ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 5, 2004
УПК 621-752.2
© 2004 г. Рыбак Л.А., Ержуков Р.В.
СИНТЕЗ ЦИФРОВОГО РЕГУЛЯТОРА АКТИВНОЙ СИСТЕМЫ ВИБРОИЗОЛЯЦИИ ПО ОПТИМАЛЬНОЙ ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ
Рассмотрена задача построения цифрового регулятора в системе активной виброизоляции. Предложен метод синтеза регулятора, обеспечивающего наилучшую траекторию относительного движения объекта. Выбрана соответствующая передаточная функция системы с оптимальным расположением корней характеристического уравнения. Приведены результаты математического моделирования поведения системы при разных частотах возмущающего воздействия. Дана оценка качества синтезируемой системы.
Рассмотрим систему активной виброизоляции кинематического принципа действия, предназначенную для защиты объекта от низкочастотных воздействий со стороны основания. Применение известных пассивных устройств ограничено по относительному перемещению. Для обеспечения требуемых относительных перемещений на низких частотах они должны иметь большую массу и габариты.
Схематически система управления показана на рис. 1. Приводной механизм управляется по сигналам обратной связи с датчика относительного перемещения платформы и датчиков ускорения, акселерометров. Возможны различные варианты алгоритмов управления в данной системе. Традиционный путь состоит в создании контуров обратных связей по относительному перемещению и ускорению на объекте и основании. Качество управления в этом случае невысокое. Применение инвариантного режима управления позволяет обеспечить нулевой уровень ускорения на объекте, т.е. создать идеальный режим. Из этого условия можно построить программу управления на основе вычисления значений координат по перемещению, скорости, ускорению и реализована программа регулятора. Однако этот случай приводит к потере устойчивости, заложенной в природе такого алгоритма.
Система управления должна обеспечить минимум ускорения на платформе при ограниченном перемещении. Рассмотрим требования более детально. Система должна нейтрализовать либо снизить до приемлемого уровня значение ускорения на объекте вибразощиты - платформе. Возмущающим воздействием является ускорение платформы. Предположим, что удалось создать систему управления, которая удовлетворяет этому требованию. Пусть на основание воздействует кратковременное возмущающее воздействие. По окончании переходного процесса ускорение основания равно нулю. Однако, нет никакой гарантии, что величина относительного перемещения платформы установится в исходное состояние. Не исключено, что платформа будет продолжать двигаться с некоторой постоянной скоростью. Такая система будет неустойчива. Этот метод управления принципиально неприемлем, поскольку реальная система всегда будет иметь ограничения по относительному перемещению.
Рассмотрим другой путь решения. Пусть система обеспечит стабилизацию положения в пространстве платформы независимо от изменения положения основания. Если удастся обеспечить постоянное значение координаты платформы независимо
Рис. 1. Схема активной системы виброизоляции платформы: 1 -объект управления, 2 - основание, 3 - регулятор, 4 - датчик относительного перемещения, 5, 6 - датчики ускорения, 7 -электродвигатель, 8 - датчик частоты вращения
от основания, то ускорение, как вторая производная, обратится в нуль. Предположим, что вся система вместе с основанием и платформой движется с постоянной скоростью. В этом случае ускорение платформы и основания равно нулю. Стабилизация в пространстве в данном случае не нужна. Этот момент принципиально важен: какую бы систему отсчета не выбрали, абсолютное значение постоянной скорости основания не должно учитываться. Перемещение же платформы относительно основания, напротив, очень важно учитывать. При отсутствии возмущающего воздействия требуется обеспечить прекращение перемещения платформы относительно основания. Относительная координата должна возвращаться в исходное нулевое значение.
Таким образом, требование обеспечения минимума ускорения платформы при ограничении ее перемещения приводит к постановке многокритериальной задачи. Ее можно решать разными методами. Можно объединить два критерия в один с некоторым весовым коэффициентом и решать задачу оптимизации регулятора по одному критерию [1]. Другой подход заключается в выборе такой передаточной функции системы, чтобы выполнялись оба требования. После того, как желаемая передаточная функция системы будет найдена, задача сводится к решению системы линейных уравнений.
Определим характер переходного процесса для желаемой системы управления. Какая реакция должна быть у системы на возмущающее воздействие - ускорение? Ответ не очевиден. Тем не менее можно представить, как должна вести себя желаемая устойчивая система в ответ на перемещение основания. В начальной момент относительное перемещение платформы должно осуществиться в противоположном направлении. Таким образом, в этот небольшой промежуток времени система идеально компенсирует перемещение основания. Если основание в течение длительного времени не возвращается в начальное положение, то платформа должна совершить некое плавное перемещение, чтобы величина относительного перемещения платформы вернулась к исходному значению. По какому закону должно происходить это перемещение? Колебательный характер движения нежелателен, поскольку колебания перемещения порождают дополнительное ускорение на платформе. Предлагается выбрать закон движения таким, чтобы за минимальное время относительное перемещение вернулось к исходному значению, не превышая заданный уровень ускорения. Другими словами, система должна совершить перемещение за конечный промежуток времени с фиксированным по модулю ускорением. Чем за более длительное время система возвратится в исходное положение, тем с меньшим ускорением будет перемещаться платформа.
