РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 9, с. 1093-1097
ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ
УДК 621.385.623
СИНХРОНИЗАЦИЯ В ЦЕПОЧКАХ СИСТЕМ, ГЕНЕРИРУЮЩИХ ФРАКТАЛЬНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ © 2004 г. В. Н. Корниенко, А. П. Привезенцев
Поступила в редакцию 02.07.2003 г.
Исследована взаимная синхронизация ансамбля модельных автоколебательных систем с вероятностной динамикой, взаимодействующих с цепочкой связанных резонаторов. Показана возможность формирования режимов синхронизации с перестройкой частоты собственных колебаний парциальных подсистем, составляющих ансамбль.
Синхронизация в системах с хаотической динамикой проявляется в целом ряде физических процессов и может быть рассмотрена с различных точек зрения. Одним из возможных подходов к исследованию синхронизации хаотических систем является распространение классических представлений о синхронизации как захвате частоты и стабилизации фазового сдвига парциальных подсистем [1]. В данной работе синхронизация автоколебаний цепочки модельных систем с вероятностной динамикой исследуется в рамках классической трактовки. Исследуемая система, аналогичная рассмотренной в [2, 3] для описания колебаний пространственного заряда в режиме сверхкритического тока, представляет собой модификацию известной схемы случайных блужданий. Введение гистерезисной зависимости вероятностей перехода от центра масс ансамбля частиц в классическую вероятностную задачу со случайным выбором шага позволило получить модель, для которой временные реализации параметров, определяющих ее состояние, представляют случайные фракталы, в которых в свою очередь сочетаются близкие к периодическим пульсации и хаотическая составляющая. Подобное сочетание порядка и хаоса характерно для открытых неравновесных систем со сложной динамикой [4]. Цель работы - исследование формирования диссипативных структур с достаточно интенсивной периодической составляющей при синхронизации линейной резонансной системы и автоколебаний с вероятностной динамикой. Интерес к такой задаче, наряду с возможностью практического применения, связан с давней проблемой естествознания - сочетания детерминизма и вероятности, - в исследовании которой в последние десятилетия достигнуты значительные успехи [4-7].
В рассматриваемой системы (рис. 1) отдельное звено цепочки (парциальный осциллятор) представляет собой поток частиц, взаимодействующих с резонатором (вставка на рис. 1). Связь в цепочке осуществляется между соседними резонаторами.
Частицы каждого парциального потока равномерно с интервалом А1 инжектируются в пространство взаимодействия 0 < хр < 1 в точке хр = 0. Здесь и далее индекс р у параметра, описывающего систему, означает номер звена (парциальной подсистемы) цепочки: 1 < р < М, М - общее число парциальных подсистем, объединенных в цепочку.
Движение частиц в дискретном времени определяется уравнением
Хрк( г +1) = Хрк( г) + Vpk( г )А 1, (1)
где хрк(г) и vpk(i) - координаты и скорость к-й частицы в г-й момент времени для р-го осциллятора цепочки. Скорости частиц определяются выражением
v рк( г) = v р о + А V рврк + 8Ур (г),
(2)
где vp0 ~ 1 - постоянная составляющая скорости частиц, 0 < А^ < 1/2 - параметр, определяющий раз-
Рис. 1. Схема исследуемой системы: 1 - звено цепочки; 2 - межрезонаторная связь; 3 - поток частиц; 4 -резонатор.
брос скорости р-го парциального потока, Орк > 0 -случайная величина, имеющая закон распределения модуля нормально распределенной случайной величины с нулевым средним и единичной дисперсией. Параметр g в выражении (2) определяет связь потока с резонатором, ур(И) - значение компоненты р-го резонатора в г'-й момент времени.
При переходе через точку хрс(г'), соответствующую положению центра масс потока
c( i) = X Xpk( i)/N,
к = 1
где N - полное число частиц р-го потока в г-й момент времени, каждая частица может случайным образом изменить направление скорости (отразиться). Введем вероятности перехода рр, qp (рр + + qp = 1), которые определяют вероятность движения без изменения скорости при переходе хрс(г'):
р (V рк( г +1) = V рк( г)) = рр
и вероятность изменения знака скорости:
Р( V рк( г +1) = -V рк( г)) = qp
соответственно.
Характер движения центра масс во времени определяется зависимостью вероятностей перехода рр(хрс), qp(xpc) от положения центра тяжести, которая имеет гистерезисный вид:
Рр (Xpc) =
Ppf, Spb,
0 — xpc — XpR,
Kph
— Xpc — 1,
(3)
где хр] < хрК - границы гистерезиса, ррг > 1/2, ррЬ < 1/2.
В работе [3] показано, что вероятностные характеристики последовательности, генерируемой итерационной схемой (1)-(3), зависят от взаимного положения границ гистерезиса и точек равновесия, соответствующих различным значениям вероятностей перехода ррр ррЬ. Координаты точки равновесия для данного значения вероятности сохранения знака скорости р определяются выражением
Хо = р((1 + 2q/p)1/2 - 1)^, q = 1 - р.
