научная статья по теме СИНХРОНИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ЛУРЬЕ НА ОСНОВЕ ПАССИФИКАЦИИ И БЭКСТЕППИНГА Автоматика. Вычислительная техника

Текст научной статьи на тему «СИНХРОНИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ЛУРЬЕ НА ОСНОВЕ ПАССИФИКАЦИИ И БЭКСТЕППИНГА»

Автоматика и телемеханика, № 8, 2012

© 2012 г. Е.В. УСИК (Санкт-Петербургский государственный университет)

СИНХРОНИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ЛУРЬЕ НА ОСНОВЕ ПАССИФИКАЦИИ И БЭКСТЕППИНГА1

Решаются задачи пассификации и синхронизации нелинейных систем с помощью метода бэкстеппинга для каскадных систем в форме Лурье с функциональной неопределенностью. Даны оценки погрешностей, вызванных ограниченными возмущениями и дискретностью регулятора. Сформулированная теорема распространена на случай сетевых систем. Полученные результаты применены к задаче синхронизации движения двух колесных мобильных роботов и проиллюстрированы компьютерным моделированием.

1. Введение

В практических задачах автоматического управления часто возникает задача синтеза алгоритма управления динамическими каскадными системами, которые представляют собой совокупность подсистем и связей между ними [1]. В настоящей работе рассматриваются системы, состоящие из двух блоков: неприводимой стабилизируемой системы и нелинейного интегратора (цепи нелинейных интеграторов). Система, описывающая движение мобильных роботов [2, 3], как раз относится к такому типу, а роль управления в данном случае играет скорость изменения угла. Данная задача решается на основе процедуры пошагового (попятного) синтеза [4, 5], или, как ее еще называют, бэкстеппинг (англ. Ьаек^ерр1^ [5]). Суть этого метода сводится к нахождению управления для системы с интегратором в предположении, что для системы без интегратора заранее определен стабилизирующий алгоритм - виртуальное управление. Управление выбирается таким образом, чтобы производная функции Ляпунова для системы с интегратором была строго отрицательна для ненулевых значений вектора состояния системы, и тогда по теореме Ляпунова [6, 7] следует асимптотическая устойчивость всей модели.

Задача синхронизации нелинейных аффинных систем с помощью обратной связи к настоящему времени хорошо исследована [8], и одним из подходов к решению данной задачи является подход, основанный на пассивности объекта [9, 10]. Понятие пассивности означает, что система удовлетворяет интегральной связи с некоторым функционалом от входа и выхода системы. Можно показать, что в этом случае на пространстве состояний системы

1 Работа поддержана Федеральной целевой программой "Кадры" (госконтракты №16.740.11.0042, №14.740.11.0942) и Российским фондом фундаментальных исследований (проект №11-08-01218).

2* 35

можно определить функцию, которая при определенных условиях может играть роль функции Ляпунова для замкнутой системы [11, 12]. Кроме того, существуют результаты [8] о стабилизации нелинейных аффиных систем с помощью обратной связи, включающие условия пассивности объекта. Таким образом, задача стабилизации объекта проводится в два этапа. Первый этап -это задача пассификации системы, т.е. задача нахождения закона обратной связи, делающей систему пассивной [13, 14]. На втором этапе при выполнении дополнительных условий типа наблюдаемости решается задача стабилизации пассивной системы.

В настоящей работе решается задача синхронизации нелинейных систем с помощью метода бэкстеппинга, которая сводится к задаче пассификации и стабилизации каскадных систем с нелинейностью в интеграторе в случае, когда система описывается в форме Лурье с функциональной неопределенностью. Такой класс систем ранее в задачах пассификации не рассматривался. Этим подход, сформулированный в настоящей работе, и отличается от существующих подходов пассификации каскадных систем [1, 8, 15], которые требуют полного знания всех параметров объекта и не могут быть применимы к рассматриваемым системам.

