Автоматика и телемеханика, Л- 7, 2007
Адаптивные и робастные системы
РАС Б 02.30.Yy
© 2007 г. В.Р. АНДРИЕВСКИЙ, д-р техн. наук (Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург), В.О. НИКИФОРОВ, д-р техн. наук (Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики), А.Л. ФРАДКОВ, д-р техн. наук (Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург)
СИНХРОНИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕПАССИФИЦИРУЕМЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ АДАПТИВНЫХ НАБЛЮДАТЕЛЕЙ1
Общий подход к синхронизации динамических систем, осповаппый па применении адаптивных наблюдателей и методе пассификации развивается па пепас-сифицируемые нелинейные системы, в частности па системы, модель которых имеет относительный порядок, больший единицы. Предложены две схемы синхронизации: па основе адаптивных наблюдателей с расширенной ошибкой и па основе алгоритмов настройки повышенного порядка. Решение задачи синхронизации опирается па новую каноническую форму адаптивного наблюдателя. Установлены условия сходимости оценок параметров к истинным значениям при отсутствии помех в системе, а также показана грубость процесса адаптивной синхронизации по отношению к ограниченной ошибке измерений. На примере управляемой системы Лорепца продемонстрирована возможность применения предложенного метода для передачи информации модуляцией хаотического сигнала.
1. Введение
Среди свойств взаимодействующих колебательных систем важное место занимает свойство синхронизации, имеющее многочисленные применения в механике и физике [1 3]. в вибрационных технологиях [1. 2]. в радиотехнике и технике связи [4.5] и в других областях. В последние годы возрастает интерес к задачам управления синхронизацией, состоящим в обеспечении синхронного протекания процессов в системе путем введения дополнительных обратных связей. В частности, с начала 1990-х г.г. значительно вырос интерес к так называемой хаотической синхронизации, при которой каждая из синхронизируемых подсистем продолжает совершать сложные, хаотические колебания и после установления синхронного режима [6 8].
1 Работа частично финансировалась Российским фондом фундаментальных исследований, гранты 05-01-00869, 06-08-01386 и научной программой Президиума РАН '22 «Процессы управления» (проект 1.8).
Предложен целый ряд способов использования эффекта хаотической синхронизации для повышения скрытности и надежности передачи информации (см.. например. обзоры и специальные выпуски журналов [9 16]). В этом направлении получен ряд результатов по применению адаптивных методов [17 20]. Аналогично задаче об адаптивном управлении синхронизацией, в [8. 16. 21 24] рассматривается задача о синхронизации на основе адаптивного наблюдателя. Возникающие задачи отличаются от традиционно рассматриваемых задач наблюдения тем. что модель объекта наблюдения нелинейна и. возможно, неустойчива.
В [17. 20] предложен новый метод адаптивной синхронизации, базирующийся на использовании функций Ляпунова и пассификации. Этот метод был развит к задачам синхронизации на основе адаптивных наблюдателей для систем связи [21 23. 25. 26]. Однако применение подхода [17. 20] ограничивается условием пассифициру-емости объекта (источника сигнала, или «ведущей системы»). Это условие, в частности. означает, что относительная степень объекта не должна превышать единицу. Выполнение требования пасснфнцнруемостн препятствует повышению скрытности передаваемой информации, так как скачкообразное изменение полезного сигнала вызывает легко детектируемый скачок производной переданного сигнала [27].
Ниже метод синхронизации на основе адаптивных наблюдателей развивается на непассифицируемме системы, в том числе на системы с относительной степенью линейной части, превышающей единицу. Предлагаемое решение опирается па недавние результаты в области теории адаптивного управления нелинейными объектами [22. 28 30]. в том числе на структуру адаптивных наблюдателей и новые классы алгоритмов адаптации, предложенные в [31. 32].
Отмстим, что рапсе, в [27, 33], были предложены некоторые методы адаптивной синхронизации для систем с относительной степенью, большей единицы. Однако алгоритм синхронизации [33] использует обратную связь по состоянию, а не по выходу объекта и, кроме того, в нем предполагается, что известны все параметры источника сигнала (ведущей системы). Подход, используемый в [27] базируется на использовании канонических форм линейных наблюдателей состояния (см., например, [34]). Синтез же нелинейных наблюдателей на основе [27] применим лишь к конкретным видам систем и требует привлечения специальных приемов для каждого вида нелинейности. В частности неясно, каким образом метод [27] можно применить к синхронизации систем Лоренца. Наконец, результаты [27] не позволяют учесть погрешности измерений передаваемого сигнала.
В отличие от [27, 33] в данной статье предлагается общий метод адаптивной синхронизации, который позволяет также осуществлять синхронизацию при наличии ограниченных шумов в канале связи путем робастификации («огрубления») алгоритмов адаптации. Приведенные в данной статье результаты моделирования демонстрируют более высокое быстродействие и робастность адаптивного наблюдателя («ведомой системы») по сравнению с изложенным в [25] методом. Предварительные результаты работы были представлены в [35 37].
