ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2008, № 6, с. 5-14
УПРАВЛЕНИЕ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ
УДК 517.938
СИНТЕЗ ВХОД/ВЫХОДНЫХ МАТРИЦ многосвязной ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПО ЗАДАННЫМ ПЕРЕДАТОЧНЫМ НУЛЯМ*
© 2008 г. А. 3. Асанов, Д. Н. Демьянов
Казань, Казанский государственный ун-т Поступила в редакцию 20.03.08 г.
Рассматривается проблема обеспечения заданной совокупности передаточных нулей линейной многосвязной динамической системы с равным числом входов и выходов на основе использования аппарата канонизации матриц. Предложены алгоритмы синтеза входной и выходной матриц модели динамической системы, обеспечивающих заданное расположение передаточных (системных) нулей системы.
Введение. При постановке и решении различных задач анализа и синтеза многосвязных динамических систем, при проектировании качественных систем управления широко используются такие понятия, как структура системы, структурные свойства системы. Под структурными свойствами принято понимать свойства, отражающие принципиальную возможность реализации в системе заданных статических и/или динамических режимов посредством определенных воздействий на ее входы, а также получения информации об этих режимах по результатам измерений выходных переменных [1, 2]. Информация о структурных свойствах динамической системы позволяет корректно ставить и решать связанные с этими свойствами задачи оценивания, идентификации, управления и адаптации. К структурным свойствам системы наряду с такими широко рассматриваемыми понятиями, как устойчивость, наблюдаемость, управляемость и др., относят и нули системы. Нули системы в совокупности с ее полюсами определяют качество свободных и вынужденных составляющих движения линейных динамических систем. При этом различают обычные нули и системные нули.
Обычные нули скалярных и матричных передаточных функций представляют собой корни скалярных полиномов, образующих числители передаточных функций/матриц, т.е. нули передаточных функций, которые характеризуют конк-ретные каналы между отдельными компонентами входного м(0 и выходного векторов. Так, в многосвязном случае если пару обычных нулей представить в ком-
а±в ¿/л М Р)
плексном виде р1 = а ±]р и /] (р) = ар- - элемент
матричной передаточной функции - передаточная
*
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ
(грант < 08-08-00536).
функция от г'-го входа к '-му выходу, то b¡j(pz) = 0. На частоте в происходит "замирание" (обнуление, блокирование) сигнала в канале от г'-го входа к '-му выходу. Причем такое "замирание" не зависит от амплитуды входного сигнала, а только от его частоты. Именно совокупность обычных нулей и полюсов системы определяет характер процессов в динамической системе, возникающих при подаче на ее входы тех или иных воздействий. Но обычные нули не влияют на принципиальные возможности решения тех или иных задач анализа и синтеза, т.е. они не отражают системные свойства рассматриваемого объекта.
Системные нули и связанные с ними процессы возникают только в многосвязных (много входов -много выходов, MIMO) системах и объектах, где происходят сложные взаимодействия различных начальных условий, внешних сигналов разных каналов управления. Необходимым и достаточным условием существования конечного системного нуля является то, что при некоторой комплексной
величине pz ранг системной матрицы Розенброка уменьшается.
В группу системных нулей входят несколько их типов: передаточные, развязанные (по входам, по выходам, по входам и выходам), вырожденные. Именно они формируют и характеризуют структурные свойства динамической системы. Развязанные нули системы (объекта) обусловлены наличием в ней неуправляемых, ненаблюдаемых, одновременно неуправляемых и ненаблюдаемых подсистем. Очевидно, что такие нули возможны и интересны в задачах анализа, но совершенно маловероятны в задачах синтеза систем, поэтому далее здесь не рассматриваются.
Передаточным нулем системы принято назы-
z
вать комплексное число p¡, при котором умень-
шается ранг передаточной матрицы ^ (р) этой системы. Уменьшение ранга указывает на возникновение линейной зависимости столбцов (и/или строк) передаточной матрицы ^ (р) на частоте
Рр = 1тр\. Линейная зависимость столбцов передаточной матрицы означает, что при определенном сочетании ненулевых входных воздействий (может быть даже нескольких входных воздействий),
пропорциональных ехр( р\ ?), вынужденная составляющая выходного сигнала системы равна нулю, т.е. сигнал на выходе системы отсутствует (происходит запирание системы). При линейной зависимости строк передаточной матрицы в системе на частоте вр возникают линейно зависимые выходы, что может привести при определенном стечении обстоятельств к обнулению ряда компонент выходного сигнала. Поэтому при неучете этих особенностей многосвязных систем могут возникнуть ситуации, когда система не может выполнять свои функции.
Как известно, нули системы инвариантны относительно невырожденного преобразования переменных состояния, входов и выходов, действия статической обратной связи по состоянию и выходу. Даже введение динамической обратной связи приводит лишь к добавлению новых нулей к уже имеющимся. Изменить положение системных нулей можно только соответствующим выбором матрицы выхода и/или входа. Впервые возможность управления нулями путем выбора матрицы выхода сформулирована и обоснована в [3].