Структура статьи следующая. Статья состоит из введения, пяти разделов, двух приложений и заключения. Раздел 2 посвящен краткому изложению некоторых материалов из теории автоматического управления, помогающих наиболее полно понять последующий материал. В разделе 3 формулируется исходная задача. В разделе 4 излагается ее решение, формулируется основная теорема, а также исследуется вопрос о влиянии возмущения на систему и влияния шага дискретизации при использовании дискретного регулятора. Кроме этого, исследуется пассификация сетевых систем в форме Лурье. В разделе 5 предложенная теорема применена к задаче управления мобильных роботов. В Приложении приведены результаты вычислительного эксперимента, иллюстрирующие теоретические результаты.

2. Предварительные сведения

Рассмотрим неаффинную стационарную модель нелинейной системы (1) х = Г (х,и), у = Н(х),

где х(1) € Мга - состояние, и(1) € Мт - вход, а у(1) € Мт - выход системы. Система (1) рассматривается на временной оси [0, те) с начальным условием х(0) = хо. Предполагается, что множество допустимых входных функций состоит из всех кусочно-непрерывных, локально ограниченных функций и : М+ ^ Мт, а функция Г : Мга х Мт х М+ ^ Мга локально липшицева по х, и, причем Г(0, 0) = 0 и Ь(0) = 0.

Определение 1. Система (1) называется пассивной [4], если существует неотрицательная функция V : Мга ^ М+, называемая функцией запаса, и все решения системы удовлетворяют неравенству диссипации в интегральной форме: V(х(1)) — V(х(0)) ^ /0 у(т)ти(т)йт. Если к тому же функция запаса V(х) дифференцируема, то неравенство диссипации может быть переписано в дифференциальной форме: V ^ уТи.

Пассивность тесно связана с устойчивостью: при и = 0 пассивная система с положительно определенной функцией запаса устойчива по Ляпунову.

Определение 2. Система х = (х) + д(х)и, у = Н(х) обладает свойством ЯКБ (Якубовича - Калмана - Попова) [4], если существует неотрицательная непрерывно дифференцируемая функция V : Мга ^ М+, V (0) = 0 такая, что

(У^(х))Тf (х) < 0, {ЧV(х))Тд(х) = Н(х)т.

Лемма 1. Система х = (х) + д(х)и, у = Н(х) пассивна с непрерывно-дифференцируемой функцией запаса тогда и только тогда, когда она обладает свойством ЯКП [4].

Метод бэкстеппинга [4] основан на следующем утверждении.

Утверждение 1. Если система х = (х,£), { = и определена в Мга и локально асимптотически стабилизируема в точке х = х* с помощью управления { = Т (х), то алгоритм управления

ВТ!

где к0 < 0, обеспечивает (локальную) асимптотическую устойчивость исходной системы в точке (х,£) = (х*, 0).

3. Постановка задачи

Задача 1. Даны две динамические системы в форме Лурье с интегратором

(2) x(t) = Ax(t) + B<p(yi) + fi(t), yi(t) = Cx(t),

(3) z(t) = Az(t) + B^(y2) + Bu(t) + h(t), y2(t) = Cz(t),

(4) u(t) = u,t)+ w(t),

где x(t),z(t) - n-мерные векторы состояния объекта, y1(t),y2(t) - скалярные выходы, A - n x n-матрица, B - n x 1-матрица, C - 1 x п-матрица, ^(y), ф(u,t) - непрерывные нелинейности лежащие в секторе, fi(t) - ограниченные возмущения, || fi (t)|| ^ Af.. Систему (2) будем называть ведущей (master), систему (3) - ведомой (slave). Цель управления - синхронизировать две системы (2), (3) с нелинейным интегратором (4), т.е. выбрать функцию управления w(t) таким образом, чтобы yi(t) — y2(t) ^ 0 при t ^ ^ ж. Для объекта (3), (4) имеется управление w(t).