Перейдем к математическому описанию желаемого переходного процесса. Перемещения основания и платформы связаны соотношением
х ( t ) = S( t ) + v( t ),
(1)
где л(г) - абсолютное перемещение платформы - объекты управления, 5(0 - перемещение объекта относительно основания, и(г) - абсолютное перемещение основания.
Пусть основание и в момент времени г = 0 совершило мгновенный переход от 0 к 1. В начальный момент система должна установить 5(0) = -1. При этом, согласно (1) абсолютное перемещение платформы останется нулевым х(0) = 0. Далее система должна осуществить перемещение к значению 5(Г1) = 0 за ограниченное время Т1. Получим аналитическое выражение для закона движения 5(г), например для Т1 = 100:
и( t) = 1( t), S( t)
0 при t < 0 или t > 100,
-4 2
2 • 10 t - 1 при 50 > t > 0, 1-2 • 10-4t2 + 4 • 10-21 - 2 при 100 > t > 50.
(2)
Нетрудно убедиться, что вторая производная по модулю |S (t)| постоянна в течение всего интервала времени t е (0, T1).
Учитывая, что для линейных систем выполняется соотношение S(t)/u(t) = S (t)/ и (t) все приведенные рассуждения относительно зависимости S(t) от u(t) можно перенести на зависимость поведения S (t) от v (t).
Для синтеза регулятора требуется составить математическую модель объекта. Пусть относительная скорость и ускорение объекта в изображении Лапласа описываются уравнениями [1]
sS( s ) = W1 ( s ) u ( s ), s2 х ( s ) = s2S( s ) + s2v( s ),
(3)
где - передаточная функция, фильтр нижних частот; и(,у) - управляющее воз-
действие; ^ - оператор Лапласа.
В простейшем случае в качестве фильтра нижних частот можно использовать передаточную функцию первого порядка
W1 (5) = «!/(5 + ), (4)
где - частота среза фильтра первого порядка.
С учетом (3), (4) получим систему дифференциальных уравнений 5 (г) + 5 (г) =
= ^«(0, л (г) = 5 (г) + и (г).
Обозначим 0(г) = 5 (г), О(г) = 5 (г), ф(г) = и (г) и перейдем к описанию объекта управления в пространстве состояний в матричной форме
X (г) = АСХ (г) + БСЫ (г), (5)
где Ac
0 1
0 -Mj
, Bc
, X --
Уравнение выходной переменной о(г) = -ю:0(г) + ю1м(г).
Осуществим переход от непрерывных уравнений системы (5) к дискретным. Примем допущение, что время измерения и вычисления пренебрежительно мало по сравнению с периодом дискретизации Т. Моменты измерений и переключений дис-
кретного управления иг совпадают по времени ? = г Т. Дискретные уравнения описания объекта в пространстве состояний представим в виде
X( i +1) = AX( i) + Bu( i), o( i) = - M!0( i) + Wj u (i), где Ä _ матрица переходов состояния, В _ матрица управления:
(6)
A = exp(AcT) = L *{(sI-Ac) 1}
1 (1 - exp (-w1T))/w1 0 exp (T)
B = J exp (Ac( T - T))dT Bc =
T -(1 - exp(-WjT))/й! 1 - exp(T)
(7)
Получили дискретное описание объекта второго порядка в пространстве состояний. Желаемый переходный процесс для передаточной функции системы второго порядка описывается соотношением у5о; _ 2 + _ 1 + о; = у3ф; _ 2 + у2ф; _ i + У1Ф;, где Yj _ неизвестные коэффициенты, j = 1, 2, ..., 5. Передаточная функция желаемой системы W(z) = о(г)/ф(г) = (Y3z2 + Y2z + Y1)/(Y5z2 + Y4z + 1), где z _ оператор опережения.
Если при известном входном значении ф(0 задаться требуемой формой переходного процесса o(i), то задача поиска желаемой передаточной функции сводится к поиску неизвестных коэффициентов Yj, доставляющим минимум функционалу J =
n
= X [(Ys0; _ 2 + Y-A _ 1 + _ ^3ф; _ 2 + У2Ф,- _ 1 + 7^1ф1-] ^ min, где m _ время переходного
i = 0
процесса, n _ определяет количество слагаемых функционала, n > m. После раскрытия скобок под знаком суммы окажется полином квадратичной формы J =
n
= X(Ys о2-2 + 2y5Y4°; _ iPi _ 1 + . + 2y1Y2°; _ 1°1 + Yi ф2). Вынесем постоянные коэф-
i = 0
фициенты за знак суммы
n n n n
J = Y2X°2-2 + 2YsY4X -2-1 + - + 2Y2Y1 X -1 + Y1X ф2.
i = 0
i = 0
i = 0
i = 0
Минимум функционала J находим из условия равенства нулю его частных производных по всем искомым коэффициентам. Каждую частную производную можно получить виде (Э/Эу^ = Y5cj5 + Y4Cj4 + Узс>з + Y2Cj2 + У1с>1 + с]о = 0, где с^ - константы. В результате получаем систему линейных уравнений, из которой находятся неизвестные коэффициенты Yj.
Пусть необходимая длительность переходного процесса т = 100. Тогда значения ф(г) и о(г),
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.