РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2007, том 52, № 2, с. 165-175
ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ
УДК 621.391.01
СИНХРОНИЗАЦИЯ И СЛОЖНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ДВУХКОЛЬЦЕВОЙ СИСТЕМЕ С ФАЗОВЫМ УПРАВЛЕНИЕМ
© 2007 г. В. П. Пономаренко
Поступила в редакцию 24.05.2005 г.
Приведены результаты исследования режимов динамического поведения в связанных системах с фазовым управлением, предназначенных для следящей оценки параметров сложного сигнала, в случае, когда обе подсистемы индивидуально демонстрируют как регулярные, так и хаотические динамические состояния. Определены границы области захвата в режим слежения, исследованы сценарии преобразования динамических режимов при выходе из области захвата. Установлено, что применение сложных фильтров в цепях управления подсистем и связи по цепям управления создает возможности для возбуждения разнообразных регулярных и хаотических несинхронных режимов.
1. Данная работа посвящена исследованию динамических режимов и бифуркаций в модели двухкольцевой системы синхронизации (ДСС), объединяющей взаимодействующие подсистемы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) и автоподстройки задержки во времени (АПЗ). Класс различных вариантов систем с такой структурой интересен тем, что они являются схемной реализацией оптимальных алгоритмов следящей оценки изменяющихся параметров (фазового угла Ф(0 и задержки во времени Т(ф псевдослучайных фа-зоманипулированных радиосигналов [1, 2]. Такие сложные сигналы активно используются в широкополосных системах передачи и обработки информации, получающих в настоящее время все большее распространение [3-6]. Основными элементами ДСС являются: управляемые генераторы подсистем ФАПЧ и АПЗ, с помощью которых синтезируется опорный сигнал с параметрами и Т*(0 - оценками параметров и Т(0; нелинейные дискриминаторы рассогласований ф = = Ф(0 - Ф*(0 и п = Т(() - Т*(0; цепи управления с фильтрами низких частот (ФНЧ), типы которых задаются в соответствии с принятыми моделями динамики параметров Ф и Т. Функционирование ДСС основано на явлении синхронизации входного (оцениваемого) и опорного сигналов. Синхронизация осуществляется путем измерения рассогласований ф и п и последующей автоматической коррекции параметров Ф* и Т* в сторону уменьшения выявленных рассогласований до достижения стационарного состояния, в котором величины ф и п имеют минимальные значения, т.е. параметры Ф* и Т* минимально отличаются от оцениваемых параметров Ф и Т. Такое состояние систем принято называть режимом синхронного слежения за изменяющимися параметрами Ф и Т входного сигнала.
В задаче следящей оценки параметров Ф и Т режим слежения является основным рабочим состоянием ДСС. Отыскание условий реализации этого режима связано с исследованием так называемых несинхронных режимов с непостоянными величинами рассогласований ф и п. Цепи управления создают широкие возможности для возбуждения разнообразных несинхронных режимов. Бифуркации, в результате которых появляются такие режимы, определяют границы области захвата в режим слежения. Несинхронные режимы являются нежелательными для обеспечения следящей оценки параметров Ф и Т, но оказываются основными рабочими процессами в задачах формирования сложных регулярных и хаотических колебаний. Варьируя параметры цепей управления, можно эффективно воздействовать на свойства и области существования генерируемых колебаний. Использование разнообразных несинхронных режимов, особенно режимов динамического хаоса, позволяет расширить область применения ДСС. В частности, они могут оказаться привлекательными для применения в системах передачи информации с хаотическими сигналами [7, 8]. Таким образом, знание особенностей нелинейной динамики различных вариантов ДСС, механизмов возбуждения и развития несинхронных режимов и перехода к хаотическому поведению, способов воздействия на развитие колебательных процессов имеет большое значение для обоснованного принятия решения о целесообразности использования того или иного варианта структуры системы в конкретных приложениях.
На поведение ДСС существенное влияние оказывают индивидуальные динамические свойства подсистем ФАПЧ и АПЗ, определяемые параметрами цепей управления, а также типы и параметры связей между подсистемами. В данной ра-
боте исследуется динамика ДСС, в которой взаимодействие подсистем реализуется через связь с выхода подсистемы АПЗ на вход подсистемы ФАПЧ, необходимую для демодуляции принимаемого сигнала, и через связь по цепям управления, посредством которой сигнал о фазовом рассогласовании, образующийся в петле фазовой автоподстройки, передается в цепь управления задержкой [1, 9]. Такая система интересна тем, что она реализует алгоритм следящей оценки параметров Ф и Т, основанный на так называемой некогерентной обработке входного сигнала [2, 10], которая позволяет обеспечить режим слежения в более широких интервалах частотных и временных рассогласований оцениваемого и опорного сигналов. Основная цель работы состоит в выяснении свойств динамического поведения системы, обусловленных применением ФНЧ второго и третьего порядка в цепях управления подсистем ФАПЧ и АПЗ соответственно и связи по цепям управления. Рассматриваемые типы ФНЧ соответствуют моделям динамики параметров Ф и Т, используемым в ряде прикладных задач [1, 2, 10].
