РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 8, с. 956-965
ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ
УДК 517.9
СИНХРОНИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ ХАОТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ УПРАВЛЕНИИ С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
© 2004 г. Э. В. Кальянов
Поступила в редакцию 12.05.2003 г.
Приведены уравнения системы диффузионно связанных генераторов (подсистем). Численными методами проведен анализ работы автономного генератора и режимов управления колебаниями в случаях, когда синхронизируемая и синхронизирующая подсистемы работают в хаотических режимах, а также когда одна из них (ведущая или ведомая) генерирует регулярные колебания.
ВВЕДЕНИЕ
Принудительная синхронизация автоколебательных систем с хаотической динамикой широко исследуется в настоящее время [1-4]. Колебательные процессы в таких системах зависят как от структур аттракторов, соответствующих колебаниям управляющего и управляемого генераторов (воздействующего и синхронизируемого), так и от вида связи между генераторами. Эти процессы весьма разнообразны и несравненно сложнее явлений, наблюдающихся в принудительно синхронизируемых системах с регулярной динамикой (см., например, [5-7]). Дальнейшее изучение управления колебаниями хаотических систем представляется интересным как с позиций современной теории колебаний, так и применительно к использованию в системах скрытой связи. В данной работе рассматривается новая достаточно простая автоколебательная система, обладающая хаотической динамикой. Приводятся результаты численного анализа управления ее колебаниями в различных режимах работы при диффузионной связи с источником внешнего сигнала.
1. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Помимо уравнений, описывающих различные радиофизические, химические и другие системы с хаотической динамикой, в настоящее время известно много искусственно сконструированных уравнений, для которых характерны хаотические решения [8-10]. Наиболее известной искусственной системой является одна из систем, описываемая уравнениями Рёсслера [11], хотя уравнения Лоренца [12] тоже можно в определенном смысле рассматривать как искусственные, поскольку они не отображают конкретную физическую систему. Развивая дальше эту мысль, можно полагать в той или иной мере искусственными и многие уравнения физических систем, в которых приводится
приближенная аппроксимация каких-либо характеристик. Это, в частности, относится и ко многим уравнениям с дискретным временем.
Уравнения рассматриваемой искусственно сконструированной математической модели генератора имеют вид
йх/йг = у - х,
йу/йг = хг - ау, (1)
йг/йг = в - ху,
где а, в - постоянные коэффициенты, определяющие режим работы генератора.
Первое уравнение этой системы с точностью до постоянного множителя совпадает с первым уравнением хорошо известной системы Лоренца, имеющего следующий вид [12]: йх/йг = с(у - х). Второе и третье уравнения системы (1) близки к выражениям для производных от у и г в модели, описывающей магнитодинамическое динамо Земли [13]
йх/йг = -ах - гу, йу/йг = -дх + хг - ау, (2)
йг/йг = 1 - ху.
При д = 0 второе уравнение этой системы совпадает со вторым уравнением системы (1), а третье уравнение системы (1) при в = 1 преобразуется в третье уравнение модели (2).
При а = 0, в = 1 и простой замене переменных уравнения (1) преобразуются в одну из систем искусственно сконструированных уравнений Спрот-та (модель В) [9, 10]:
йх/йг = уг, йу/йг = х - у, (3)
йг/йг = 1 - ху.
[х] 12
12
-12
(в)
'.'л
.: - .-■-'-..- Л-- -V -л
р
Рис. 1. Изменение максимальных значений колебательного процесса х(г) в зависимости от параметра р: а = 0 (а), 0.25 (б) и 1 (в).
0.3
0.1
-0.1
(а)
—0 1_I_I_I_I_I_I_I_I-
'0 3 6 р
Рис. 2. Изменения характеристического показателя Ляпунова X в зависимости от параметра р: а = 0 (а), 0.25 (б), 1 (в).
На основе уравнений (1) нетрудно записать общие уравнения системы п (п = 1, 2, 3...) генераторов, связанных через диффузию
¿х^г = у - х{ + Ух! X (х] - х1) , ¿у = х{ц - ау! + Уу! X (У] - уд , (4)
Л з *!
¿1№г = р - х!у! + у^ X (- ,
где !,] = 1, 2, 3...п, ухЬ уу!, уг{- коэффициенты диффузионной связи.
Численный анализ этих уравнений проводился при п = 2 применительно к однонаправленной диффузионной связи, когда имеет место управление колебаниями (принудительная синхронизация) одной системы со стороны другой. При расчетах использовался метод Рунге-Кутта 4-го порядка; шаг интегрирования по времени г равен 0.02. При ав-
тономном режиме работы и в режиме управления колебаниями рассчитывались реализации колебаний, аттракторы, бифуркационные диаграммы, спектры мощности и характеристические показатели Ляпунова.
2. АВТОНОМНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Прежде чем проводить анализ процесса синхронизации колебаний, целесообразно рассмотреть колебательные процессы в одном парциальном генераторе. Это необходимо для выбора характерных режимов работы взаимодействующих подсистем и представляет самостоятельный интерес.
На рис. 1-4 приведены зависимости, иллюстрирующие поведение автономного генератора, описываемого уравнениями (1). Бифуркационные диаграммы, представленные на рис. 1, показывают изменение максимальных значений колебательного процесса х(г) (обозначенных [х]) в зависимости от параметра Р при различных величинах
X
0
6
Рис. 3. Характерные аттракторы, соответствующие регулярным (а) и хаотическим (б, в) движениям: а -а = 0.25, р = 4.608343, б - а = 1, р = 4.609693, в - а = 1, в =5.023817.
