ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 6, с. 5-15
УПРАВЛЕНИЕ ^^^^^^^^
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
УДК 62-50
СИНТЕЗ РОБАСТНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ СРАВНЕНИЯ СО СТОХАСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛЬЮ*
© 2007 г. П. В. Пакшин, С. Г. Соловьев
Арзамас, политехнический ин-т Нижегородского гос. технического ун-та, Нижний Новгород, Гос. ун-т им. НИ. Лобачевского Поступила в редакцию 21.02.07 г., после доработки 14.06.07 г.
Рассматривается задача синтеза стабилизирующего управления дискретной линейной системой с неопределенными параметрами. Строится стохастическая модель сравнения с параметрическими шумами, из устойчивости которой в среднем квадратическом следует устойчивость системы с неопределенными параметрами, изменяющимися в заданной области. Для случая обратной связи по состоянию предлагаются методы синтеза робастного стабилизирующего управления, основанные на решении либо линейных матричных неравенств, либо вспомогательной задачи оптимизации при ограничениях в виде линейных матричных неравенств. Предлагается сходящийся итерационный алгоритм синтеза робастного стабилизирующего управления для случая обратной связи по выходу. Дается пример.
Введение. Исследование систем с неопределенными параметрами является одним из центральных направлений современной теории управления и составляет предмет интенсивно развивающейся теории робастной устойчивости и управления [1, 2]. В этой теории существуют разные подходы к построению моделей неопределенностей. Для линейных систем широкое распространение получили аффинные и политопные модели, которые позволяют привлечь эффективный аппарат полуопределенного программирования, в частности линейных матричных неравенств [1-3]. В то же время эти модели обладают тем существенным недостатком, что порядок системы неравенств, которую необходимо решать для анализа устойчивости или синтеза стабилизирующего управления, пропорционален т2р, где т - порядок системы, р - число неопределенных параметров. Ясно, что для реальных систем, даже при наличии хорошей вычислительной базы и программного обеспечения, подобные задачи остаются трудоемкими для исследователей и совсем непривлекательными для инженеров, занятых конкретным проектированием. Последние наверняка не выберут данный подход и предпочтут решение на базе моделирования.
Интенсивный поток исследований, направленных на применение идей полуопределенного программирования, снизил внимание к другим возможным подходам к проблеме, в частности к вероятностному, который изучался в [4-7] и содержит целый ряд плодотворных идей, не привлекших пока должного внимания исследователей. В частно-
*
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке
РФФИ (грант < 05-01-00132).
сти, в [4] был предложен подход к исследованию робастности, основанный на построении стохастической системы с мультипликативными шумами, из устойчивости которой в среднем квадратическом следовала асимптотическая устойчивость исходной системы с неопределенными параметрами при любых неопределенностях из заданной области (робастная устойчивость). При этом не происходит повышения размерности задачи в зависимости от числа неопределенных параметров. К сожалению, эта работа не получила дальнейшего развития прежде всего в связи с тем, что оставалось неясным, как решать те нестандартные матричные квадратные уравнения, к которым в конечном итоге приводили поставленные задачи робастной устойчивости и стабилизации.
Достигнутый в недавнее время прогресс в развитии методов решения нестандартных матричных уравнений типа Риккати на основе выпуклой оптимизации позволяет довести задачу до эффективных алгоритмов на основе решателей линейных матричных неравенств в случае, если вектор состояния доступен наблюдению [8, 9]. В то же время сложность задачи не снижается в случае обратной связи по наблюдаемому выходу. Исследования последних лет показали, что в этом случае задача является невыпуклой (в расчетные соотношения входят взаимно обратные матрицы) и ее решение в принципе не может быть получено простыми средствами [7, 10, 11]. Различные попытки выпуклой аппроксимации обычно приводили к алгоритмам, не гарантирующим сходимость [7, 12, 13]. Эти обстоятельства усилили интерес к разработке сходящихся итерационных алгоритмов [14].
В данной работе в развитие идей [4] предлагается метод синтеза робастного стабилизирующе-
квадратическими отклонениями. Примем стандартное предположение, что шум ^п) не зависит
го управления для дискретных линейных систем от начального состояния системы. Следующие с неопределенными параметрами, основанный на два утверждения устанавливают связь между построении стохастической системы сравнения устойчивостью системы (2.1) и робастной стаби-
с мультипликативными шумами. Изучаются случаи обратной связи по состоянию и выходу.
1. Постановка задачи. Рассмотрим дискретную детерминированную систему, описываемую уравнениями
1и + 1
= Axn + Bu, + (n)(A.x, + Bu,,),
лизацией системы (1.1). Обозначим через Э™ пространство вещественных симметричных матриц.
Теорема 1. Пусть существуют матрицы Р е
е §™, Р > 0, О е К*х ™, М„ N М, N, М, е К™'Х ™, 1 = 1, ...,р, скаляр у > 0 и отображение Ф : §™ —► —► §™, удовлетворяющие соотношениям
i = 1
(1.1)
Уп = Схп,
где хп - т-мерный вектор состояния; ип - к-мерный вектор управления; уп - г-мерный вектор выхода; А, А, 1 = 1, ...,р, - матрицы размеров т Х т; В, В,, 1 = 1, ..., р, - матрицы размеров т Х к; С - матрица размера г Х т; а(п) - переменные, описывающие неопределенности параметров, о которых известно только, что они ограничены
|сг(п)| < 5г 1 = 1, ..., р. (1.2)
Сформулируем следующие задачи: найти управление с обратной связью по состоянию
ип = -КХп, (1.3)
M] N, + NfMt = AlPAc + ATCPAC
+
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
i = 1 (2.6)
p p
£5,5j[MCM1 + Nj-Nj] + £52mMcмм, - Ф(P) < yI.
NCMi + MC Nj = ACpAj + AjjPAc
MJM, = ACiPAc
ACPAc + Ф(P) - P < 0,
¿5,.[ M, M, + N, N, ]
i * j
Тогда управление
обеспечивающее экспоненциальную устойчивость замкнутой системы (1.1) при любых не- и = -оХ (2 7) определенностях параметров, удовлетворяющих п п
ограничениям (1.2) (робастная стабилизация по гарантирует робастную стабилизацию системы
состоянию);
найти управление с обратной связью по выходу Un = -Fym (1.4)
обеспечивающее экспоненциальную устойчивость замкнутой системы (1.1) при любых неопределенностях параметров, удовлетворяющих ограничениям (1.2) (робастная стабилизация по выходу). Здесь K и F - матрицы усиления размеров k X m и к X r.
2. Стохастическая модель сравнения. Наряду с (1.1) рассмотрим стохастическую дискретную систему
p
xn +1 = Acaxn + £YiAciXn Vi(n), Уп = Cx^ (2.1)
i = 1
где Aca = (1 + a)1/2Ac, Ac = (A - BG), a > 0, Aa = A, -- BiG; G = K или G = FC в зависимости от вида обратной связи; для удобства компоненты составляющих шума представлены в виде произведения компонент v,(n) р-мерного дискретного гауссов-ского белого шума v(n) с единичной ковариационной матрицей и положительных скаляров y,, i = = 1, ..., р, которые по смыслу являются средне-
(1.1).
Доказательство. При выполнении условия (1.2) имеем
T 1
0<
52Mi - 5i2 с, (n)Ni
52Mi - 5,2 с (n)N.
= 5iMTMi + 6-Ч.(n)2N.N. -- Ci( n)[ M, N. + N. Mi ], откуда с учетом (2.2)
0 < 6i[MCMi + N. Ni ] - Ci( n)[ AlPAc + A.PAJ. (2.8) Аналогично
1 1 _1 _1 T
б2-52Mi - 6-25-2с(n)сj(n)N
1 1- Л J. 52 62Mi - 5,2 5 - \,v
0<
X
5252Mi - 5,25-2с(n)с-(n)NJ
X
= 5,5-M.M, + 5-15-1 (с(n)Cj(n))2N-N- -- с.(n)с,(n)[NT-Mi + M.Nj-]
i = 1
и с учетом (1.2), (2.3) получим
0 <5г 5ДМ]Мг + НН ] -- а,(п)а}(п)[ЛТС1РЛС] + ЛТС]РЛС1 ],
тогда
а,( п )а}.(п)[ Л1 РЛс} + ЛСРЛ^ ]<
<55; [ м]Мг + НН ].
Далее из (1.2), (2.4) следует
а,( п )2 ЛСгРЛсг < 5]м] Мг.
(2.9)
(2.10)
Следовательно, в силу дискретного аналога теоремы Барбашина-Красовского система (2.11) экспоненциально устойчива. Последнее означает, что управление (2.7) гарантирует робастную стабилизацию системы (1.1).
Рассмотрим теперь (2.12) в качестве кандидата на стохастическую функцию Ляпунова, гарантирующую экспоненциальную устойчивость в среднем квадратическом (ЭУСК)[15, 16] системы (2.1). Стохастическая первая разность (2.12) в силу системы (2.1) запишется в виде [15]
Подставив (2.7) в (1.1), получим уравнения замкнутой системы в виде
XУ(х)=М[У(хп +!)|хп = х] - У(х) =
Хп + 1 = Лсхп + Х°г( п ) Лс
г = 1
Выберем квадратичную форму
У( хп) = хСС Рхп
(2.11)
(2.12)
= х
Л^РЛса - Р + £у2ЛСРЛ
г = 1
(2.14)
где М - оператор математического ожидания. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть при некоторых а > 0, у > 0 в качестве кандидата на функцию Ляпун°ва и вы- существует положительно определенное реше-числим ее первую разность в силу системы (2.11) ние Р е матричного уравнения
А У( хп) = х.
лт
X
X Р
- х Рх =
пп
=х.
Лс + Х°г( п ) Лс
г =
Лс + Х°г( п ) Лс
г = 1
Р
л] РЛс - Р + Iа( п)(Л] РЛс+ЛтсРЛсх)
г = 1
Р
+ п )а] (п)(ЛТС1РЛС] + ЛТС]РЛС1) +
Л^аРЛса - Р + Iи1РЛсг + У1 =0, (2.15)
г = 1
удовлетворяющее условию
Р с2\
а -1Г
=1
Л]РЛс + уI > 0,
( р
(2.16)
0 <Г<у2-5,
I51 + 5г
V * г
г = 1, ..., р.
1
+
п)2 Л]гРЛс
Тогда управление (2.7) гарантирует робастную . стабилизацию системы (1.1).
Доказательство. Достаточно убедиться, Отсюда, учитывая (2.5, (2.6) и (2.8)-(2.10), получим что при условиях данной теоремы справедливы
все условия предыдущей теоремы. Определим
А У (хп) = - х] Ф( Р) - 15г[М] Мг + Н] Я] +
г = 1
р
15 г51 [МгМг + НН ] + (2.13)
1
р
15 2 МСМ
+
+
=1
Ф( Р) = аЛ]РЛс + !у ]л1гРЛсг + у1, =1
1-1 1 1 Мг = ГГ12Р2Лсг, Нг = (512Р1 Лс
хп < -У||хп\\
1
1
1
Мг = Р'Лсг, N = Р2Лс; Мг = РгЛг.
р
х
г
Тогда в силу (2.15) справедливы соотношения (2.2)-(2.5). Кроме того, в силу условия (2.16) справедливо неравенство (2.6), которое принимает вид
( р
а - У б2
V
АТ РАс + у/ +
+
i = 1
У А^РАа У2- 62- б^б, - Г
1 * 1
> 0.
Теорема доказана.
Следствие (стохастическая модель сравнения). Рассмотрим стохастическую систему
хп + 1 = Аах„ + Баып + У ¡( Арп + Би„) Vi( п),
1 = 1
(2.17)
Уп = Схп,
где Аа = (1 + а)1/2А, Ба = (1 + а)1/2Б и предположим, что выполнены соотношения
3. Робастная
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.