Автоматика и телемеханика, № 10, 2011
© 2011 г. Ж.В. ЗАЦЕПИЛОВА
(Московский госудаственный институт стали и сплавов), В.Н. ЧЕСТНОВ, д-р техн. наук (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ Н^-РЕГУЛЯТОРОВ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТИ ПО СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОМУ КРИТЕРИЮ
Для линейных многомерных объектов, подверженных действию ограниченных по мощности полигармонических возмущений и помех измерения, содержащих произвольное число гармоник с неизвестными амплитудами и частотами, предложен метод синтеза цифровых регуляторов состояния и регуляторов по измеряемому выходу. Задача обеспечения требуемой точности системы управления формулируется как задача обеспечения заданного среднеквадратичного радиуса установившегося состояния [1], решение которой опирается на выбор весовых матриц минимаксного квадратичного функционала дискретной задачи ^^-оптимизации. Приводится алгоритм синтеза цифрового регулятора в пакете LMI Control Toolbox и численный пример для взаимосвязанного электропривода.
1. Введение
При случайных возмущениях точность системы управления оценивается среднеквадратичным значением регулируемой переменной и при известных спектральных характеристиках внешних возмущений является предметом хорошо развитой стохастической теории управления (Ь(С(Д2)-оптимизации) [2, 3]. Однако в практических приложениях спектральные характеристики внешних возмущений, как правило, труднодоступны [4]. Поэтому актуальны задачи, когда синтез регуляторов осуществляется при наличии ограничений только на мощность внешнего возмущения при произвольной спектральной плотности мощности [5].
В настоящей работе в отличие от стандартной задачи рассматриваются не
стохастические, а детерминированные внешние возмущения и помехи, ограниченные по мощности, а именно полигармонические, содержащие произвольное число гармоник с неизвестными амплитудами и частотами. Точность оценивается по среднеквадратичным значениям регулируемых переменных и управляющих воздействий.
Решение поставленной задачи опирается на использование процедур субоптимального Д^-подхода путем выбора коэффициентов весовых матриц соответствующего минимаксного квадратичного функционала оптимизации и в этом смысле продолжает исследования, выполненные ранее в [1, 6] для непрерывного случая и в [7] для дискретного. При этом используются процедуры ^^-оптимизации, развитые (для единичных весовых матриц) для случая полного измерения состояния в [8, 9] и для регуляторов по измеряемому выходу в [8, 10].
2. Постановка задачи
Рассмотрим линейную стационарную систему, описываемую уравнениями
Г + 1) = Ax(fc) + Biw(fc) + В2и(Л), (2.1) i z(fc) = Cix(fc),
1 у(Л) = ЗДЛ) + ^(Л), Л = 0,1, 2 ...,
(22) J xc(fc + 1) = ^cxc(fc) + ВоУ(Л),
(,) \и(Л) = Ccxc(fc)+ ^сУ(Л), Л = 0,1, 2 ...,
где x^) G Rn - вектор состояния объекта (2.1), и(Л) G Rm - вектор управления, z^) G Rmi - вектор регулируемых переменных, у(Л) G Rm2 - вектор измеряемых переменных, w^) G RM - вектор внешних неизмеряемых возмущений, ^(Л) G Rm2 -вектор помех измерения, xc^) G Rnc - вектор состояния регулятора (2.2). Постоянные числовые матрицы A, Si, В2, C*i, ^2 известны, Ac, Sc, Cc, - неизвестные матрицы регулятора (2.2).
Пара матриц (A, S2) предполагается стабилизируемой, а пара (С2, A) - детектируемой, что гарантирует существование стабилизирующего регулятора вида (2.2). Компоненты вектора внешних возмущений и помех измерения - ограниченные
полигармонические функции
р
(2.3) Wi(k) = ^^Wis sm(ujskT + iftis), к = 0,1,2..., г = 1, /х, 1^р<оо.
