ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2014, № 6, с. 153-167
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖУЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
УДК 629.7.05
СИНТЕЗ ЗАКОНОВ КОВАРИАЦИОННОГО УПРАВЛЕНИЯ КОСМИЧЕСКИМ АППАРАТОМ*
© 2014 г. Н. Е. Зубов, М. Ш. Мисриханов, В. Н. Рябченко
Москва, МГТУим. Н.Э. Баумана, г. Королев МО, ОАО РКК "Энергия" Поступила в редакцию 23.04.14 г., после доработки 27.05.14 г.
Для линейной стационарной многомерной математической модели движения космического аппарата разработан метод, обеспечивающий синтез высокоточной обратной связи для системы управления космическим аппаратом. В основу метода положена установленная в работе взаимосвязь модального, оптимизационного и ковариационного подходов к синтезу обратной связи в целях обеспечения заданных требований к качеству управления космическим аппаратом. Приведен пример применения предложенного подхода к решению задачи орбитальной стабилизации космического аппарата и результаты моделирования.
DOI: 10.7868/S0002338814060134
0. Введение. В последнее время наблюдается все возрастающий интерес к использованию так называемых интеллектуальных методов управления, к которым относятся биотические методы (нейронные сети, генетические алгоритмы, роевые методы и др.) в сочетании с методами нечеткой логики. По существу, они основываются на изучении (в заданном порядке) реакций системы типа "вход—выход" [1]. Уже сейчас ясно, что мало что существенно улучшится путем применения этих методов в тех случаях, когда синтез высокопроизводительного управления опирается на развитую математическую модель. Вместо этого их роль (в основном) почти наверняка будет лежать в сфере деятельности, где встречающиеся процессы плохо определены: сложные, нелинейные, изменяющиеся во времени и стохастические. С другой стороны, в обширной практике решения задач управления движением космическими аппаратами (КА) зачастую используются математические модели в виде линейных стационарных многомерных динамических систем с многими входами и многими выходами (Multi Input Multi Output Systems — MIMO-систем). К ним можно отнести управление движением центра масс при сближении КА в орбитальной системе координат [2], стабилизацию ориентации КА в различных режимах полета [3, 4] и др. Во всех этих случаях модели движения КА представляются уравнениями вида
ax (t) = Ax( t) + Bu( t), (0.1)
где x e R" — вектор состояния; u e Rr — вектор входа (управления); a — символ, используемый при ax(t) = X (t), t e R — для представления непрерывной, а при ax(t) = x(t + 1), t e Z — дискретной системы; R — множество действительных чисел; Z — множество целых чисел; A, B — постоянные матрицы, определяющие динамические свойства КА; п, r — соответственно размерности векторов состояния и управления КА, п > r.
Одним из рациональных способов решения задач управления является оптимизация в виде минимизируемого функционала, который для задач стабилизации, рассматриваемых в данной работе, представляет собой квадратичный функционал качества Летова—Калмана. При этом оптимальное управление находится путем решения нелинейного матричного уравнения Лурье— Риккати [5].
Известно, что квадратическая оптимизация сталкивается с множеством проблем [6], одна из которых — недостаточная робастность оптимального управления, связанная, прежде всего, с невозможностью определения связи между параметрами функционала и размещением полюсов (локализацией спектра) оптимальной системы.
С другой стороны, известно, что синтез обратной связи с помощью модальных методов осуществить гораздо проще, чем определить, например, оптимальное управление путем решения
* Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-11-00046).
нелинейных матричных уравнений Риккати или Лурье— Риккати. Тем не менее полученное управление, как правило, не будет оптимальным [6]. В этом отношении своеобразным мостом между оптимальными и модальными методами выступает ковариационная теория управления [1].
Следует заметить, что на практике наибольшее распространение получило ковариационное управление стохастическими системами, однако, как показано в [1], оно применимо и для детерминированных систем. В последнем случае под ковариационной матрицей состояния понимается решение соответствующего уравнения Ляпунова. В [1] были предприняты шаги с целью "объединения" детерминированного и стохастического подхода к синтезу систем. Было показано, что осуществление детерминированной обработки реакции системы (на ненулевые начальные условия и импульсные воздействия) с целью анализа (и синтез) детерминированных процессов математически эквивалентно ковариационному анализу (и синтезу) случайных процессов. Таким образом, появляется детерминированная интерпретация ковариационной матрицы.
Ковариация характеризует многие свойства систем. Так, в [1] отмечено, что свойство асимптотической устойчивости полностью управляемой замкнутой системы эквивалентно существованию положительно-определенной матрицы ковариации состояния1. Этот факт вызывает постановку следующей задачи ковариационного управления. Пусть задана ковариация состояния системы X, удовлетворяющая определенным характеристикам замкнутого контура. Требуется найти все регуляторы, которые обеспечивают заданную ковариацию состояния. Такие регуляторы, следуя [1], будем называть ковариационными регуляторами (регуляторами ковариации).