Рис. 4. Спектры мощности, соответствующие регулярным (а) и хаотическим (б, в) движениям: а - а = = 0.25, р = 4.608343, б - а = 1, в = 4.609693, в - а = 1, в = 5.023817.
параметра а. На рис. 2 приведены соответствующие изменения характеристического показателя Ляпунова (А,). Начальные условия для всех переменных полагались равными 0.1.
Как видно (рис. 1а), при а = 0 случайный разброс точек, соответствующих максимальных значениям колебательного процесса х(г), реализуется в интервале Р е [0, 4.5]. При этом в окрестности значения Р - 2.5 происходит дехаотизация колебаний. Колебания с простым предельным циклом устанавливаются при Р > 5.4. Изменение характеристического показателя Ляпунова при а = 0 (рис. 2а) находится в соответствии с бифуркационной диаграммой рис. 1а. При Р - 2.5 наблюдается четко выраженный "провал" в изменении величины характеристического показателя Ляпунова, свидетельствующий об установлении регулярных движений. Значение этого показателя уменьшается
также при Р > 5. При этом исчезает мелкая изре-занность в изменении показателя Ляпунова.
При увеличении а область хаотических движений по параметру Р расширяется. При а = 0.25 переход от хаоса к регулярным движениям как показано на рис. 16 и 26 реализуется при Р > 8. При этом вблизи значения Р - 4.5 происходит дехаотизация колебаний. На рис. 16 виден интервал изменения Р е [4.2, 4.8], в котором отсутствует хаотический разброс значений [х]. На рис. 26 в этом интервале изменения Р происходит резкое падение показателя Ляпунова.
При а = 1 (см. рис. 1в, 2в) срыва хаотического режима колебаний не происходит вплоть до значения Р = 9. При Р - 2.4 и при Р - 3.9 (рис. 1в) реализуются режимы работы с длительным процессом колебаний в одном из двух устойчивых состояний
(колебания с низкой средней частотой хаотического переключения).
Характерные аттракторы и спектры мощности, соответствующие регулярным и хаотическим движениям, представлены на рис. 3, 4.
Начальные условия при расчете обоих рисунков выбраны как значения переменных при соответствующих величинах в на диаграммах рис. 16, в. Аттракторы рассчитаны в интервале времени г е [0, 320].
Из рис. 3 а следует, что при срыве хаотических движений устанавливаются колебания с относительно простым предельным циклом. При этом спектр колебаний дискретный (рис. 4а). При хаотических режимах работы аттрактор усложняется. Он отображает достаточно длительные интервалы времени квазирегулярных движений между их хаотическими переключениями и изображение фазовой траектории в проекции на плоскость {х, у} (рис. 36, в) имеет структуру аттрактора ло-ренцевского типа. Характерным для приведенных хаотических аттракторов является, как и в системах, приведенных в [12, 15], отображение колебательного процесса с переключением движений из одного "устойчивого" состояния в другое. Спектры мощности при величинах в, соответствующих хаотическим аттракторам, - непрерывные и свидетельствуют о хорошем перемешивании фазовых траекторий (рис. 46, в).
3. ПРИНУДИТЕЛЬНАЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ХАОТИЧЕСКИМ СИГНАЛОМ
В случае п = 2 при однонаправленной связи, когда первый генератор - синхронизируемый (управляемый или ведомый), а второй синхронизирующий (управляющий или ведущий), из системы (4) получаем
йх11йг = у1 - х1 + ух1(х2 - х1), ^/А = хЛ - а1У1 + Уу1(У2 - У1Х
й1Х1йг = в!- х 1 у!+ уг 1 ( г2 — 11), йх21 ^ = у2- х 2, ¿у2/йг = х2г2 - а2у2, = в2 - х2у2.
Учитывая результаты автономной работы генератора, когда в зависимости от значений постоянных а и в/ возможны различные режимы работы (регулярные или хаотические), с помощью уравнений (5) можно рассмотреть случаи, различающиеся режимами работы ведущего и ведомого генераторов.
На рис. 5а-в представлены бифуркационые диаграммы, рассчитанные по уравнениям (5) и иллюстрирующие управление хаотическими коле-
[*1 - *2]
(5)
0 -■
-5
-5
(б)
-5
(В)
0.5
У
Рис. 5. Изменение максимальных значений разности колебательных процессов х^г) и х2(г) в зависимости от параметра связи у при первом (а), втором (б) и третьем (в) вариантах связи.
баниями, когда режимы ведущего и ведомого генераторов являются хаотическими. На рисунке видны изменения максимальных значений разности колебательных процессов х1(г) и х2(г) в зависимости от параметра связи у, когда ух1 = уу1 = уг1 = у (первый вариант диффузионной связи, рис. 5а), Ух1 = Уу1 = У, Уа = 0 (второй вариант, рис. 56) и ух1 = у, уу1 = уг1 = 0 (третий вариант, рис. 5в). При этом а1 = 1, в1 = 4.609693, а2 = 1, в2 = 5.023817. Во всех трех вариантах диффузионной связи начальные условия определялись значениями для всех переменных на диаграмме рис. 1в при отмеченных в1 и в2.
По мере увеличения воздейст
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.