8 = 1 i
(2.4) ??j(/c) = sin(wqkT + ipjq), к = 0,1,2..., j = 1, m2, 1 < / < 00,
9=1
здесь амплитуды Wj8, , начальные фазы ^¿8, , а также частоты w8, гармоник неизвестны (i = 1, ¡г, j = 1, m2, s = 1 ,р, q = 1,/). Число гармоник при этом также неизвестно 1 ^ р < то, 1 ^ I < то. Т - период дискретности цифрового регулятора (2.2).
Будем также полагать, что среднеквадратичные значения (мощности) каждой компоненты внешнего возмущения и помехи подчинены условиям
1 N 1 Р
(2.5) (шг) = Jin^ —-- ^шг(А-) = - г = 1,м, 1 < р < то,
fc=0 8=1 I N i 1 _
(2.6) ф = j— Y^ Vj2(k) = 2 E - vf, J = h rn2, 1 < / < TO,
^^ fc=0 9=1
где w* (i = 1,/tt), i]* (j = 1 , m2) - заданные положительные числа. Справедливость вторых равенств (2.5), (2.6) следует из [11].
Определим среднеквадратичные значения регулируемых переменных и управляющих воздействий соотношениями
1 N 1 N
(2.7) (zr)= lim ——- > 0, (гф= lim ——'yuß(k)>0.
v ' x 11 N^^ N + 1 ^ 3 N^^ N +1 ^ 3
fc=0 fc=0
Задача состоит в том, чтобы найти стабилизирующий регулятор (2.2) такой, что среднеквадратичные значения регулируемых и управляющих переменных системы (2.1), (2.2) при действии возмущений и помех измерения из класса (2.3), (2.5)
и (2.4), (2.6) соответственно удовлетворяли требованиям к точности
(2.8) (z?) 7 sf, i = l^Tu {ify s' uf, j =
где г* > 0 (г = 1, т.\) и и* > 0 (j = 1, т) - заданные числа.
Заметим, что требования (2.8) не всегда можно выполнить с помощью регулятора (2.2). Следуя [1], определим среднеквадратичный радиус установившегося состояния замкнутой системы (2.1), (2.2)
т1 , 2\ т , 2\
(2.9) =
¿=1 ^ 0=1 и0
Очевидно, что если (г^) ^ 1, то выполнены и условия (2.8). Поэтому естественно сформулировать следующую задачу [1].
Задача 1. Для заданного числа 7> 0 найти стабилизирующий регулятор (2.2) такой, чтобы при действии внешних возмущений и помех измерения из класса (2.3)-(2.6) выполнялось неравенство
(2.10) (г,2,) < 72-
Если такого регулятора не существует, тогда необходимо найти регулятор, обеспечивающий минимально возможное значение числа 7 = 7*, для которого выполнено требование (2.10).
3. Лемма о средних квадратах
Важную роль в получении результатов настоящей работы играет лемма о средних квадратах, которая формулируется ниже для дискретного случая. Пусть имеется асимптотически устойчивая дискретная система вида
(3.1) x(k +1) = Äx(k) + Bw(k), z (k) = Cx(k), k = 0,1, 2 ...
Обозначим через TZw(ejwT) частотную передаточную (/1 x /2)-матрицу системы (3.1), связывающую вектор выходных переменных z G Д'1 с вектором входных воздействий w G Д'2 из класса (2.3), (2.5), которая удовлетворяет частотному матричному неравенству
(3.2) TTw(e-juT)<?TW(ejuT) < Д, " G [0, n/T],
где <5 = diag [zi,..., Z'1 ] и Д = diag [z1,..., r;2] - некоторые положительно определенные диагональные матрицы соответствующих размеров.
Введем вектор w * = [w*,...,w' ], компоненты которого фигурируют в правых частях аналогов неравенств (2.5) для сигнала w.
Лемма 1. Пусть выполнено частотное неравенство (3.2), тогда средние квадраты выходных переменных устойчивой системы (3.1) при действии входного сигнала из класса (2.3), (2.5) принадлежат множеству, описываемому неравенством
(3.3) £®<*2)
~ -*2 ViW* ,
где (г = 1, ¿1) - компоненты вектора г.
Доказательство леммы приведено в Приложении. Непрерывный вариант данной леммы получен в [1].
