РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 7, с. 817-823
СТАТИСТИЧЕСКАЯ РАДИОФИЗИКА
УДК 621.397
СИНТЕЗ ВТОРИЧНОГО КАНАЛА СВЯЗИ АНАЛОГОВОЙ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ
© 2004 г. А. X. Султанов, И. В. Кузнецов, И. И. Городецкий
Поступила в редакцию 07.05.2002 г.
Рассмотрено повышение пропускной способности существующих аналоговых телекоммуникационных систем путем аддитивного наложения сигнала передачи дополнительных сообщений на сигнал передачи основного канала. На основе решения обратной задачи оптимальной фильтрации Винера разработана методика синтеза вторичного канала связи, которая также может быть применена в цифровых системах передачи.
введение
Одним из способов увеличения пропускной способности аналоговых радио- и телевещательных телекоммуникационных систем (ТС) может быть образование вторичного канала связи при аддитивном наложении сигнала передачи дополнительных сообщений на первичный сигнал передачи основного канала [1]. Особенностью предлагаемой многоканальной ТС является пересечение эффективных спектральных характеристик сигналов основного и дополнительного каналов передачи, что обеспечит более полное уплотнение каналов.
Основная трудность синтеза вторичного канала связи заключается в обеспечении минимума межканальных помех, а также линейной независимости сигналов основного и вторичного каналов для их разделения на приемной стороне.
В данной работе предлагается метод синтеза вторичного канала связи, преодолевающий указанную трудность и состоящий из двух этапов. На первом этапе определяются характеристики вторичного канала связи на основе решения обратной задачи оптимальной фильтрации Винера, позволяющие уменьшить межканальные помехи. На втором этапе решается задача оптимальной фильтрации для выделения сигнала вторичного канала.
1. постановка задачи синтеза вторичного канала связи
Рассмотрим линейную стационарную ТС с широкополосным каналом передачи и устройством воспроизведения (содержащим органы чувств человека) передаваемого сигнала в установившемся режиме.
В силу широкополосности канала передачи его модель представим в виде единичной передаточной функции. Канал воспроизведения можно описать известной передаточной функцией Щя) (я - комплексная переменная Лапласа) с ограниченной частотой пропускания, при этом Ж(я) Ф 1. Полагаем, что на вход канала передачи поступает групповой сигнал z(t), являющийся суммой центрированных случайных стационарных неортогональных (по Гильберту) сигналов основного х(£) и вторичного ¿(0 каналов связи (рис. 1):
z(0 = х(г) + й(г).
(1)
Будем считать, что функции х(£) и ¿(0 могут принимать любые допустимые значения на временном интервале £ е [0, Т] и быть равными нулю вне этого интервала. Из сказанного вытекает [2, 3], что функции х(г) и й(г) имеют преобразования Лапласа, которые обозначим соответственно Х(я) и О(я). Допустим также, что для сигнала основного
ё(г)
Рис. 1. Модель телекоммуникационной системы формирования вторичного канала связи.
канала известна его спектральная плотность мощности (СПМ) Ф„(я):
е2(1) на выходе виртуального элемента сравнения вторичного канала (см. рис. 1), т.е.
Фхх( 5) = Нш^М [ X () Х( 5)],
т —
(2)
ВД = W(s)[X(s) + ОД] - Х(5).
(3)
При этом величина дисперсии сигнала ошибки первого канала, определяемая по формуле [2]
В
1 г
'1 = Ы 1 фе1( 5 ) ^
Ш1П,
(4)
должна быть минимальной. Здесь Ф^ (5) - СПМ ошибки основного канала, при этом
1
Фе1( 5 ) = НШ-М [ Ех( -5 ) Е, ( 5 )].
т — жт
(5)
В2 = Ш 1 ^(^) ^
Ш1П.
(6)
где М[-] - знак математического ожидания. Из условия неортогональности сигналов х(0 и С(0 вытекает взаимное пересечение спектров этих сигналов, следовательно, в результате сложения (1) произойдет их взаимное искажение, т.е. синтезируемая ТС будет иметь межканальные помехи.
В дальнейшем задачу синтеза вторичного канала связи разобьем на две подзадачи. Первой подзадачей синтеза вторичного канала связи является определение характеристик сигнала этого канала, при котором его влияние на основной канал было бы минимальным. На приемной стороне ТС необходимо решить вторую подзадачу, связанную с выделением сигнала вторичного канала связи.
С математической точки зрения первый этап синтеза представляет собой оптимизационную задачу, заключающуюся в определении СПМ сигнала вторичного канала связи, при которой обеспечивается минимум дисперсии сигнала ошибки е1(?) на выходе виртуального элемента сравнения основного канала (см. рис. 1). Обозначим через Е1(^) изображение по Лапласу сигнала ошибки е1(г):
Здесь Ф^ (5) - СПМ сигнала е2(0, определяемая по формуле
Фе2( 5 ) = Нш 1М [ Е2( -5 ) Е2 ( 5 )],
2 т —
(7)
где Е2(з) - изображение по Лапласу сигнала ошибки е2(0, которое согласно рис. 1 вычисляется по формуле
Е2(5) = ^)[Х(я) + ОД] - ОД.
(8)
Вторую подзадачу также будем рассматривать в качестве оптимизационной, заключающейся в определении неизвестной передаточной функции приемника, наилучшим образом выделяющего сигнал вторичного канала связи из суммы 1(?). В качестве критерия здесь также можно рассматривать минимум дисперсии Бе сигнала ошибки
Таким образом, задача синтеза вторичного канала связи должна состоять из двух подзадач, в первой из которых необходимо определить СПМ Фсс(5) сигнала удовлетворяющего минимуму функционала (4) (эту задачу можно рассматривать как обратную задачу Винера); во второй -передаточную функцию Ё^) фильтра выделения вторичного канала связи, удовлетворяющего ограничению (6) (эта задача относится к прямой задаче Винера [2, 3]).
2. синтез характеристик вторичного канала связи
Покажем, что для рассматриваемой подзадачи синтеза функция СПМ вторичного канала связи Фсс(5) * 0.
Решение первой подзадачи будет сведено к определению передаточной функции И($) формирующего фильтра (см. рис. 1), обеспечивающей взаимосвязь сигналов х(0 основного и С(0 вторичного каналов системы:
ОД = ОДХ(5).
Искомая СПМ вторичного канала связи Фсс(я) в дальнейшем может быть получена на основе теоремы Винера-Хинчина.
Подставим (3) в (5), а затем полученное выражение для Ф^ (5) - в (4). При этом с учетом (2) получим
¡ж
Ве1 = Ш 1 [ W(5)( 1+ Н(5)) -1 ]Х
+ ¡ ж
¡
+ ¡ ж
¡ж
- ж
х [ W(-я)(1 + Н(-я)) - 1 ] Нш -И[X(-я)X(я)]ds =
т
1 - (9)
= | [W(s)( 1+ Н(я))-1 ]х
х [W(-я)(1+ Н(-я)) -1 ]Ф„(я)ds.
Подынтегральное выражение (9), численно равное Фе (я), является четной функцией, следовательно, оно удовлетворяет условию стационарности [2] к бесконечно малым вариациям функций Н(я) и Н(-я). Так как нас интересуют только устойчивые передаточные функции формирующего фильтра, то продифференцируем выражение для Ф^ (я) по Н(-я). Преобразуем подобные члены относительно Н(я), при этом получим следующее уравнение:
= W( я >W( - )Ф»<'»Н (я > + (10) + W(-s)(W (я) -1 )Ф„( я) = -I),
где ^(-я) - некоторая неизвестная функция, нули и полюсы которой находятся в правой полуплоскости комплексной плоскости. Следовательно, решение первой подзадачи синтеза сводится к решению уравнения (10) относительно передаточной функции Н(я) формирующего фильтра. Выражение (10) можно рассматривать в качестве модификации известного [2, 3] уравнения Винера-Хопфа в комплексной области.
Рассмотрим решение уравнения (10). Так как функция ФХ1(я) четная, то она может быть представлена в виде произведения двух функций, одна
из которых Ф+х (я) имеет все полюсы и нули в левой полуплоскости, а другая Фхх (-я) - в правой, т.е.
W (я )Ф+х( я) Н (я) + (W (я) - 1 ))Ф+х( я) =
= 5(-!)
W (-я )Ф-х( -я).
(11)
А(и)
Р(и)
ё(г)
ОД
л(г)
г(0
од
т
Рис. 2. Устройство преобразования сигнала вторичного канала связи.
Н( я) = -
1
(12)
Из выражения (12) и исходного условия ЭДСу) Ф 1 вытекает, что Н(я) Ф 0. Отметим, что передаточная функция формирующего фильтра определяется свойствами каналов связи и воспроизведения и не зависит от спектральных характеристик сигнала основного канала.
Искомую СПМ вычислим по формуле Вине-ра-Хинчина [2, 3]:
Фdd( я ) = Н (я) Н (-я )Ф хх( я ) =
= W ( я ) - 1 W( -я ) - 1 " W( я) W( -я)
Ф хх( я ).
Фхх( ! ) = Ф+х( ! )Ф-х(-! ). Разделим правую и левую части уравнения (10) на W(-s) Ф-х (-я). При этом получим
Так как Н(я) Ф 0, следовательно, Ф^(я) Ф 0, что и требовалось доказать.
В общем случае канальные сигналы основного и вторичного каналов являются стохастически независимыми. Следовательно, для обеспечения условия (4) задачи первичный сигнал вторичного канала связи а(г) должен быть преобразован (рис. 2).
Очевидно, что в результате такого преобразования СПМ Фdd (я) сигнала d (г) на выходе устройства преобразования (см. рис. 2) должна удовлетворять условию
Ф dd( я ) = Фdd( я),
(13)
Оба члена левой части уравнения (11) имеют все полюсы в левой полуплоскости, а выражение в правой части - все полюсы в правой полуплоскости. Следовательно, для решения уравнения (11) можно применить теоремы Морера и Лиувилля [4]. Тогда искомая передаточная функции формирующего фильтра будет равна
т.е. СПМ Ф^(я) можно рассматривать в качестве желаемой СПМ преобразуемого сигнала а(г). Если допустить, что СПМ исходного сигнала вторичного канала Фаа(я) и СПМ требуемого сигнала вторичного канала Ф^(я) являются дробно-рациональными функциями, совпадающими с точностью до отдельных коэффициентов числителя и знаменателя, то устройством преобразования может служить фильтр с передаточной функцией Р(я) (рис. 2). Приведем методику определения передаточной функции Р(я). В соответствии с теоремой Винера-Хинчина имеем
Фdd( я ) = Р ( я ) Р( -я )Фаа( я ) = Фdd( * ).
Согласно формуле (13) и условию четности Фаа(5) получим
Р ( 5 ) Р( -5 )Ф+аа( 5 )ф-аа(-5 ) =
= Н( 5 ) Н(-5 )Ф+х( 5 )Ф-х(-5 ), откуда искомая передаточная функция Р(я) равна
Фх+х( 5 )
P (s) = H( s) -
ф;я( s)
(14)
3. синтез передаточной функции фильтра выделения сигнала вторичного канала связи
Покажем, что для рассматриваемой задачи передаточная функция фильтра выделения приемника вторичного сигнала * 0.
Уравнение Винера-Хопфа получим согласно [2] после подстановки (8) в (7) и последующего дифференцирования по ^(-я):
Ф^^) - Ф^) = S(-s),
(15)
где ^(-5) - так же как и в (10), не
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.