Автоматика и телемеханика, Л- 3, 2007
РАС Б 02.30.Yy
© 2007 г. В.Ф. СОКОЛОВ, д-р физ.-мат. наук (Отдел математики Коми научного центра УрО РАН)
СИНТЕЗ СУБОПТИМАЛЬНЫХ РОБАСТНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ ВЕСАХ ВОЗМУЩЕНИЙ1
В классических постановках задач синтеза оптимальных робастпых регуляторов предполагаются известными уравнения поминального объекта и веса допустимых возмущений. В настоящей статье задача синтеза рассматривается в пеклассической постановке, когда веса возмущений считаются неизвестными и подлежащими оцениванию по данным измерений. Многомерный объект управления с дискретным временем описывается заданной передаточной матрицей с возмущениями несократимых множителей и ограниченным внешним возмущением. Получено решение задачи нахождения с наперед заданной точностью наилучших согласованных с данными измерений весов возмущений и соответствующего им субоптималыюго регулятора.
В данной работе задача синтеза оптимального робастного управления рассматривается в 1\ постановке, соответствующей основному сигнальному пространству £ж ограниченных по модулю последовательностей. Показателем качества замкнутой системы управления служит наихудшее в классе допустимых возмущений значение ¿^-нормы выхода объекта управления. Основы ^-теории робастного управления разработаны в [1. 2]. в которых получены необходимые и достаточные условия робастной устойчивости и критерии оценки качества робастного управления для линейного дискретного объекта со структурированными возмущениями. Поскольку задачи синтеза оптимальных робастных регуляторов, минимизирующих заданный показатель качества замкнутой системы, как правило, не поддаются прямому решению. вместо них рассматривают вспомогательную задачу обеспечения гарантированной верхней оценки показателя качества. Для объекта со структурированными возмущениями в [3] был предложен метод решения вспомогательной задачи, основанный на локальной замене возникающих невыпуклых ограничений линейными и применении метода ветвей и границ для сеточного поиска в пространстве специальных параметров. При этом для получения приближенного решения вспомогательной
¿4-оптимизации, где п - число независимых операторных возмущений. В свою очередь приближенное решение стандартной задачи ¿4-оптимизации сводится к задаче линейного программирования [4. 5]. Для решения исходной задачи синтеза субоптималыюго робастного регулятора на основе решения вспомогательной задачи требуется дополнительный приближенный поиск минимальной достижимой верхней
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 05-01-00851).
1. Введение
задачи с точностью до е необходимо решить порядка
стандартных задач
границы показателя качества, что приводит к росту объема вычислений в -
Цель настоящей работы заключается в приближенном решении задачи синтеза оптимального робастного регулятора в неклассической постановке, когда веса возмущений предполагаются неизвестными и подлежащими оцениванию по данным измерений. При этом в качестве критерия идентификации для оценивания весов возмущений выступает показатель качества исходной задачи оптимального управления. Однако такой естественный выбор идентификационного критерия в общем случае настолько усложняет задачу синтеза, что она считается "нерентабельной" [6] и поэтому не рассматривалась в теории управления. Действительно, такая постановка задачи синтеза влечет необходимость решения задачи подтверждения модели, сводящейся в данном случае к описанию множества весов возмущений, согласованных с данными измерений и априорными предположениями. Рассматриваемая иекласси-ческая задача синтеза отличается от классической дополнительной минимизацией показателя качества по весам возмущений на множестве согласованных с измерениями весов. В [7. 8] было показано, что уже для простейшего случая объекта с неструктурированным возмущением даже более простая задача оптимального оценивания весов (т.е. минимизации показателя качества только по весам при фиксированном регуляторе) оказывается задачей невыпуклого дробно-квадратичного программирования. Поэтому еще более сложная задача оптимального синтеза при неизвестных весах представляется практически неразрешимой (или. иначе, решаемой только методом полного перебора).
Однако имеется достаточно широкий класс объектов, допускающих значительное упрощение задачи синтеза. Этот класс состоит из линейных многомерных объектов с возмущениями несократимых множителей передаточной матрицы и ограниченным внешним возмущением. В [9] показано, что для указанного класса объектов показатель качества оказывается дробно-линейной функцией индуцированных норм передаточных матриц замкнутой системы. Благодаря этому, во-первых, вспомогательная задача обеспечения заданного уровня показателя качества в классической постановке может быть переформулирована как стандартная задача ^-оптимизации. Во-вторых, неклассическая задача синтеза оптимального робастного регулятора при неизвестных весах возмущений становится специальной задачей дробно-квадратичного программирования при линейных ограничениях, а сопровождающая ее задача оптимального оценивания весов возмущений также становится дробно-линейной и сводится к линейному программированию. Наконец, специфическая зависимость оптимального робастного регулятора только от веса возмущения в канале управления позволяет получить приближенное решение некласснческой оптимальной задачи с точностью до е посредством решения только - стандартных задач
£
¿4-оптимизации.
Обозначения.
|х|то := тах |хг| для вектора х = (х1:...,хп)* € Мп. £п - линейное простран-
г
ство вещественных векторных последовательностей х = (х(0), х(-),...) с элементами х(к) € Мп;
(,0 .-
Ргх := (х(0),х(-),...,х(*)).
IП — нормированное пространство ограниченных вещественных векторных последовательностей с нормой ||х||то := вир |х(к)|то. £1 - нормированное пространство веще-
к
ствеппых последовательностей с нормой ||х| 1 := ^ |х(к)|. Отображепне Н : £р ^ £ч
к
называется ^-устойчивым или, для краткости, устойчивым, если оно причинное
(т.е. РгИ = РгНРг Vг € М), отображает ¿рж в ¿^ и
(1) \\Н|| :=впр ЩХ^ <
х=0 |И\те
\ Н\ Н
Н
нейная стационарная причинная система Н : ¿р ^ ¿ч может быть представлена в виде свертки
г
Нх(г) := ^ Н (к)х(г — к), Н (к) := (Н3 (к)),
к=0
в которой то же обозначение Н использовано для д х р матрицы, составленной из импульсных откликов Нц € ¿1 от ]-го входа к г-му выходу. Линейная стационарная система Н ¿то-устойчива тогда и только тогда, когда Н^ € ¿1 для всех г,]. Индуцированная норма устойчивой системы Н определяется формулой (1) и равна
\\н\\ = Е Н\|1-
3=1
ж
Матричная функция Н(X) := ^ Н(к)\к, X € С, называется передаточной матрицей
к=0
системы Н. Число \\Н(А)\\ := \\Н\\ называется индуцированной нормой передаточной матрицы.
2. Постановка задачи
Рассмотрим объект управления, описываемый уравнением
(2) М(д-1)у = N (д-1)и + 1,
где у € ¿Пу — измеряемый выход объекта, и € ¿Пи — подаваемое в объект управление, 1 € ¿Пу - неизвестное возмущение. М(д-1) и N (д-1) - несократимые слева [10] полиномиальные матрицы (размеров пу х пу и пу х пи соответственно) от оператора сдвига назад д-1 (д-1х(г) := х(г — 1)), ёе! М(0) = 0. Матрицы М(д-1) и N(д-1) предполагаются известными. Объект управления характеризуется передаточной матрицей Р(X) := М-1(А)1(А). Суммарное возмугцение 1 в объекте Р имеет
(3) 1 := V + 5у Д1У + 5и^2и,
(4) > 0, 5у > 0, 5и > 0
- неизвестные числа, называемые весами возмущений, V € ¿ж - внешнее возмущение, удовлетворяющее ограничению
(5) \\w\U < 1,
Дх и Д2 — операторные возмущения по выходу и управлению, удовлетворяющие ограничениям
(6) |(Д1У)С0|ТО < sup |y(s)|TO, | (Д2 u)(t)|TO < sup |u(s)|TO Ш = 0,1, 2,...
s<t s<t
На языке отображений неравенства (6) означают, что Дх : ¿ж ^ ¿ж и Д2 : ¿Ж ^ ^ (Г<Ж> - строго причинные отображения, и ЦД^ < 1, ||Д2|| < 1. В силу возможной записи уравнения (2) в виде
(7) (M - SyДх)у = (N + 5иД2)п + Sww
операторные возмущения Sy Д1 и Su Д2 называются возмущениями несократимых множителей передаточной матрицы объекта управления P.
Управление объектом осуществляется посредством линейного стационарного регулятора
(8) u = Ky,
где K - рациональная передаточная матрица регулятора. Для упрощения обозначений введем обозначение
S := (Sw,Sy, Su)
для набора неизвестных весов.
Качество замкнутой системы управления (2), (8) будет характеризоваться функционалом
(9) J(K, S) := sup sup ||у||то,
Дь Д2 w
где супремумы берутся по множествам возмущений, удовлетворяющих ограничениям (5) и (6).
Классическая постановка задачи синтеза оптимального робастного регулятора
KJ PS
(10) Jdass := inf J(K, S).
В частном случае отсутствия операторных возмущений (Sy = Su =0) задача (10) является известной задачей ¿i-оптимального управления [4, 10].
S
жащим оцениванию по данным измерений, постановка задачи синтеза оптимального робастного регулятора нуждается в уточнении.
Пусть управление объектом (2) на промежутке [0, t] осуществлялось произвольным образом, и (у0,u0) - соответствующие данные измерений.
Определение 1. Набор весов 5 = (Sw, Sy, Su) будем называть согласованным с данными измерений (у0,u0), если существуют операторные возмущения Дх и Д2,
w
■уравнение (2) с набором весов 5 вместо S справедливо на промежутке времени [0,t]. Обозначим через WC0TJl множество всех наборов весов, согласованных с данными ■измерений.
о Автоматика и телемеханика, .N-" 3
129
В дальнейшем данные измерений считаются фиксированными и неизменными.
Задачей оптимального робаетного синтеза при неизвестных весах возмущений будем называть задачу
(И) Jc.pt :=М 7(К, 5).
к геЖсОГЛ
Если пара (Кор^ 6ор^ является решением задачи (11), то регулятор Кср является оптимальным в классическом смысле (10) робастным регулятором, соответствующим наилучшему (относительно показателя качества 7) согласованному с данными измерений набору весов 6ор^ Достоинство постановки оптимальной задачи в форме (11) заключается в том, что для любых данных измерений, полученных при любом управлении объектом (
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.