РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 9, с. 1084-1092
ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
УДК 621.396:621:391
СИНТЕЗ ФИЛЬТРА ДЛЯ ОЦЕНКИ МОМЕНТА ПРИХОДА СИГНАЛА НА ОСНОВЕ ИНФОРМАЦИОННОГО ПОДХОДА
© 2004 г. В. В. Латышев
Поступила в редакцию 14.10.2003 г.
Показано, что при использовании согласованного фильтра частично теряется фишеровская информация о задержке сигнала, что приводит к ухудшению потенциальной точности оценки момента его прихода. При синтезе фильтров для систем, связанных с измерениями моментов прихода импульсов, вместо отношения сигнал/шум предложено максимизировать количество фишеровской информации о задержке сигнала. В результате достигнуто сужение центрального лепестка выходного сигнала фильтра при некоторой потере в отношении сигнал/шум по сравнению с вариантом применения классического согласованного фильтра.
ВВЕДЕНИЕ
Оценка момента прихода или задержки сигнала является одной из самых распространенных задач практической радиотехники. В радиолокации, радионавигации и во многих других областях науки и техники момент прихода сигнала является важнейшим оцениваемым параметром. Технически эта задача реализуется чаще всего при использовании согласованного фильтра. Максимальное значение его выходного сигнала непосредственно связано с моментом прихода ожидаемого сигнала. Подобный приемник с согласованным фильтром, обеспечивающим максимизацию отношения сигнал/шум, впервые был разработан Нортом [1], и с тех пор его считают классическим решением рассматриваемой задачи. Основное его достоинство заключается в том, что он наилучшим образом обеспечивает выделение слабого сигнала на фоне сильных помех при линейной обработке. Но при оценке момента прихода сигнала отношение сигнал/шум уже не является преобладающим параметром. Поскольку задача оценивания решается при условии состоявшегося обнаружения сигнала, на первое место выходит точность оценивания, тем более что отношение сигнал/шум на этом этапе уже достаточно велико. Поэтому акцент в синтезе фильтра следует перенести именно на точность.
В данной работе сначала проанализируем, насколько классический согласованный фильтр идеален для определения момента прихода сигнала, затем рассмотрим вариант модифицированного согласованного фильтра для решения этой задачи. Синтез фильтра проводим при использовании максимизации информации по Фишеру о задержке сигнала, которая, согласно теории оценивания, обратно пропорциональна потенциальной точности оценки задержки. Полученные результаты сравним с классическим согласованным
фильтром по ширине центрального лепестка выходного сигнала фильтра и величине отношения сигнал/шум.
1. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ТОЧНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ПРИХОДА СИГНАЛА СОГЛАСОВАННЫМ ФИЛЬТРОМ
В качестве рабочей рассмотрим распространенную аддитивную модель приема известного сигнала s(t - т) в белом гауссовском шуме n(t) с двусторонней спектральной плотностью мощности N0/2.
х (t) = s (t - т) + n (t).
(1)
Сигнал имеет конечную длительность Т. Неизвестным является время прихода т, которое требуется определить. Для упрощения математических выражений будем считать, что величина т характеризуется равномерной плотностью распределения вероятностей в априорно заданном интервале Тт.
Для того чтобы увидеть, насколько хорошо при помощи согласованного фильтра решается задача определения времени прихода, рассмотрим его потенциальные возможности. Как известно, нижняя граница дисперсии а2 любой несмещенной оценки произвольного параметра определяется неравенством Крамера-Рао [2]. В данном случае для параметра т имеем
2 ^ ат >
д ln p (х| т)"
2
дт
или, что эквивалентно,
2
>
-E<
2
д ln p ( х | Т )
дт2
Здесь р(х |т) - функция правдоподобия в дискретном варианте или функционал правдоподобия в аналоговом случае, Е - символ математического ожидания. Неравенства определены при условии, что используемые производные существуют и абсолютно интегрируемы.
Обратные правым частям этих неравенств величины
I(т) = E\
д ln p (x| т)" дт
= -Ер-^} (2)
а^ = Е[т-т]2 >
N о
rT + т
д5(t, т)"
(3)
dt!
rT + т
= N Е 1 ['
дs(t, т )' дт
dt!
(4)
Конкретизируем форму сигнала. Воспользуемся приведенным в [4] примером сигнала в виде
s (t) =
1-cos (у t], 0 < t < T, 0, t < 0 или t > T.
(5)
Вычислим интеграл в фигурных скобках выражения (4) с учетом т) = - т):
T + т
1
ds (t, т )"
dt =
т
Т + т
= í T]Г l'í-sin?< t - = T
1т =
4п_
ТЫп
(6)
или
^ N0T ат >
4 п
2
(7)
обычно называют информацией по Фишеру (в данном случае о параметре т) или фишеровской информацией [3].
В случае приема детерминированного сигнала длительностью Т в гауссовском белом шуме в [4] показано, что неравенство Крамера-Рао принимает вид
Правая часть неравенства (7) характеризует минимально возможную дисперсию ошибки в оценке времени прихода сигнала.