2. Уравнения динамики рассматриваемой ДСС получаем из уравнений для оценок Ф* и Т*, выведенных в [2, 10]. Эти уравнения, записанные для рассогласований ф и х, в операторной форме (р = можно представить в виде [11]
рф/к 1 = у - Кх(р)Ф(ф, х), х = а - ЬК2(р)(Б(х) + к2ф(ф, х)),
(1)
Я (х) =
Б (х) =
1+ х, -1 < х < 0, 1-х, 0 < х < 1, 0, |х| > 1,
-2-х, -2 < х <-1, х, -1 < х < 1, 2-х, 1 < х < 2, 0, |х| > 2.
Индивидуальное поведение подсистем ФАПЧ и АПЗ, характер динамических режимов, возникающих в ДСС, и процессов их преобразования при изменении параметров системы в значительной степени зависят от типа ФНЧ в цепях управления. Даже в простейшем случае ФНЧ первого порядка, когда Кх(р) = 1, К2(р) = 1/(1 + Тхр) Т- постоянная времени), структура разбиения пространства параметров системы на области с различными динамическими режимами оказывается достаточно сложной [11]. Система имеет два стационарных режима. Один из этих режимов - это режим слежения за параметрами оцениваемого сигнала, которому в фазовом пространстве соответствующей динамической модели отвечает устойчивое состояние равновесия с координатами фх и хъ определяемыми равенствами
ф! = а1тат(у/(1- x1sign(а - ау))), х1 = (а - ау)/(1 + Ь).
(2)
где х = п / т0 (т0 - длительность одного элемента модулирующего псевдослучайного сигнала), к1 и Ь -коэффициенты усиления по цепям управления подсистем, к2 - степень связи через управляющие сигналы, у = рФ/ к1 и а = (Т - Т0)/т0 - начальные частотная и временная расстройки (Т0 - начальное значение задержки сигнала, генерируемого в подсистеме АПЗ), К1(р) и К2(р) - коэффициенты передачи ФНЧ в цепях управления подсистем ФАПЧ и АПЗ, Ф(ф, х) = Я(х^ш ф, Я(х) и Б(х) - соответственно корреляционная функция модулирующего сигнала и характеристика дискриминатора подсистемы АПЗ, определяемые зависимостями [1]
Область существования этого режима определяется значениями параметров (у, Ь, а, а) е С0, где
О = {шах(уз, Уф) < у < шт(уь Уг)}, ух, 2 = (1 + Ь + а)/(1 + + Ь + а), Уз, 4 = -(1 + Ь ± а)/(1 + Ь + а).
Другой из возможных режимов - это несинхронный режим, определяемый вращательным предельным циклом с неограниченным изменением ф, иначе называемый периодическим асинхронным режимом. Границы области захвата в режим слежения соответствуют бифуркациям двойных вращательных предельных циклов, в результате этих бифуркаций и возникают асинхронные режимы. При значениях параметров вне области захвата наблюдается мультистабильное поведение системы - в зависимости от начальных условий реализуются либо режим слежения, либо один из двух возможных периодических асинхронных режимов.
При использовании в цепях управления подсистем ФНЧ более высокого порядка динамика системы существенно усложняется - наряду с режимом слежения и периодическим асинхронным режимом возникают сложнопериодические и хаотические асинхронные режимы [11], возможны также потеря устойчивости режима слежения и переход к периодическому квазисинхронному режиму, определяемому предельным циклом колебательного типа, хаотизация квазисинхронного режима и другие явления сложной динамики. В связи с этим требуется детальное исследование динамических состояний и бифуркаций в такой системе, которое, с одной стороны, позволит определить границы области захвата в режим слежения, а с другой - даст возможность выяснить возможные несинхронные режимы и перестройки поведения
системы при значениях параметров вне этой области и установить влияние параметров инерционности и связи. Рассмотрим в этом аспекте динамику ДСС в случае, когда F1(p) = 1/(1 + (Т1 + Т2)р + + Т1Т2Р2), ^(р) = 1/(1 + (Т2 + Тз + Т4)р + (Т2Т3 + Т2Т4 + + Т3Т4)р2 + Т2Т3Т4р3), интересном тем, что подсистемы ФАПЧ и АПЗ с такими ФНЧ индивидуально могут демонстрировать как регулярную, так и хаотическую динамику. В рассматриваемом случае уравнения (1) записываются в виде
ёф /ёт = у, ёу/ёт = г,
£ £2ёг/ёт = у - Ф(ф, х) - у - (£ + £2)г,
ёх/ё т = V, ё V / ё т = w, (3)
£3£4£5ёw/ ёт = а - х - ЬБ(х) - аФ(ф, х) -
- (е3 + £4 + £5 ) V - (е3 £4 + £3 £5 + £4£5 )w,
где £ = к1Т, - параметры инерционности, / = 1, 5 . Система (3) является динамической системой с шестимерным цилиндрическим фазовым пространством и = (ф(mod 2п), у, г, х, V, w).
3. Рассмотрим вопрос об устойчивости режима слежения ДСС. Система (3) при значениях параметров (у, Ь, а, а) е С0 имеет два состояния равновесия: ^1(ф1, 0, 0, х1, 0, 0) и А2(п - фх, 0, 0, х1, 0, 0), расположенные в области -1 < х <1 фазового пространства и, координаты ф1 и х1 определены равенствами (2). Состояние равновесия А1 может быть как устойчивым, так и неустойчивым, состояние равновесия А2 - неустойчивое седлового типа. Условия устойчивости состояния равновесия А1 определяем из анализа корней характеристического уравнения
X6 + а1^5 + а2 Х4 + а3 X3 + а4Х2 + а5 X + аб = 0,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.