Автоматика и телемеханика, № 9, 2014
© 2014 г. В.Н. ЧЕСТНОВ, д-р техн. наук (vnchest@rambler.ru) (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ -РЕГУЛЯТОРОВ ПО ЗАДАННОМУ РАДИУСУ ЗАПАСОВ УСТОЙЧИВОСТИ И ВРЕМЕНИ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Для линейных многомерных систем строятся дискретные регуляторы по выходу, гарантирующие заданный радиус запасов устойчивости на входе или выходе объекта управления. Помимо этого, учитывается заданное время регулирования. Показано, что решение таких задач сводится к некоторой специальным образом сконструированной стандартной проблеме -оптимизации. Численное решение реализовано в MATLAB с использованием пакета Robust Control Toolbox на основе метода линейных матричных неравенств (LMI).
1. Введение
В связи с широким распространением микропроцессорной техники в промышленности, авиации, робототехнике и т.д. проблема синтеза дискретных регуляторов по измеряемому выходу становится все более актуальной. Вместе с тем следует отметить, что системы с малыми запасами устойчивости по фазе и коэффициенту усиления практически не работоспособны. Именно к таким системам могут приводить современные технологии синтеза регуляторов (H2, li, [1]. Эти косвенные показатели робастной устойчивости, которые можно определить экспериментально, получили широкое распространение в практике автоматического управления со времени введения их Г. Боде [2]. Обобщением этих понятий является радиус запасов устойчивости, введенный А.Г. Александровым [3], который более адекватно оценивает расстояние годографа Найквиста от критической точки (—1, j0) на плоскости годографа, чем запасы устойчивости по фазе и модулю. Это понятие было детально исследовано в недавних работах А.Г. Александрова [4-6]. Более развернутая характеристика этих понятий в одномерном и многомерном случаях приводится в следующем разделе работы.
Эффектное обобщение понятий запасов устойчивости по фазе и коэффициенту усиления на многомерный случай было предложено в [7] применительно к LQ-оптимальным системам с регуляторами по полному вектору состояния. При этом значительные запасы устойчивости гарантируются только на входе объекта. Но если полный вектор состояния объекта не доступен непосредственному измерению, то запасы устойчивости оптимальных систем с наблюдателями могут быть весьма малы [8, 9]. Это привело к так называемой LTR (Loop Transfer Recovery) технологии построения наблюдателей, когда в системе с наблюдателем запасы устойчивости близки к запасам в системе с регулятором по полному вектору состояния [10-13]. Однако LTR техника применима только тогда, когда объект минимально-фазовый и число измеряемых переменных совпадает с числом управлений. В отличие от
3 Автоматика и телемеханика, № 9
65
непрерывного случая в системах с дискретными ¿^-регуляторами даже при полном измерении вектора состояния объекта запасы устойчивости заведомо не гарантируются [14-19], поскольку их оценки становятся известными только после решения дискретного матричного уравнения Риккати, т.е. после синтеза регулятора. При этом они существенно зависят от свойств объекта [14, 16]. Для устойчивых объектов процедуры синтеза дискретных регуляторов состояния, гарантирующих желаемые запасы устойчивости, предложены в [20, 21], а причины малых запасов устойчивости неустойчивых дискретных объектов с регуляторами состояния вскрыты в [22].
Таким образом, обеспечение запасов устойчивости дискретных систем с регуляторами по выходу представляет серьезную проблему, поскольку даже регуляторы по полному вектору состояния не всегда гарантируют запасы устойчивости, которые могут быть весьма незначительными. Аналоги ЬТЛ-процедур существуют и в дискретном случае [23-25]. Однако свойство минимальной фазовости в дискретном случае зачастую не выполняется [18] и ЬТЛ-техника не применима. В настоящей работе для обеспечения заданного радиуса запасов устойчивости используется эквивалентная процедура дискретной ^^-оптимизации, что без учета времени регулирования придает результатам работы необходимый и достаточный характер. Заметим, что система с регулятором по измеряемому выходу, имеющая значительный радиус запасов устойчивости на входе (выходе) объекта, может приводить к весьма затянутым переходным процессам (большому времени регулирования, см. пример 1 из [26]). Впервые метод синтеза непрерывных регуляторов состояния с заданной степенью устойчивости, одновременно гарантирующих значительные запасы устойчивости на входе объекта, предложен в [27](см. также [19]). В случае непрерывных регуляторов по выходу подход, гарантирующий заданный радиус запасов устойчивости на входе (выходе) объекта, опирающийся на процедуру ^^-оптимизации, предложен в [26], а его обобщение на дискретный случай дано в [28].
Данная работа обобщает результаты работ [26-29] на дискретный случай, когда помимо обеспечения заданного радиуса запасов учитывается и степень устойчивости замкнутой системы, определяющая желаемое время регулирования. Следует подчеркнуть, что в данной работе нет речи об максимизации радиуса запасов устойчивости и степени устойчивости. Отдельная их максимизация может приводить к физически бессмысленным результатам. Поэтому в работе поставлена задача добиться их заданных значений (оговоренных, например, в техническом задании на проектирование цифрового регулятора).
Заметим, что радиус запасов устойчивости как в непрерывном, так и дискретном случае совпадает с минимальным сингулярным значением (для всех частот) матрицы возвратной разности (см. [13, 16]).
