Автоматика и телемеханика, №11, 2011
© 2011 г. Ж.В. ЗАЦЕПИЛОВА
(Московский госудаpcтвенный институт стали и сплавов), В.Н. ЧЕСТНОВ, д-р техн. наук (Иститут проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТИ ПО СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОМУ КРИТЕРИЮ НА ОСНОВЕ ПРОЦЕДУР ¿^-ОПТИМИЗАЦИИ
Сформулирована задача синтеза непрерывных регуляторов линейных многомерных систем, гарантирующих требуемую точность по регулируемым переменным в среднеквадратичном смысле при действии неизмеряемых, ограниченных по мощности полигармонических детерминированных внешних возмущений с неизвестными амплитудами, частотами и числом частот. Получены условия разрешимости задачи с регуляторами состояния (в этом случае возмущения и управления должны быть приложены в одной точке) и регуляторами по измеряемому выходу (объект должен быть минимально-фазовым с одинаковым числом управлений и регулируемых переменных) на основе процедур ¿^-оптимизации путем выбора весовых коэффициентов квадратичного функционала оптимизации.
1. Введение
На практике, как правило, автоматические системы подвержены действию ограниченных неизмеряемых внешних возмущений, которые приводят к появлению ошибок регулирования, имеющих смысл отклонений регулируемых переменных объекта от номинального установившегося режима работы (в задаче стабилизации от нуля).
В случае детерминированных возмущений точность системы, как правило, оценивается максимумом модуля отклонения регулируемых переменных от нуля (т.е. номинального режима работы, поскольку используются уравнения движения в отклонениях). При случайных возмущениях такой характеристикой обычно служат среднеквадратичные значения регулируемых переменных (их дисперсии) [1].
Необходимо отметить, что в рамках стохастической постановки задачи (а также для ступенчатых внешних возмущений) важные результаты по обеспечению заданной точности получены в [2-4].
Настоящая работа продолжает исследования, выполненные ранее в [5] для Я"то-задачи, и, как в стандартной LQG задаче [1] (при случайных гауссовских возмущениях), точность будет оцениваться в среднеквадратичном смысле. Однако в качестве внешних возмущений (помехи измерения отсутствуют) в статье рассматриваются детерминированные функции времени - полигармонические, содержащие произвольное число гармоник с неизвестными амплитудами и частотами. При этом амплитуды гармоник подчинены условию, ограничивающему мощность каждой полигармонической компоненты внешнего возмущения.
В работе рассматриваются два вида объектов, для которых задача обеспечения заданной точности может быть решена до конца на основе теории LQ-оптимизации (при любой заданной точности). В первом случае вектор состояния объекта доступен измерению, а возмущения и управления приложены в одной точке. Для регуляторов по измеряемому выходу объект должен быть минимально-фазовым, а регулируемые
переменные должны совпадать с измеряемыми. При этом число управлений и регулируемых переменных одинаково, а внешние возмущения и управления могут быть приложены к объекту в разных точках.
Решение поставленных задач опирается на частотные матричные неравенства [6] для передаточной матрицы замкнутой системы от внешних возмущений к регулируемым переменным и управляющим воздействиям. Оказывается, таким неравенствам можно дать физическую интерпретацию на языке средних квадратов регулируемых переменных и управляющих воздействий, когда ограниченые по мощности внешние возмущения (ограничена сумма квадратов амплитуд гармоник [5]) - полигармонические сигналы с неизвестными амплитудами, частотами и их числом.
Отметим, что в постановке задачи LQ-оптимизации вообще отсутствуют внешние возмущения, а движение в замкнутой системе вызывается ненулевыми начальными условиями, имеющими смысл начальных отклонений от номинального установившегося режима, который принимается за начало отсчета. Вместе с тем регуляторы, полученные на основе этого подхода, применяются и при действии внешних возмущений.
Проблема выбора весовых матриц квадратичного функционала оптимизации возникла сразу после работ А.М. Летова [7] и Р.Е. Калмана [8] по LQ-оптимизации. В своей книге 1969 г. "Динамика полета и управление" А.М. Летов писал, что структура и весовые матрицы функционала оптимизации заданы и являются постулатом теории. Однако это главный вопрос всякой теории, претендующей на практическое применение, так как свойства замкнутой системы (кроме устойчивости) существенным образом зависят от выбора структуры и коэффициентов весовых матриц квадратичного функционала оптимизации. С математической точки зрения не имеет значения, какими выбраны весовые матрицы, а с инженерной точки зрения - это чрезвычайно важно.
С появлением теории ^^-оптимизации и 2-Риккати подхода в 1989 г. [9] эта проблема возникла снова.
В настоящей работе даются строгие правила выбора коэффициентов функционала оптимизации в LQ задаче, разрешающие проблему синтеза регуляторов состояния и по выходу по заданным среднеквадратичным значениям регулируемых переменных при действии ограниченных по мощности [5] полигармонических внешних возмущений с неизвестными амплитудами, частотами и их числом. Кроме этого, указывается учет желаемого времени регулирования путем обеспечения заданной степени устойчивости замкнутой системы.
2. Постановка задачи
Рассмотрим линейную стационарную систему, описываемую уравнениями:
(2.1) x = Ax + B1w + В2 u, z = Cíx, y = C2x,
(2.2) x c = AcXc + Bcy, u = Ccxc + Dcy,
где x(t) G Rn - вектор состояния объекта (2.1), u(t) G Rm - вектор управления, z(t) G Rmi - вектор регулируемых переменных, y(t) G Rm2 - вектор измеряемых переменных, w(t) G RM - вектор внешних неизмеряемых возмущений, xc(t) G Rnc -вектор состояния регулятора (2.2). Постоянные числовые матрицы A, В i, В2, Ci, C2 известны; Ac, Bc, Cc, Dc - неизвестные матрицы регулятора (2.2).
