0, 0 < / < /0; (2.11)

здесь и далее c > 0 и к > 0 — подходящие положительные числа, не зависящие от s.

Отметим, что уравнение (2.8) получается из (2.7) путем приравнивания коэффициентов при

(i+5)/4

в , поэтому частичная сумма

(2«) 2n n=s3/4X в;/4Щр, /)

i=0

ряда (2.6) удовлетворяет равенству (2.7) с точностью 0(е(2и+6)/4) = 0(е(и+3)/2) :

(2«) (2«)

в2ДП-ПДП,р,/,s) = 0(s(«+3)/2), р> 0, 0 < / < /0. (2.12)

Хотя формально функции П;(р, /) определены для р > 0, фактически они имеют смысл только при 0 < р < 5/б, т.е. в той (достаточно малой) 5-окрестности границы дО, где введены локальные координаты (г, /). Для гладкого продолжения их на всю область Q применим стандартную процедуру (см. [2])умножения П-функций на бесконечно дифференцируемую срезающую функцию, в результате чего П -функции не изменятся в 5/2 -окрестности границы дО и станут равными нулю вне 5-окрестности дО. Для регуляризованных таким образом функций П;(р, /) сохраним старые обозначения. Соотношения (2.11) и (2.12) останутся при этом в силе.

2.2. Обоснование асимптотики Итак, мы построили регулярный (2.1) и погранслойный (2.6) ряды. Для суммы этих рядов обозначим через U«(x, s) частичную сумму следующего вида:

« 2«-2

U«(x, s) = X &i/2Û(x) + е3/4 X 8'74П'(Р, /). (2.13)

i=0 i=0

Теорема 1. При условиях А1 и А2 для достаточно малых е задача (1.1), (1.2) имеет решение и(х, е), для которого функция (2.13) является равномерным в О асимптотическим приближением с точно-стьюО(г ), т.е.

и(х,б) = и„(х,б) + 0(б("+1)/2), х еа

(2.14)

Доказательство. Докажем теорему с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств, т.е. путем построения подходящих нижнего и верхнего решений задачи (1.1), (1.2) с использованием суммы (2.13).

Напомним, что функции и(х, е) и и(х, е) называются нижним и верхним решениями задачи (1.1), (1.2), если они удовлетворяют следующим условиям:

2) Ш > о >дР,

дп дп

1) ьци := б 2Д Р -/(и,х, е)> о > ЦР, х

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком