ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2013, том 53, № 8, с. 1291-1301
УДК 519.632.34
СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА В СЛУЧАЕ КРАТНОГО КОРНЯ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯ^
© 2013 г. В. А. Белошапко, В. Ф. Бутузов
(119991 Москва, Ленинские горы, МГУ, физ. ф-т) e-mail:postvab@rambler.ru, butuzov@phys.msu.ru Поступила в редакцию 20.03.2013 г.
Для сингулярно возмущенной эллиптической краевой задачи построено и обосновано асимптотическое разложение погранслойного решения в случае двукратного корня вырожденного уравнения. Кратность корня приводит к качественному изменению асимптотики решения по сравнению со случаем простого корня. Библ. 5.
Ключевые слова: сингулярно возмущенные эллиптические уравнения, погранслойная асимптотика, случай кратного корня вырожденного уравнения.
DOI: 10.7868/S0044466913080036
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим краевую задачу
62Ди = f (и,х,б), х = (хьх2) eQ, (1.1)
— = 0, х е дО, (1.2)
дп
д2 д2
где е > 0 — малый параметр, А = —j +--- — оператор Лапласа, Q — ограниченная область с гра-
дх1 дх2
ницей dQ, —— производная по внутренней нормали к dQ. дп
Известно (см. [1], [2]), что если вырожденное уравнение
f (и, х,0) = 0 (1.3)
имеет корень и = ф(х), х еО, причем
f/фх),х,0) > 0, х еО, (1.4)
функция f и граница 5Q достаточно гладкие, то задача (1.1), (1.2) для достаточно малых s имеет решение и(х, е) с асимптотическим представлением
п п
и(х,Б) = ф(х) + ^е'щ (х) + ^е'п,(р,l) + 0(sn+1), х еО, (1.5)
i=1 i=1
где и(х) — члены регулярной части асимптотики, р = r/е — погранслойная переменная, (r, l) — локальные координаты точки в окрестности 5Q, r — расстояние от точки до SQ вдоль нормали к дО, П¡(р, l) — пограничные функции, играющие существенную роль вблизи границы дО и экспоненциально стремящиеся к нулю при р ^ да. Отметим, что в этом случае корень ф(х) вырожденного уравнения является простым (однократным) в силу (1.4).
Если область D. — прямоугольник, то асимптотика решения содержит четыре вида пограничных функций типа функций П¡(р, l) из (1.5) (каждый вид относится к одной из четырех сторон
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 12-01-00387).
1291
5*
прямоугольника О) и еще четыре вида угловых пограничных функций, относящихся, соответственно, к каждой из четырех вершин прямоугольника О (см. [2]).
В данной работе задача (1.1), (1.2) исследуется при условии, что вырожденное уравнение (1.3) имеет двукратный корень. В связи с этим введем следующее
Условие А1. Пусть функция 7(и, х, е) имеет вид
7(и,х, е) = к(и, х)(и - ф(х))2 - е/1(и, х, е), (1.6)
где к, ф, У1 — достаточно гладкие функции, и пусть
к(х) := к(ф(х),х) > 0, х ей (1.7)
Как обычно, требуемый порядок гладкости зависит от порядка асимптотики, которую мы хотим построить; поскольку речь пойдет об асимптотике произвольного порядка, будем считать указанные функции бесконечно дифференцируемыми.
При условии А1 корень и = ф(х) уравнения(1.3) является двукратным и, как оказывается, это приводит к качественному изменению асимптотики (при малых е ) решения задачи (1.1), (1.2): изменяется масштаб погранслойных переменных, а регулярный и погранслойные ряды становятся рядами не по целым, а по дробным степеням е . Кроме того, существенное влияние на вид асимптотики решения оказывает теперь член порядка е , входящий в правую часть уравнения (1.6),
а именно функция /х(х) := /!(ф(х), х,0).
Условие А2. Пусть
/х(х) > 0, х еП.
В разд. 2 будет рассмотрен случай, когда О — область с достаточно гладкой границей, а в разд. 3 рассматривается случай, когда О — прямоугольник. В каждом случае будет построено асимптотическое разложение решения задачи (1.1), (1.2) и доказано существование решения с построенной асимптотикой.
2. СЛУЧАЙ, КОГДА О - ОБЛАСТЬ С ГЛАДКОЙ ГРАНИЦЕЙ 2.1. Построение асимптотики решения
Как и в случае простого корня вырожденного уравнения, асимптотика решения задачи (1.1), (1.2) при условиях А1 и А2 будет состоять из регулярной и погранслойной частей, но существенное отличие от случая простого корня состоит в том, что регулярная часть будет теперь рядом по
степеням (а не е ), а погранслойная переменная будет иметь другой масштаб. Итак, регулярную часть и(х,е) будем строить в виде
да
и(х, е) = ^ е1/2щ (х). (2.1)
1=0
Уравнения для коэффициентов щ(х) этого ряда получаются стандартным способом, т.е. путем подстановки ряда (2.1) в уравнение (1.1) вместо и и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях л/в в разложениях левой и правой частей равенства. В результате получаем и0 = ф(х), а функция и1(х) является решением уравнения
к(х)и1 - 7г(х) = 0.
В силу условий А1 и А2 это уравнение имеет два вещественных корня. В качестве и1(х) выберем положительный корень (такой выбор будет оправдан ниже):
и1 (х) = [к- (х) 7 (х )]1/2 > 0, х еа (2.2)
Следующие коэффициенты и(х) ряда (2.1) последовательно определяются как решения линейных алгебраических уравнений
[2к(х)и1 (х)]и (х) = % (х), 1> 2, (2.3)
где И(х) выражаются рекуррентно через и у(х), у < I, а коэффициент при щ(х) отличен от нуля в силу (1.7) и (2.2).
Отметим, что уравнение (2.3) получается в результате приравнивания коэффициентов при
17+1)/2
в , поэтому частичная сумма
(и) и
и = У г %(х)
1=0
ряда (2.1) при подстановке в уравнение (1.1) дает невязку порядка 0(еи/2+1), т.е.
(и) (и) (и) _
Ц и := б2А и - /(и, х, б) = 0(би/2+1), х еП. (2.4)
Для построения погранслойной части асимптотики перейдем в окрестности границы дО. к новым (локальным) координатам. Пусть уравнения границы дО. имеют вид
Х1 = ^(0, Х2 2(1), 0 < I < 1о,
где ^1(/) и у2(1) — бесконечно дифференцируемые функции и у12(/) + у22(/) ф 0.
В достаточно малой окрестности границы дО (в которой нормали к дО не пересекаются) введем локальные координаты (г, /), где г — расстояние от точки до дО вдоль нормали. Координаты (х1, х2) точки связаны с координатами (г, /) равенствами
Х1 =¥1(/) - Г^Ш-, х2 =¥2(/) + Г^ЛШ-.
^ *\(/) + ¥'"(/) '?(/) + ¥'"(/) Произведем теперь растяжение переменной г, причем коэффициент растяжения возьмем равным в3/4 (а не е , как в случае простого корня вырожденного уравнения), т.е. введем погран-
слойную переменную р = .
е 3
2
В переменных (р, /) оператор е А имеет вид
2
Б 2Д = 4г-д2 + У е;/4 Ц, (2.5)
дР ,=3
где Ц — линейные дифференциальные операторы с коэффициентами, зависящими от р, /, содержащие операции дифференцирования —, —, —-.
др д/ д/2
Погранслойную часть асимптотики П(р, /, б) будем строить в виде ряда по степеням в1/4, а поскольку граничное условие (1.2) можно записать в виде
1 ди
ди дг
г=0
£3/4 др
= 0,
р=о
то погранслойный ряд имеет вид
да
П(р, /, 6) = 63/4 У б;/4Щр, /). (2.6)
,=0
Уравнения для коэффициентов П,(р, /) этого ряда получаются стандартным образом (см. [2]), т.е. путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях е в разложениях левой и правой частей равенства
6 2ДП = П/ (П, р, /, б), (2.7)
где оператор в2 А записывается в виде (2.5),
П/ = /(и(х(б3/4р,/),6) + П(р,/,б),х(б3/4р,/),6) - /(й(х(б3/4р,/),6),х(б3/4р,/),6),
.3/4
м(х(б р, /), б) — ряд (2.1) в переменных (р, /), П(р, /, б) — ряд (2.6).
Для П,(р, I) получаются линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка (переменная I входит как параметр)
^ - k2(/)П, =п(р,/), р> 0, (2.8)
др
где
k2(/) := 2Л(0, /)U1(0, l), щ(г, l) := щ(х(г, /))
и аналогичный смысл имеет обозначение к (г, I), а функции щ(р, I) выражаются рекуррентно через Пу(р,I), у < I, в частности, я0(р,I) = 0.
Граничные условия для функций П;(р, I) при р = 0 обусловлены тем, что погранслойная часть асимптотики совместно с регулярной частью должны удовлетворять заданному граничному условию (1.2), т.е.
дЩ/2
^ (0, /) =
dp
:(0, /), если i - четное число,
дг ' (2.9)
0, если i - нечетное число. Второе граничное условие — стандартное для пограничных функций условие на бесконечности:
П i (да, /) = 0. (2.10)
Для П 0(р, /) получается выражение
П 0(р, /) = k-\l) ^(0, /) exp(-k(/)p), дг
а следующие функции ni(p, /), i > 1, также находятся последовательно в явном виде и экспоненциально стремятся к нулю при р ^ да :
|Пi(p, /)| < с ехр(-кр), р> 0, 0 < / < /0; (2.11)
здесь и далее c > 0 и к > 0 — подходящие положительные числа, не зависящие от s.
Отметим, что уравнение (2.8) получается из (2.7) путем приравнивания коэффициентов при
(i+5)/4
в , поэтому частичная сумма
(2«) 2n n=s3/4X в;/4Щр, /)
i=0
ряда (2.6) удовлетворяет равенству (2.7) с точностью 0(е(2и+6)/4) = 0(е(и+3)/2) :
(2«) (2«)
в2ДП-ПДП,р,/,s) = 0(s(«+3)/2), р> 0, 0 < / < /0. (2.12)
Хотя формально функции П;(р, /) определены для р > 0, фактически они имеют смысл только при 0 < р < 5/б, т.е. в той (достаточно малой) 5-окрестности границы дО, где введены локальные координаты (г, /). Для гладкого продолжения их на всю область Q применим стандартную процедуру (см. [2])умножения П-функций на бесконечно дифференцируемую срезающую функцию, в результате чего П -функции не изменятся в 5/2 -окрестности границы дО и станут равными нулю вне 5-окрестности дО. Для регуляризованных таким образом функций П;(р, /) сохраним старые обозначения. Соотношения (2.11) и (2.12) останутся при этом в силе.
2.2. Обоснование асимптотики Итак, мы построили регулярный (2.1) и погранслойный (2.6) ряды. Для суммы этих рядов обозначим через U«(x, s) частичную сумму следующего вида:
« 2«-2
U«(x, s) = X &i/2Û(x) + е3/4 X 8'74П'(Р, /). (2.13)
i=0 i=0
Теорема 1. При условиях А1 и А2 для достаточно малых е задача (1.1), (1.2) имеет решение и(х, е), для которого функция (2.13) является равномерным в О асимптотическим приближением с точно-стьюО(г ), т.е.
и(х,б) = и„(х,б) + 0(б("+1)/2), х еа
(2.14)
Доказательство. Докажем теорему с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств, т.е. путем построения подходящих нижнего и верхнего решений задачи (1.1), (1.2) с использованием суммы (2.13).
Напомним, что функции и(х, е) и и(х, е) называются нижним и верхним решениями задачи (1.1), (1.2), если они удовлетворяют следующим условиям:
2) Ш > о >дР,
дп дп
1) ьци := б 2Д Р -/(и,х, е)> о > ЦР, х
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.