Пара матриц (A, В2) предполагается стабилизируемой, а пары (Ci, A) и (C2, A) -детектируемыми.
Компоненты вектора внешних возмущений - ограниченные полигармонические функции
р
(2.3) = эт (ш^ + Фгк), « = 1,М> 1<_р<оо.
к=1
Здесь амплитуды ш^, начальные фазы фц. (г = 1,/л, к = 1 ,р) и частоты си к (к = 1 ,р) гармоник неизвестны. Неизвестно и число гармоник 1 ^ р < оо.
Будем полагать, что среднеквадратичные значения (мощности) любой компоненты внешнего возмущения подчинены условию (следующее равенство доказано, например, в [10]):
т
1 Г 1 р
(2.4) (ад2) = гИт - / = - ]Г«4 < , * = 1 < Р <
0 к=1
где ги* (г = 1,/г) - заданные числа.
Определим среднеквадратичные значения регулируемых переменных соотношениями [5]
т
1
(2.5) (г,2) = 1пп ^ [ z;(t)dt >0, ¡ = 1,т1. Т^то Т ,]
о
Аналогично определяются среднеквадратичные значения управляющих воздействий.
Задача. Найти стабилизирующий регулятор (2.2) такой, чтобы среднеквадратичные значения 'регулируемых переменных системы (2.1), (2.2) при действии возмущений из класса (2.3), (2.4) удовлетворяли требованиям
(2.6) (ДГХ-Г, ¿ = 1,Ш1,
где г* > 0 (г = 1, 7711) ~ заданные числа.
3. Предварительные результаты. Частотные свойства ¿^-оптимальных систем
Важную роль в получении результатов работы играют частотные матричные неравенства, записанные для передаточных матриц замкнутой оптимальной системы, связывающих вектор регулируемых переменных z и вектор управляющих воздействий и с вектором внешних возмущений ш. Частным случаем таких матричных неравенств является целевое условие теории оптимизации [5, 9].
Предположим, что вектор состояния объекта измеряется (С2 = I, где I - единичная матрица соответствующих размеров). Его уравнения (2.1), если управления и внешние возмущения приложены в одной точке (В 1 = В2, ^ = т, Ш2 = п), имеют вид:
(3.1) х = Ах + В2( и + ш), z = С1х, у = х.
Хорошо известно [1, 11, 12], что для объекта (3.1) закон управления
(3.2) и = Кх, К = -Д-1ВТР,
где симметрическая неотрицательно определенная матрица Р = Рт ^ 0 удовлетворяет матричному уравнению Риккати
(з.з) атр + ра - рд2д-1дтр = -с%сь
доставляет минимум квадратичному функционалу качества (при w = 0 в (3.1))
сю
(3.4) 1 = mmJ ^^ + итДи) Л,
о
где Q и Д - симметрические положительно определенные весовые матрицы, выбираемые проектировщиком.
Если матрица А объекта гурвицева, то часто матрицу Р ^ 0 закона управления
(3.2) находят путем решения матричного уравнения Ляпунова [13-16]
(3.5) АтР + РА = -С%СЬ
В этом случае закон управления (3.2), (3.5) минимизирует (при w = 0) следующий квадратичный функционал [17]:
сю
(3.6) 1 = пип У Qz + итДи + и*тДи*) А, и* = -Д-1ДтРх.
о
В дальнейшем для удобства синтез регулятора (3.2) на основе решения уравнения (3.3) будем называть процедурой 1, а на базе уравнения (3.5) - процедурой 2.
Переходя к исследованию частотных свойств систем, построенных на основе процедур 1 и 2, определим передаточные матрицы замкнутой системы (3.1), (3.2):
(3.7) Тиш(5) = К(8/ - Асг)-1Д2, Тгш(8) = С^/ - Асг)-1Д2, Ас; = А + М,
первая из которых связывает вектор управляющих воздействий и, а вторая - вектор регулируемых переменных z с вектором внешних возмущений w.
В случае использования процедуры 1 имеют место следующие частотные свойства.
Теорема 1. Передаточные матрицы (3.7) оптимальной системы (3.1), (3.2),
(3.3) удовлетворяют условиям:
а) частотному тождеству
(3.8) [/ + ТиШ(-и)]тД[/ + Тии,(¿и)] = Д - ^(-¿и^Т^и), и е [0,
б) частотным матричным неравенствам:
(3.9) ^(-¿и^Т^и) ^ Д, и е [0, то];
(3.10) [/ + ТиШ(-¿и)]тД[/ + ТиШ(¿и)] < Д, и е [0, то];
(3.11) ^(-¿и^О/и) < 4/, (Д = г/, г > 0), и е [0, то];
в) при т = ^ =1 годограф амплитудно-фазовой частотной характеристики Тит(¿и) не покидает круга радиуса единица с центром в точке (-1^0) для всех частот и е [0, то].
Доказательство теоремы 1 приведено в [6]. В другой форме тождество (3.8) приведено в [18].
При использовании процедуры 2 справедливы следующие аналогичные свойства. Теорема 2. Передаточные матрицы (3.7) системы (3.1), (3.2), (3.5) удовлетворяют условиям:
а) частотному тождеству
(3.12) [I + 2Тиш(-.Н]т0,5Д[/ + 2ТишО)]=0,5Д - ТТт(—ш^Т^ш), ш € [0, то];
б) частотным матричным неравенствам
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.