Математическая постановка задачи дастся в разделе 2. Общий метод синтеза адаптивных наблюдателей для систем с относительной степенью, большей единицы, изложен и обоснован в разделах 3, 4. Сначала для удобства изложения в разделе 3 рассматривается более простой случай отсутствия помех в системе. Для него приводятся базовые структуры адаптивных наблюдателей и выводятся условия сходимости. В разделе 4 выполняется модификация базовых алгоритмов, которая позволяет обеспечить робастность системы при действии внешних возмущений (шума измерений). В разделе 5 показано применение предложенного метода для синхронизации управляемых систем Лоренца. Для этого примера приводятся результаты моделирования, которые согласуются с теоретическими положениями и дают количественные сведения о процессах в системе. В разделе 5 также демонстрируется
применение предложенного метода адаптивной синхронизации для синтеза алгоритмов передачи информации модуляцией хаотических сигналов.
2. Постановка задачи
Следуя [21]. считаем, что динамический объект (ведущая систем,а) задается уравнениями состояния
(2.1) х = Ах + <ро(у) + Ъ^(у)т в, у = стх,
(2.2) уг = у +
где х £ М" - вектор состояния, значения которого не передаются ведомой системе,2 у - выход объекта, уг = у + - измеряемый выходой сигнал, поступающий па вход ведомой системы, £(£) - погрешность измерений (аддитивная помеха в канале связи между ведущей и ведомой системами), в £ Мт - неизвестный вектор параметров объекта (в системах телекоммуникации этот вектор содержит передаваемую информацию). Предполагается, что нелинейные зависимости у>о(у), <р(у), а также матрица А и векторы Ъ, с известны и могут быть использованы алгоритмом синхронизации, реализованным в ведомой системе.
Далее сделаем следующие предположения относительно объекта (2.1).
Предположение 1. При любых ограниченных начальных условиях х(0) и любом допустимом значении вектора в вектор состояния х(Ь) является ограниченной функцией времени.
Предположение 2. Функции ^о(у), <р(у) ограничены для любых ограничен-у
В этих предположениях рассматривается задача синтеза адаптивного наблюдателя, представляющего собой динамическую систему вида
(2.3) г = ^ (г,уг), в = Н(г,уг),
который обеспечивает выполенение целевого условия lim \9 — 0\ < S.
3. Синтез адаптивных наблюдателей при отсутствии возущений
В данном разделе погрешность измерений не учитывается, т.е. считается, что в (2.3) ф) = 0.
Ограничимся далее частной формой адаптивного наблюдателя (2.3) (ведомой системы), имеющей вид:
(3.1) x = Ax + <fo(y) + b<f(y)T9 + k(y - y), y = cTx,
(3.2) y = Fe (0,x,y),
где x и y являются оценками переменных x и y, вектор z = col (x,y), a y есть вектор настраиваемых параметров, служащий оценкой вектора в параметров ведущей системы.
Структура адаптивного наблюдателя (3.1), (3.2) предложена в [21, 23], где установлены условия сходимости для случая, когда линейная часть объекта (ведущей
" В дальнейшем, пользуясь аналогиями с системами телекоммуникации, будем говорить, что ведомая система получает сигнал от ведущей через канал связи.
системы) пассифицирусма. Действие ограниченных возмущений при таком объекте рассмотрено в [25].
Условие пассифицируемости налагает серьезные ограничения на свойства объекта: относительная степень модели объекта г должна равняться единице. Это сужает область применимости метода адаптивных наблюдателей и мотивирует поиск решений задачи построения адаптивных наблюдателей для систем, имеющих г > 1. Ниже с учетом сделанных выше предположений предлагается два метода решения поставленной задачи.
Первый метод основывается на использовании подхода расширенной ошибки, рассмотренного в [22, 38, 39], а второй на использовании алгоритмов настройки высокого порядка [22, 28, 31, 32, 40].
Использование расширенной ошибки осуществляется с помощью адаптивного наблюдателя вида (3.1), (3.2), в котором вектор к выбирается из условия гурвицевости матрицы ^ = Л — кет. Для вывода алгоритма адаптации найдем сначала так называемую модель ошибки. С этой целыо продифференцируем ошибку оценивания £ = х — х с учетом выражений (2.1) и (3.1). Получим, что
(3.3) £ = + 6<(Ь)Т в, е = ет£,
где регрессор <(Ь) = <(у(Ь)), в = в — у - ошибка оценивания параметра, а е = = у — у невязка между выходами объекта и наблюдателя. Уравнение ошибки (3.3) перепишем в виде
(3.4) е = Н (р)[<(Ь)Т в],
где р = ё /ё Ь - оператор дифференцирования по времени, а передаточная функция Н(в) системы (3.4), Н(в) = ет(в1 — ^)-1Ъ, асимптотически устойчива. Следуя [22, 38, 39], используем алгоритм адаптации следующего вида:
(3.5) в = 7^)Те,
где 7 > 0 - коэффициент усиления алгоритма, ш(Ь) = Н(р) [<(£)] - регрессор, пропущенный через фильтр с передаточной функцией Н(в), а весть расширенный сигнал о
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.