4. Синтез регуляторов состояния
Подчеркнем, что при решении поставленной задачи центральную роль играют частотные матричные неравенства, которым удовлетворяют передаточные матрицы замкнутой субоптимальной системы, связывающие регулируемые переменные и управляющие воздействия с внешними возмущениями и помехами измерения.
Пусть вектор состояния объекта (2.1) доступен непосредственному измерению, а помехи отсутствуют (С2 = I, ^ = 0, где I - здесь и далее единичная матрица, размерность которой ясна из контекста).
Будем искать закон управления в виде [7, 9, 12]
(4.1) и(к) = Кх(к), К = -(Д + ВТРВ2)-1ВТРА,
где симметрическая неотрицательно определенная матрица Р = Рт ^ 0 удовлетворяет матричному уравнению Лурье - Риккати
(4.2) АтРА - Р - АтРВ2(Д + ВТРВ2)-1ВТРА + + РВ7 (I + вТРВ7 )-1ВТР = -стясь
где В7 = 7-1В1, а Я = Ят > 0, Д = Дт > 0, 7 > 0 - задаваемые проектировщиком весовые матрицы и число.
Отметим, что уравнение (4.2) отличается от приведенного в [9, 12] неединичными весовыми матрицами Я = I, Д = I.
Закон управления (4.1), (4.2) является оптимальным в смысле минимаксного квадратичного функционала [13]
(4.3) 3 = штшах^Г[ът(к)Яг(к) + ит(к)Ди(к) - 7^т(к^(к)]
иеь ^—'
к=0
и обеспечивает выполнение целевого неравенства
(4.4) < 7,
где ЦТ^Ц со _ дискретная передаточная матрица замкнутой системы, связывающая векторы ъ и Здесь ъ - расширенный вектор регулируемых переменных вида
(4.5)
Г Я1/2ъ 1 Г Я1/2С1Х 1
Д1/2и Д1/2и
Подчеркнем, что для выполнения (4.4) с регулятором состояния необходимо и достаточно [9, 12, 13], чтобы он формировался на основе (4.1), (4.2).
Целью настоящего раздела является выбор матриц Я и Д из условия, обеспечивающего решение поставленной задачи с регулятором состояния (4.1).
Для этого преобразуем целевое условие (4.4) с учетом вида вектора ъ и структуры передаточной матрицы, связывающей ъ с
(4.6)
Я1/2ъ Д1/2и
ТТ ж1
я1/2т2. Д1/2ти
Здесь Ти1 и - передаточные матрицы замкнутой системы (2.1), (4.1) (4.7) Ти1 = К(*! - Асг)-1ВЬ = С^1 - Асг)-1ВЬ Асг = А + В2К,
которые связывают вектор управляющих воздействии и и вектор регулируемых переменных z с вектором внешних возмущений
Эквивалентная запись неравенства (4.4) на языке частотных передаточных матриц имеет вид [7]
(4.8) Т£,(е-*шТ)Те„(е*шТ) < 72/, о; € [0, тг/Т]. Учитывая (4.6), от неравенства (4.8) придем к неравенству
(4.9) ^(е-^)дТ™(е^т) + ТТЛе-'1^)ДТ™(е^г) < 72/, ш е [0,^/Т].
Пусть весовые матрицы Q и Д, фигурирующие в (4.1)—(4.3), имеют диагональную структуру
<3 = ... ,<?т1], Яг>0, г = 1 ,ть
Д = diag[í'l,..., гт], г у >0, ] = 1, пг.
Для получения основного результата данного раздела работы, перепишем частотное неравенство (4.9) в эквивалентной форме
т " < 0 '
0Д
Тzw(еJшT)
<72/, ш е [0,^/т].
Легко видеть, что данное частотное неравенство аналогично неравенству (3.2), если в качестве выходных переменных системы (3.1) взять вектор г из (4.6), а в качестве входных - вектор " с компонентами (2.3).
Используя лемму 1 о средних квадратах в случае внешних возмущений из класса (2.3), (2.5) и принимая во внимание, что элементами диагональной матрицы < в (3.2) являются элементы матриц < и Д, а
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.