Рассмотрим теперь точность определения т при помощи согласованного фильтра. Подчеркнем, что использование выходного сигнала согласованного фильтра для определения т не гарантирует достижения минимальной границы ошибки, поскольку фильтр получен из расчета максимизации отношения сигнал/шум. Покажем, что в действительности его потенциальные возможности по точности оценивания т не достигают границы Крамера-Рао. Для этого воспользуемся методикой нахождения количества фишеровской информации, представленной в [5, 6]. Из этих работ следует, что в условиях выбранной модели количество фишеровской информации о произвольном параметре а при разложении наблюдаемого сигнала в ортогональный ряд по функциям {фь ф2, ...} может быть рассчитано по формуле
где т - оценка времени прихода, а обратная величина правой части (3) есть среднее значение фишеровской информации с учетом априорного распределения т:
2
Sa)
ад = 2 Stt
N0k 1Ы1
(8)
где (фь ) - скалярное произведение конкретной функции ряда и производной заданного сигнала по параметру а, |ф || - норма соответствующей функции. Как известно [1, 4], согласованный фильтр формирует достаточную статистику обнаружения путем умножения наблюдения на ожидаемый сигнал. Следовательно, можно рассматривать этот сигнал как первый и единственный член указанного ряда. Подставляя в (8) вместо ф1 сигнал (5) и дифференцируя - т) по параметру а = т, получаем
(,(t), t- т)) =
Т
= Д 1-С08у ^Г-у ЯПу(t - т)1 Ш =
. 2 П
= -п sin-;))т. T
Эта величина является константой, поэтому при усреднении не меняется. Из равенства (4) имеем
Учтем,что
2п
1 - cos — t T
2
= 1í 1-cosTdt = 3T.
4 n 2 2n
Тогда из (8) получим Дт) = sin — т. По-
3 1N 0 T
скольку Дт) - периодическая функция т, то усред-
I
т
0
2
0
нение по всему априорно заданному интервалу Тт можно заменить усреднением по одному периоду (полагая для простоты, что интервал Тт кратен периоду Т). Тогда после несложных вычислений среднее количество фишеровской информации в выходном сигнале согласованного фильтра равно
I (т) =
2 я
ЪИпТ
и для нижней границы дисперсии ошибки имеем
(9)
2 > 3NоТ
2 к
Сравнение последнего выражения с (7) показывает 6-кратное увеличение нижней границы дисперсии ошибки оценивания т в результате преобразования наблюдений в достаточную статистику для обнаружения сигнала. Таким образом, согласованный фильтр, несмотря на широкое распространение, не является идеальным средством для оценки времени прихода сигнала.
2. СИНТЕЗ ФИЛЬТРА ДЛЯ ОЦЕНКИ ВРЕМЕНИ ПРИХОДА
Несомненным достоинством классического согласованного фильтра, наряду с максимизацией отношения сигнал/шум, является линейность обработки, что делает относительно простой его практическую реализацию. Учитывая последнее замечание, попытаемся найти другое линейное преобразование, не связанное со значительными потерями фишеровской информации о т. Для этого воспользуемся предложенным в [6, 7] ортогональным разложением предъявляемого сигнала в ряд. Это разложение характеризуется тем, что при фиксированном числе членов ряда оно гарантирует минимальные средние потери фишеровской информации о конкретном параметре. В приложении к рассматриваемой задаче из [6, 7] вытекает следующее утверждение.
Утверждение. При разложении наблюдаемого сигнала в конечный ряд по п функциям фх(г), •••, фп(г) минимальная средняя величина потерь фишеровской информации о т обеспечивается в том случае, когда указанные функции образуют набор ор-тонормированных собственных функций интегрального уравнения
^>ф>(г) = |Кт(г, и)ф;(и)йи, 0 < г < Т,
(10)
с ядром
2
Кт(г, и) = — I ¿х(г - т)и - т)йт, (11) N 0"1
соответствующих наибольшим собственным значениям > > •. .А,п. При этом каждое собственное значение ^ равно среднему значению фишеровской информации, содержащейся в соответствующем коэффициенте разложения, а среднее значение потерь фишеровской информации при ограничении ряда конечным числом членов равно сумме собственных значений, соответствующих отброшенным собственным функциям указанного интегрального разложения.
Доказательство этого утверждения следует из аналогичной теоремы, представленной в [6, 7] для сигналов дискретного времени при устремлении интервала дискретизации к нулю.
Из определения (11) видно, что ядро интегрального уравнения пропорционально автокорреляционной функции производной заданного сигнала по оцениваемому параметру т. Подставляя в (11) производную, имеем
Кт( г, и) =
2 17 2л. 2Я. 2Я . 2я, Л,
= ТТ -^7 81П — (г - т) -—81П — (и - т) йт = N 0 Д Т Ту 'л Т Ту ')
2я . 2я,
4я 2я, , ——со8—(г - и).
Т N 0 Т
Поскольку автокорреляционная функция не зависит от смещения сигнала вдоль оси времени, в данном случае с точностью до константы существуют только две собственные функции, соответствующие нетривиальным (ненулевым) собственным значениям. При подстановке в (10) правой части последнего выражения легко проверить, что ортонормированными собственными функциями являются
Ф1 (г) = ^шТ г, 0 < г < Т, Ф2( г) = ]|со8у г, 0 < г < Т.
Действительно, для фх(г) имеем равенство
(12)
Д 2
2 . 2 я -81П — и ТТ
4я2 2 я, , ——со8—(г - и)
\
V Т N 0
йи =
/
2я"( 2 . 2я
и Г81ПГг
2 я2
с собственным значением ^ = • Аналогичный результат получим и для ф2(г), причем =
Т
0
Т
Т
0
0
Т
2.0 1.5 1.0
0.5 0
(а
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.