При выполнении условий х0(рь) < х], хя < х0(р) которые означают, что точки равновесия не входят в интервал, образованный границами гистерезиса, гистерезис вероятностей перехода обусловливает колебательный характер движения центра тяжести. Разность вероятностей перехода р - q определяет направление регулярного дрейфа, изменяющееся каждый раз при достижении центром тяжести границы гистерезиса. Период колебаний такого персистентного случайного блуждания определяется средним временем дрейфа центра тяжести между границами гистерезиса. Относительная интенсивность периодической и
шумовой составляющих в спектре колебаний центра тяжести потока определяется дисперсией среднего времени первого достижения границы гистерезиса. Оценки, основанные на аналитическом решении простейшей задачи случайного блуждания на ограниченном отрезке [8], показывают, что при величинах переходных вероятностей р ~ 0.7, q ~ 0.3 и длине области гистерезиса хя - хь = Ьн ~ 0.25 дисперсия и среднее значение времени первого достижения становятся одинаковыми, и периодическая компонента поглощается флуктуациями.
Резонаторы, составляющие цепочку, являются связанной парой цифровых фильтров второго порядка (цифровых резонаторов) [9]. Каждая пара взаимодействует с одним потоком и соседними парами резонаторов. Концы цепочки соединены таким образом, что резонаторы образуют кольцо. Уравнения резонансной системы, составленной из идентичных пар, имеют вид
Ур(г) - а1 Ур(г -1) - а2ур(г -2) -ц 1р(г -1) =
= С( Ур+1 (г -1) + Ур-1( г -1)) + g Ахрс( г), (4)
£р(г) - Ь11р(г -1) - Ь21р(г -2) -цУр(г -1) = 0,
где Ур(г), zp(i) - координаты, описывающие состояния пары связанных резонаторов р-го осциллятора цепочки, ц - параметр связи резонаторов звена, £ - параметр связи между звеньями цепочки, Ах(г) = хрс(г) - хрс(г - 1). Для у- и z-компонент резонаторов задавали периодические граничные условия У 0(1) = Ум(г), Ум + 1О') = Ух(г').
Параметры а1, а2, Ь1, Ь2, ц, £ выбирали так, чтобы собственные колебания цепочки были синфазными. Записывая решение (4) для свободных колебаний (д = 0) в виде Ур(г) = У0Х', zp(i) = z0X', где У0, z0 - постоянные амплитуды, получим, что значения мультипликатора X определяются из условия равенства нулю детерминанта:
det
X2- (a1 + 2Z>)X - a2 -цХ
-цХ
X - b1X - b2
= 0.
Для ц = 0 резонатор определяется только компонентой yp(i). Задавая в этом случае параметры цепочки равенствами a1 + 2Z = 2 exp(-y)cos ю, a2 = = -exp(-2y), где у и ю - заданные декремент и частота колебаний, получим синфазное осциллирующее решение для резонаторов цепочки:
yp (i) = exp (-yi) cos (ю i).
Параметрами b1, b2 и коэффициентом связи ц можно в достаточно широких пределах регулировать форму спектра собственных колебаний цепочки.
При численном исследовании динамики системы (1)-(4) в зависимости от величины коэффици-
N
X
ента связи g задавали два варианта значений параметров системы. В первом случае рассматривали формирование диссипативной структуры с интенсивной периодической компонентой в ансамбле осцилляторов со значительным разбросом "собственных частот" при их взаимодействии с низкодобротной широкополосной структурой. Собственную частоту осциллятора с вероятностной динамикой принимали в смысле среднего значения. Во втором случае определяли возможность перестройки высокодобротной резонансной системой спектральных характеристик ансамбля исследуемых модельных осцилляторов. При этом исследовалась возможность получения в ансамбле стохастических осцилляторов режимов колебаний с существенной перестройкой частоты свободных колебаний парциальных потоков: синхронизация осцилляторов и резонатора на субгармонике и их синхронизация на второй гармонике. Значения параметров vp0, А^, хрЬ, хрК, рр, ррЬ определяли спектральные свойства автоколебаний парциальных потоков. При численном решении итерационной схемы (1)-(4) вычисляли последовательности хрс(г'), ур(г), определяющие состояния парциальных подсистем, и суммы этих величин по звеньям цепочки:
(а) 20
(б) 20
М
М
х„( г) = X ХрС( г),
у* (г) = X Ур( г) •
р = 1
В представленных расчетах М = 7.
Результаты исследования синхронизации потоков в низкодобротной резонансной системе представлены на рис. 2-4. На рис. 2 представлен спектр мощности 5„ как функция номера гармоники п для суммы параметров резонаторов У(Г) (кривые 1) и полного центра масс цепочки Х/О (кривые 2). Рис. 2а соответствует свободным колебаниям потоков и цепочки резонаторов при отсутствии взаимодействия ^ = 0). Рис. 2б получен для режима синхронизации на частоте максимума спектра резонансной системы, которая соответствует седьмой гармонике Фурье (^ = 0.7). Заметим, что свободные колебания парциальных потоков имели значительный разброс по частотам. Номера спектральных максимумов хрс(г) принимали следующие значения: пмакс = 11 (один поток), Пмакс = 10 (три потока), Пмакс = 9 (один поток), пмакс = 8 (два потока). Синхронизация имеет пороговый характер по значению параметра связи. Для промежуточных значений коэффициента g наблюдается режим колебаний, для которых спектральные максимумы суммарных характеристик системы пмакс, * = 7 отличаются от одинаковых для всей цепочки спектральных максимумов парциальных по
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.