Трудности в решении различных задач управления, идентификации, адаптации для динамических объектов с нежелательными нулями можно избежать, если на начальной стадии проектирования, когда существует некоторая свобода в выборе структуры выхода, задать нули синтезируемой системы желаемым образом. Необходима целенаправленная коррекция нулей системы, в то время как управление по состоянию, например обеспечивая определенное распределение полюсов системы (обычно с целью достижения устойчивости и качества переходных процессов), может одновременно привести к добавлению к существующим неуправляемым нулям еще и неконтролируемых передаточных нулей за счет регулятора многосвязной системы. Целесообразно при решении задач синтеза как минимум исследовать нули многосвязной динамической системы (объекта), а как максимум - расположить нули системы требуемым образом.
Был предложен ряд способов формирования матрицы выхода, опирающихся как на итеративные процедуры, так и вычисления собственных чисел специальных матриц и канонических форм [3, 4]. Но все они имеют весьма сложный и трудо-
емкий характер, практически допускают лишь численную реализацию с помощью часто плохо обусловленных алгоритмов. В работе для анализа передаточных нулей системы предлагается новый аналитический способ расчета, а для решения задач синтеза - алгоритмы формирования желаемого набора передаточных нулей системы на основе применения математического аппарата канонизации матриц [5]. Показывается, что на основе свойств матриц с дефектом ранга возможно построение дополнительных матричных конструкций, позволяющих синтезировать входную или выходную матрицы системы, обеспечивающие заданное расположение передаточных нулей. Предложенный метод может быть использован при решении задач синтеза многосвязных линейных стационарных систем управления.
1. Постановка задачи и основные положения метода канонизации матриц. Пусть рассматривается система, описываемая в пространстве состояний уравнениями
rx( t) = Ax( t) + Bu( t), у (t) = Cx( t), x (to) = Xo,
(1.1)
где х е Я", и е и у е Ят - векторы состояния, управления и выхода, А, В, С - матрицы коэффициентов соответствующих размеров, х0 - начальное условие.
Предположим, что число входов и выходов совпадает, т.е. т = 5 и динамическую систему можно назвать квадратной. При этом полагаем, что число входов (выходов) меньше числа переменных состояния, т.е. 5 < п. По определению для конечного
нуля р\ необходимым и достаточным условием существования является выполнение для матрицы Розенброка неравенства
Vprank
(pUn - A) -B C 0
<
< norm rank
pin - A -B
C 0
= n + min rank(B, C).
В случае управляемых и наблюдаемых систем (именно о синтезе таких систем идет речь) эти необходимые и достаточные условия эквивалентны условию
rankFu(pZi) < rankF"(p),
(1.2)
где ^и (р) = С(р1" - А)1В - матричная передаточная функция системы.
Задача 1. Пусть матрицы А и В известны и матрица Вп х 5 - полного столбцового ранга. Требуется построить матрицу Ст х п полного ранга, та-
кую, чтобы ц = п - 5 различных наперед заданных
г
чисел р{ являлись нулями заданной системы.
Задача 2. Пусть матрицы А и С известны и матрица Ст х п - полного строчного ранга. Требуется построить матрицу Вп х 5 полного ранга, такую, чтобы ц = п - 5 различных наперед заданных чисел
г
р{ являлись нулями заданной системы.
Числа рг могут быть действительные или комплексные, но ни одно из этих чисел не должно совпадать с собственными числами матрицы А - только в этом случае выполняется условие наблюдаемости и управляемости [3].
При решении поставленных задач используется метод канонизации матриц. В [5] введено, что канонизацией некоторой произвольной матрицы М размера т х п и ранга г называется ее разложение
на четверку матриц М,т, М[т _ г), т, ММЩ, г, Мп, (п _ г), удовлетворяющих равенству
M r
ML
(m - r), m
M
илR rnR
Mn, r M„,(„ - r)
0
r, (n - r) _°(m - r), r 0(m - r), (n - r)_
где ММг, т - левый канонизатор матрицы М, М(т _ г), т - левый матричный делитель нуля матрицы М, М^ г - правый канонизатор матрицы М,
Мп, (п _ г) - правый матричный делитель нуля матрицы М, 1г - единичная матрица размера г х г.
Левый МЬ (правый МЯ) делитель нуля максимального ранга характеризует все линейно зависимые комбинации строк (столбцов) исходной матрицы М в соответствии с тождеством
ММ = 0(т _ г), п (ММЯ = 0т, (п _ г)). (1.3)
При этом все множество делителей нуля произвольных размеров для матрицы М определяется формулами
{ML = ^ML, {MR }n = MRn,
(1.4)
где ц и п - произвольные матрицы подходящих размеров.
Левый ММL и правый МК канонизаторы ранга характеризуют все линейно независимые комбинации строк и столбцов исходной матрицы М в соответствии с тождеством
ММL
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.