Автоматика и телемеханика, № 10, 2011
© 2011 г. В.Н. ЧЕСТНОВ, д-р техн. наук (Иститут проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
СИНТЕЗ ^^-РЕГУЛЯТОРОВ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
ЗАДАННОЙ точности и степени устойчивости
Рассматриваются линейные многомерные системы с регуляторами по выходу, подверженные действию внешних возмущений из класса полигармонических функций с неизвестными амплитудами и частотами, ограниченных по мощности. Формулируется задача синтеза непрерывных и дискретных регуляторов по выходу, обеспечивающих требуемую точность по регулируемым переменным объекта. Введено понятие радиуса установившегося состояния замкнутой системы по регулируемым переменным, и задача обеспечения заданной точности формулируется как задача обеспечения заданного или минимально возможного радиуса установившегося состояния. Синтез регуляторов сводится к стандартной -проблеме подавления внешних возмущений, а её численное решение опирается на технику линейных матричных неравенств (LMI), реализованную в MATLAB - пакете LMI Control Toolbox. Указан путь учета заданной степени устойчивости замкнутой системы, определяющей время регулирования. Приводится пример синтеза регулятора для взаимосвязанного электропривода.
1. Введение
Зародившись в начале 80-х гг. 20 -го века, математическая теория Н^-оптими-зации к настоящему времени достигла поры зрелости. Традиционно в рамках этой теории рассматривается задача подавления неизмеряемых внешних возмущений, которые являются исчезающими функциями времени (конечной энергии). Отметим, что постановка этой задачи чисто математическая и мало связана с практическими проблемами, встающими перед инженером-проектировщиком.
С инженерной точки зрения возникает естественный вопрос о подавлении постоянно действующих ограниченных возмущений бесконечной энергии, которые только и встречаются на практике. В этом случае традиционная Нто-теория ответа не дает.
Заметим, что еще А.М. Летов в своей книге 1969 г. "Динамика полета и управления" отмечал, что попытка решить обратную задачу об оптимальном регуляторе (т.е. для заданного регулятора, который в инженерном смысле обеспечивает удовлетворительное поведение замкнутой системы, найти структуру функционала и его весовые коэффициенты, при которых система оптимальна) имеет ограниченный практический успех. Это подтверждено гораздо более поздними исследованиями решения обратных задач Н2-, Нто-, Li-оптимизации: любой стабилизирующий регулятор является LQ-, Н2-, Нто- и Li-оптимальным при соответствующем выборе весовых матриц (функций) критерия оптимизации [1—3].
Поэтому представленные в настоящей работе результаты следует рассматривать как выбор некой начальной точки, с которой инженер-проектировщик систем автоматического управления может начинать решение практической задачи при синтезе регуляторов многомерных систем.
В настоящей работе задача обеспечения заданной точности сводится к обеспечению требуемого радиуса установившегося состояния замкнутой системы по регулируемым переменным, который в отличие от [4-6] не учитывает установившихся значений управлений, как в [7]. На это обстоятельство следует обратить особое
внимание, поскольку зачастую установившиеся значения управлений определяются мощностью приложенного к системе внешнего возмущения (это абсолютно справедливо, если управления и возмущения приложены к объекту в одной точке). Поэтому введение такого "усеченного" радиуса установившегося состояния, включающего только физически регулируемые переменные объекта, вполне оправдано. Задача обеспечения заданного или минимизируемого радиуса установившегося состояния при действии неизвестных внешних полигармонических возмущений, ограниченных по мощности [4-8], сводится к эквивалентной проблеме ^^-оптимизации, и в этом смысле полученный регулятор обеспечивает выполнение Д^-критерия с точностью до необходимых и достаточных условий. Однако такая Дто-проблема оказывается вырожденной, поскольку регулируемый выход "обобщенного объекта" [9, 10] не содержит управлений, а помехи измерения также отсутствуют. Это создает определенные трудности при численном решении этой задачи 2-Риккати подходом [9] (необходима регуляризация, которая принципиально изменит характер задачи, см., например, [11]).
Заметим, что аналогичные трудности возникают и в дискретном случае, который в работе рассматривается параллельно с непрерывным, а соответствующие обобщения 2-Риккати подхода получены в [12-14].
Это обстоятельство вызвало необходимость при численном решении привлечь подход линейных матричных неравенств (LMI) [15], развитый для проблемы ^^-оптимизации в [16, 17], который с легкостью решает вырожденные задачи и программно реализован в MATLAB-пакете LMI Control Toolbox [18].
В работе дополнительно указывается путь учета заданного времени регулирования, которое определяется степенью устойчивости замкнутой системы. В непрерывном случае используется прием перехода к так называемому "смещенному" объекту управления, у которого собственные значения матрицы при состояниях по сравнению с исходной сдвинуты на заданное значение fl вправо [19]. В дискретном случае также используется "смещение" модели объекта (см., например, [20]), которое заключается в умножении всех матриц уравнения состояния объекта (при состоянии, управлении и возмущении) на заданное число а ^ 1 (при этом собственные значения матрицы при состоянии увеличиваются по сравнению с исходными в а раз).
Рассмотрен численный пример, демонстрирующий эффективность метода синтеза при управлении взаимосвязанным электроприводом [7, 21, 22].
В настоящей работе развиты результаты, полученные ранее в [4-8], они были обсуждены на конференции [23, 24] соответственно в непрерывном и дискретном случаях.
2. Постановка задачи и предварительные сведения
В данном разделе ставится задача синтеза динамического регулятора по выходу в непрерывном и дискретном случаях, который, с одной стороны, обеспечивает заданную точность по регулируемым переменным объекта, а с другой - требуемое время регулирования, определяемое степенью устойчивости замкнутой системы. При этом точность системы оценивается значением радиуса установившегося состояния замкнутой системы, который в отличие от [4, 5] не содержит установившихся значений управляющих воздействий, как в [7], что естественно увеличивает точность системы по отношению к физически регулируемым переменным объекта. Помимо этого помехи измерения не учитываются.
2.1. Непрерывный регулятор
Рассмотрим модель непрерывного объекта, описываемую уравнениями состояния (2.1) x = Ax + B1w + В2 u, z = Cix, y = C2x,
где x(t) G Rn - вектор состояния, w(t) G RM - вектор внешних ограниченных неиз-меряемых возмущений, u(t) G Rm - вектор управляющих воздействий, z(t) G Rmi -вектор регулируемых переменных, y(t) G Rm2 - вектор измеряемых переменных. Матрицы А, В\, В-2, Ci, С2 соответствующего размера известны.
Предполагается, что пара матриц (А, В2) управляема, а пары матриц (Ci,A) и (С2,А) наблюдаемы.
В качестве управляющего устройства будем использовать динамический регулятор по выходу
(2.2) Xc = AcXc + Bey, u = CcXc + Dcy,
где xc(t) G Rnc - вектор состояния регулятора.
Нахождению подлежат матрицы регулятора Ac, Bc, Cc, Dc, определяющие его передаточную матрицу К(s) = Cc(sl — Ac)-1Bc + Dc.
Компоненты вектора внешних возмущений - ограниченные полигармонические функции
р
(2.3) Wi(t) = sin(wfcí + ipik), i = 1, A4-
fc=i
Причем амплитуды ш^, начальные фазы фц. (г = 1,/л, к = 1 ,р), а также частоты Шк (к = 1 ,р) сигналов неизвестны.
Амплитуды гармоник подчинены условиям (компоненты внешних возмущений ограничены по мощности [5])
(2.4) ¿míUmf, г = 1,М, fc=i
где го* (г = 1,/г) - заданные числа, р - известное число гармоник.
Следуя [8], определим установившиеся ошибки по регулируемым переменным
(2.5) = Итэир г = 1, ть
и введем радиус установившегося состояния замкнутой системы по регулируемым переменным [7]
т\ , ^ 2
2 __( ^г,st
"1 / ч
(2-6) d = £
Проблема синтеза регулятора по заданной точности заключается в нахождении стабилизирующего регулятора (2.2) такого, что система (2.1), (2.2) при действии внешних возмущений из класса (2.3), (2.4) удовлетворяет требованиям
(2.7) г = 1,ть
где г* (% = 1, /??. 1) - заданные положительные числа.
Поскольку требования к точности (2.7) не всегда могут выполняться, то естественно накладывать ограничения на радиус (2.6). Если в результате решения задачи получилось значение г2^ = 1, то выполнены и требования (2.7) (см., например, [8]).
Потребуем также, чтобы время регулирования в замкнутой системе (2.1), (2.2) не превышало заданного ¿р, которое можно оценить по приближенной формуле ¿р = 3/Р, где Р > 0 - степень устойчивости замкнутой системы [25] (минимальное расстояние до мнимой оси от левого корня характеристического полинома замкнутой системы).
Задача 1. Найти стабилизирующий регулятор (2.2) такой, чтобы, с одной стороны, выполнялось соотношение
(2.8) г^ < 72,
где 7 - заданное или минимизируемое число, а с другой - собственные значения матрицы замкнутой системы (2.1), (2.2) АС удовлетворяли неравенствам
(2.9) Ее \iiAd) <-/3, г = 1, п + пс, где Р ^ 0 - заданное число.
2.2. Дискретный регулятор
Рассмотрим дискретную модель непрерывного объекта, описываемую разностными уравнениями состояния
1 х(к + 1) = Ах(к) + Д^(к) + ^и(к), ( . 0) г(^) = С1х(к), у(к) = С2х(к), к = 0,1, 2,...,
где х € Д" - вектор состояния, w € Дм - вектор внешних ограниченных неизме-ряемых возмущений, и € Дт - вектор управляющих воздействий, z € Дт1 - вектор регулируемых переменных, у € Дт2 - вектор измеряемых переменных, А, В1, В2, С1, С2 - известные матрицы соответствующего размера.
Предполагается, что пара матриц (А, Д2) управляема, а пары матриц (С1,А) и (С2,А) наблюдаемы.
Для объекта (2.10) в качестве управляющего устройства будем использовать дискретный динамический регулятор по выходу
(2.11) хс(к + 1)= Асхс(к) + ДеУ(к), и(к) = Ссхс(к)+ ^еу(к), к = 0,1,2,...,
где хс € Д"с - вектор состояния регулятора, а четверка матриц Ас, Дс, Сс, Пс подлежит определению.
Элементы вектора внешних воз
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.