2. Предварительные сведения
Радиусом запасов устойчивости для 5Т£0-систем называют максимальный радиус г круга с центром в критической точке (-1,^0), который не пересекается годографом Найквиста разомкнутой системы, как показано на рис. 1.
Рис. 1. Радиус запасов устойчивости.
и W(z) У
1
К(2)
Рис. 2. Система с обратной связью.
Математическим условием, геометрическая интерпретация которого для годографа Найквиста приведена на рис. 1, является выполнение для всех вещественных частот кругового частотного неравенства [4, 13, 16]
(2.1) [1 + W(е-'шТ)] [1 + W(е^Т)] ^ г2, ш € [0, п/Т],
где Т - период дискретности, W(г) - передаточная функция разомкнутой системы.
Это гарантирует следующие запасы устойчивости по фазе и коэффициенту усиления (модулю, амплитуде) [13]:
(2.2) ^ агссов - Г— V 1>тш{1/(1 + г),1/(1-г)}.
В современной трактовке [30] запасы устойчивости по фазе и коэффициенту усиления определяются так. Имеется асимптотически устойчивая замкнутая 5Т£0-система с обратной связью, представленная на рис. 2, W(г) -передаточная функция объекта, К (г) - передаточная функция регулятора.
Номинальное значение коэффициента усиления I = 1, и замкнутая система устойчива. Запас устойчивости по коэффициенту усиления - это границы на отклонение коэффициента I от 1, при которых замкнутая система рис. 2 сохраняет устойчивость.
3* 67
h
h.
lm
W(z)
K(z)
Рис. 3. Многомерные запасы устойчивости.
Очевидно, что эти границы равны
, л 1 , 1
(2.3) --<1<
1 + r 1 — r
Это следует из рассмотрения рис. 1 и второго соотношения (2.2).
При определении запаса по фазе коэффициент l на рис. 2 заменяется оператором l = , где ф - чистый фазовый сдвиг, который в соответствии с поведением годографа Найквиста на рис. 1 может меняться в следующих пределах, не нарушающих устойчивость системы рис. 2:
( r2
(2.4) < arceos I 1 ——
что соответствует 1-му соотношению (2.2).
Заметим, что радиус запасов устойчивости, как следует из [31, 32], является верхней границей H^-нормы аддитивного возмущения передаточной функции разомкнутой системы.
В многомерном случае (MIMO) многомерные запасы устойчивости по фазе и коэффициенту усиления зависят от точки размыкания системы (вход или выход объекта).
Рассмотрим структурную схему асимптотически устойчивой замкнутой MIMO системы рис. 3.
Здесь многомерные запасы устойчивости по коэффициенту усиления (на входе объекта) - границы одновременного и независимого отклонения коэффициентов li от их номиналов, равных 1, при которых замкнутая система рис. 3 остается устойчивой. Они имеют следующий вид для m управляющих входов:
1 , 1
(2.5) --< и < --, г = 1, т.
у 7 1 + г г 1 - г
Эти границы являются следствием выполнения кругового частотного матричного неравенства [13, 16]
(2.6) [/ + Wи(в-'шТ)]Т [/ + Wи(в^Т)] ^ т21, и € [0, п/Т],
где I - здесь и далее единичная матрица соответствующего размера, Wи(г) = = —К(z)W(г) - передаточная матрица разомкнутой системы рис. 3 по входу объекта (W (г) - передаточная матрица объекта управления, а К (г) - передаточная матрица регулятора; г - радиус запасов устойчивости [26] (минимальное сингулярное значение для всех вещественных частот ш матрицы возвратной разности [13, 16, 26])).
Многомерные запасы устойчивости по фазе - это границы на величины независимых фазовых сдвигов, вводимых в каждый контур рис. 3 по входу объекта, вида /¿(г) = е7'^, которые не нарушают устойчивости этой замкнутой системы. Они связаны с радиусом запасов устойчивости г соотношениями [13, 16]
г2
(2.7) \ipi\ < arceos —— j , i = 1, m.
Аналогично определяются многомерные запасы устойчивости по Ш2 измеряемым выходам объекта управления [15, 16, 26].
3. Постановка задачи
Рассмотрим полностью управляемый и наблюдаемый объект управления, описываемый уравнениями состояния
(3.1) x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), y(k) = Cx(k), k = 0,1,2,...,
где x € Rn - вектор состояния объекта; u € Rm - вектор управляющих воздействий, y € Rm2 - вектор измеряемых переменных.
Объекту (3.1) соответствует дискретная операторная передаточная матрица
(3.2) y(k) = W(z)u(k), W(z) = C(zl - A)-1B,
где z - оператор временного сдвига на один такт вперед [18].
Для объекта (3.1) требуется построить дискретный регулятор по выходу
(3.3) xc(k + 1) = Acx(k) + Bcu(k), u(k) = Ccx(k) + Dcy(k),
где определению подлежат матрицы Ac, Bc, Cc, Dc (xc € Rnc - вектор состояния регулятора), которые формируют передаточную матрицу регулятора
(3.4) u(k) = K(z)y(k), K(z) = Cc(zI - Ac)-1Bc + Dc,
такую чтобы обеспечивалось решение сле
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.