Положительно-определенная матрица X может быть выбрана в качестве матрицы ковариации состояния системы (0.1), если она удовлетворяет соответствующим уравнениям Ляпунова
(A + BK)X + X (A + BK)T + BBT = 0 при ax(t) = x(t), (0.2)
X = (A + BK) X (A + BK)T + BBT = 0 при a x (t) = X (t + 1) (0.3)
для некоторой постоянной матрицы регулятора K е [r х n.
Решение задачи ковариационного управления состоит из двух частей: 1) определение необходимых и достаточных условий для положительно-определенной матрицы ковариации;
2) нахождение явной формулы для всех регуляторов, которые обеспечивают заданную кова-риацию состояния для замкнутой системы.
В данной работе устанавливается связь модального, оптимального и ковариационного подходов к синтезу обратной связи, осуществлен синтез закона управления орбитальной стабилизации КА, обеспечивающего заданную ковариацию состояния.
1. Задача назначения собственных значений. Как уже отмечалось в [7, 8], задача назначения собственных значений (eigenvalue assignment) в линейных динамических системах в той или иной постановке рассматривалась в многочисленных работах.
Пусть задана линейная многомерная динамическая MIMO-система (0.1). Считается, что для MIMO-системы (0.1) найдено управление с обратной связью
u( t) = -Kx( t), (1.1)
где K е [r x n — постоянная матрица регулятора по состоянию.
Кроме того, предполагается, что матрица B е [n хr в (0.1) имеет полный ранг по столбцам, а матрица A е [n х n — множество собственных значений (спектр), определенное как
eig (A) = (Xt е С: det(X In - A) = 0}.
Здесь In — единичная матрица размера n х n; С — множество комплексных чисел, которое обязательно включает такие X,- е С, что Re(X() > 0 для случая ax(t) = x (t) и |X(-| > 1 для случая ax(t) = x(t + 1). Здесь |X,-| — модуль собственного значения X;.
Пусть Cstab в зависимости от типа ax(t) обозначает левую полуплоскость С- плоскости С, т.е. Cstab = С-, либо область внутри круга единичного радиуса с центром в начале С, т.е. СйаЬ = < 1.
Управление системой (0.1) с помощью законов (1.1) является классической задачей, когда необходимо найти такую матрицу K, что обеспечиваются некоторые заданные требования к про-
1 Следует отметить, что не все положительно-определенные матрицы могут быть использованы в качестве ковариации состояния.
цессу управления. Эти требования условно можно разделить на три группы [8]: а) требования на размещение полюсов замкнутой системы (собственных значений матриц A — BK) в заданных точках СйаЬ или в заданной области СйаЬ (заданной областью, например, может быть вся левая полуплоскость С); б) требования на размещение полюсов и нулей (тех или иных нулей передаточной матрицы М1МО-системы замкнутой системы в заданных точках СйаЬ или заданных областях С1аЬ); в) требования к переходным процессам в замкнутой системе в смысле минимума заданного функционала.
В [8] предложен эффективный метод решения задачи полного размещения полюсов М1МО-системы (0.1). Метод не требует решения специальных матричных уравнений (типа уравнения Сильвестра), имеет один и тот же вид для непрерывного и дискретного случаев задания модели системы, у него нет ограничений по алгебраической и геометрической кратности задаваемых полюсов, легко реализуется в среде МаНаЪ.
Пусть B1T = пи11(Вт) — ортогональный делитель нуля, т.е. матрица, удовлетворяющая следующим условиям [8—13]:
ВВ = 0(в - г)х „ (1.2)
ВВ Т = 1„ -,; (1.3)
B+ — псевдообратная матрица Мура—Пенроуза, т.е.
ВВ+В = В, ВВВ+ = В+, (ВВ )Т = В+В, (ВВ+)Т = ВВ+.
Здесь пиИ(-) — оператор вычисления базиса нуль-пространства [11]; 0(п _ г) х г — нулевая матрица размера (п — г) х г.
Эквивалентно (1.2), (1.3) можно утверждать следующее. Пусть дано сингулярное разложение (это разложение произвольной матрицы в произведение трех сомножителей, где первый — ортогональная матрица порядка п х п, второй — диагональная матрица п х г, третий — ортогональная матрица порядка г х г) матрицы B для системы (0.1):
В = иЕУТ = (и* | и±)
( _
УТ, (1.4)
Е
V 0 )
при этом справедливы соотношения
В1 = и(, В+ = УЕ11 и*. (1.5)
Здесь Ц — матрица размера п х (п — г), транспонирование которой дает левый полуортогональный делитель нуля матрицы В, а Ц — матрица размера п х г, согласно крайней правой формулы
в (1.5) участвующая в вычислении псевдообратной матрицы Мура—Пенроуза.
Различие в обозначениях Ц и В1, отличающихся местом расположения индекса, подчеркивает тот факт, что В1 является левым делителем нуля именно матрицы В, в то время как матрица и1 — один из блоков матрицы и в сингулярном разложении матрицы В (1.4). В общем случае левый делитель нуля матрицы В не совпадает с матрицей и( и может быть записан в параметризованном виде В1 = © и!, где © — произвольная квадратная
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.