4. Основные результаты

4.1. Построение пассифицирующего регулятора

Рассмотрим систему с нулевым возмущением ^(Ь) = 0 для г = 1, 2. Вводим ошибку синхронизации е(Ь) = х(Ь) — х(Ь), а также ошибку синхронизации по

выходу е(г) = у\(Ь) — У2(Ъ) = Ов(Ь). С учетом этих обозначений можно ввести новую систему:

(5) ¿(г) = Лв(г) + Б£(е, г) — Би(г), е(г) = Ов(г),

(6) и(г) = ф(и,г)+ 'ш(г),

где ((е,г) = ц>(у\) — ^(у2) - новая нелинейность. Цель управления будет выглядеть следующим образом: Нт^^ ¿(г) =

Для синтеза управления w(t) воспользуемся методом бэкстеппинга [4],

(7) ¿(г) = Ле(г) + Б((е, г) — Би(г), е(г) = Се(г),

(8) и(г) = ксле(г) + ксБ£(е, г) + ф(и, г) + у(г).

4.2. Условия пассификации и асимптотической стабилизации

Для получения условий достижения цели сделаем следующие предположения:

а) пусть линейная система ¿(г) = Ле(г) — Би(г), е(г) = Се(г) гипермини-мально-фазовая, т.е. матричная функция Г(А) = АШ(Л) невырожден-на и положительно определена [4], где Ш(А) = С(А1 — Л)-1Б = в(А)/а(А) -передаточная функция системы. Для случая со скалярным выходом это означает: степень знаменателя а(А) равна п. Числитель в(А) гурвицев степени п — 1 с положительными коэффициентами. В соответствии с теоремой о пассификации существует управление и(г) = Ке, такое что система стабилизируема;

б) ((е, г) лежит в секторе, т.е. а ^ ((е,г)/е ^ Ь, где а,Ь - параметры сектора, зависящие от нелинейности;

в) ф(и, г) также лежит в секторе, т.е. с ^ ф(и, г)/и ^ (, где с,( - параметры сектора, зависящие от нелинейности;

г) из гиперминимально-фазовости и теоремы о пассификации [12] следует, что минимальное расстояние щ между корнями числителя передаточной функции и мнимой осью будет положительным. Выберем параметры п и К таким образом, чтобы 0 < п < По, 2\\!)ЦР||||С|| тах(|а|,\Ь\) +

+ 2\\Р|| тах(|с|, |(|) < пАтт, где Б = (^кС^, Р - положительно определенная матрица в квадратичной функции Ляпунова V(х) = хТРх, Ат;п -наименьшее собственное число данной матрицы.

Теорема 1. Пусть выполнены предположения а)-г). Тогда существуют числа Ктакие что система (7), (8) будет пассивна с квадратичной функцией запаса, а замкнутая система с управлением у(г) = (—7 — КСБ)и+ + 7Ке асимптотически устойчива.

Лемма 2. Рассмотрим систему

(9) ¿(г) = Ле(г) — Би(г), е(г) = Се(г),

(10) и(г) = ксл¿(t) + у(г)

с состоянием (е,и) € Мга+17 выходом (е,и) € М2. Управление равно у(Ь) = = К1и + К2е, где К1 = 7К, К2 = — КСВ. Для системы (9) выполнено предположение а).

Тогда существуют числа К, 7, такие что система (9), (10) будет строго пассивна,а замкнутая система

(11) е(ь) = Ле(ь) — Ви(ь), е(ь) = Се(ь),

(12) и(ь) = КСЛе(г) + К и(ь) + К2е(ь)

асимптотически устойчива.

Замечание 1. Заметим, что стандартными способами интегратор можно расширить до цепи интеграторов и1,и2,... ,ит, которая будет иметь вид:

й\ = и2, й2 = и3,

m

Um = ^ Ki Ui + Ke-i=1

4.3. Влияние возмущений

Переходим к учету влияния возмущений на исходную систему (2)—(4). Ее можно переписать в виде

(13) k(t) = Äe(t) + B K e(t) + f (t), e(t) = Ce(t),

*n\ ifi(t) - f2(t)\ _ f e\ „ fe

где f (t) = I 0 I - ограниченное возмущени

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком