КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА
У л ,, :
СИСТЕМЫ ОБРАЗУЮЩИХ ИДЕАЛОВ АЛГЕБРЫ СХОДЯЩИХСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ РЯДОВ *
© 2014 г. О.В. Капцов
Институт вычислительного моделирования СО РАН 660036 Красноярск, Академгородок, д. 50 E-mail: kaptsov@icm.krasn.ru Поступила в редакцию 24.09.2013
В работе рассматривается дифференциальная алгебра сходящихся степенных рядов, зависящих от произвольного конечного числа переменных. Определяется понятие пассивного семейства образующих дифференциального идеала этой алгебры. Оно является дальнейшим развитием понятия базиса Гребнера. Доказана теорема, позволяющая проверять пассивность семейства образующих и гарантирующая существование и единственность точечного решения бесконечной системы уравнений в данной алгебре.
1. ВВЕДЕНИЕ
Компьютерная алгебра глубоко проникла в теорию групп, алгебраическую геометрию, коммутативную алгебру и другие дисциплины [1, 2, 3]. Ее применение к уравнениям с частными производными представляет интерес с теоретической и практической точек зрения. Это связано с разработкой алгоритмов и их обоснованием. Большой интерес для приложений представляет задача исследования переопределенных систем уравнений [4, 5]. С этой задачей приходится иметь дело при нахождении симметрий, законов сохранения, инвариантов характеристик [6, 7, 8]. В работах [9, 10, 11] большое внимание уделяется алгоритмам и символьным вычислениям в теории переопределенных систем уравнений.
Методы исследования переопределенных систем уравнений с частными производными имеют богатую историю. Наиболее продвинута теория систем уравнений первого порядка на одну неизвестную функцию [12]. В начале прошлого века в работах [13, 14, 15] был заложен фундамент локальной теории уравнений с частными производными произвольного поряд-
* Частичная поддержка РФФИ, гранты № 12-01-00648-а,10-01-00435-а и гранта по поддержке ведущих научных школ (НШ 544.2012.1).
ка с любым числом неизвестных функций. Через полвека произошла смена математического языка, используемого в этой теории, что заметно усложнило изложение классических результатов [4, 16]. Следует отметить, что все основные результаты данной теории носят локальный характер. Поэтому представляется естественным сначала аккуратно развить локальный подход, подобно тому как это делается в алгебраической геометрии и многомерном комплексном анализе [17, 18].
Работа имеет следующую структуру. Во втором параграфе вводится дифференциальная алгебра Т(а) сходящихся степенных рядов. Степенной ряд из Т(а) может зависеть от произвольного, но конечного числа переменных и3а, где г = 1,... ,и, ] = 1,...,ш, а е МП N - множество целых неотрицательных чисел. Определяется понятие нормализованного подмножества В алгебры Т(а) и доказывается утверждение об однозначности остатка при делении произвольного ряда / е Т(а) на множество В. Это позволяет алгоритмически решать вопрос о принадлежности данного ряда к идеалу, порожденному нормализованной системой образующих. В третьем параграфе определяется разбиение множества, согласованное с действием полугруппы на этом множестве. На множестве и - всех неза-
висимых переменных и на алгебре Т(а), с помощью операторов полного дифференцирования Вг,..., Вп, действует полугруппа Мп. Доказано, что каждое разбиение множества и, согласованное с действием полугруппы Мп, порождает разбиение объединения алгебр Т(а) тоже согласованное с действием полугруппы Мп. В заключительном параграфе вводятся точечные решения бесконечной системы уравнений и пассивные семейства образующих дифференциального идеала алгебры Т(а). Основным результатом работы является теорема существования и единственности точечного решения системы уравнений
Ва/ = 0, г = 1 а е Мп,
(Ва = В^1 ■■■ В^"), доказанная при выполнении некоторых дополнительных условий типа согласования, конечного числа условий совместности и задания соответствующих "начальных данных". Также показано, что множество 5 = {/г,...,/к} - пассивное семейство образующих дифференциального идеала. Множество 5 выступает аналогом базиса Гребнера в теории многочленов [3]. Данная теорема подобна теореме Рикье [19, 20] о существовании формального решения системы уравнений с частными производными. В отличие от классического случая, мы
и
ло вполне упорядочено. Кроме того, само доказательство принципиально отличается от стандартного.
2. АЛГЕБРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ РЯДОВ
Пусть К - поле нулевой характеристики, полное относительно некоторого нормирования. Множество целых неотрицательных чисел обозначается М, а конечное множество {1,... ,к} -Тогда Мп - коммутативная полугруппа с образующими
вг = (1,0,..., 0),... ,вп = (0,..., 0,1).
Введем множество , состоящее из бесконечных семейств {а^ОуМп элементов поля К. Если определить сумму семейств и произведение на элементы поля по формулам
К} + Ш = {ага + Ьга},
сЮ = {ca%a },
то становится линейным пространством над K. Если с = {сга} G то элементы сга G K будут называться координатами точки с.
Декартово произведение х обозначим Кроме того нам понадобятся конечномерные координатные подпространства в определяемые следующим образом. Рассмотрим конечные множества M С Nm, S С Nn и такие семейства {ага} G все члены которых, кроме конечного числа членов (с индексами i G M, a G S), равны нулю. Множество таких семейств образует конечномерное координатное подпространство QM в Тогд a T = K х QM -координатное подпространство в Обозначим через пт проектор из на координатное подпространство T.
Пусть a G и F(пт(a)) обозначает
K-алгебру ростков аналитических функций в точке пт (a), т.е. алгебру сходящихся степенных рядов, центрированных относительно этой точки. Тогда объединение
F (a) = U F(nT (a))
(1)
tежп+°
тоже является К-алгеброй. Напомним, что степенной ряд от переменных гг,..., центрированный относительно точки (Ьг,... ) е К1, задается формулой
ai
£ Са(гг - ЬгГ ■ ■ ■ (г - Ь1)
где Са е К а = (аг,... ,аг).
Множество переменных, от которых могут зависеть ряды из Т(а), разбивается на два подмножества
X = {хг,...,Хп}, (2)
и = {иа : г = 1,... ,т; а е Мп}. (3)
Для каждого г е Мп и для люб ого / е Т (а) определен оператор
/
дх■
Dif = ^ + ^ dj ^ '
dfu
(4)
jeNm,aeNn
Легко видеть, что оператор (4) является дифференцированием алгебры Т(а), т.е. Т(а) - дифференциальная алгебра над полем К. Элементы алгебры Т(а) будут называться сходящимися дифференциальными рядами.
Определение. Множество B С F (а) называется нормализованным, если выполнены условия:
1) любой f G B имеет вид
f = <+g, (5)
при этом переменные пга образуют подмножество L в U, a g зависит только от переменных из множества P = (X U U) \ L;
2) если fi = < + gi, f2 = ua + g2 G B, ТО gi = g2• Элементы из L и P называются главным,и и
параметрическими переменными множества B. Предложение 1. Пусть B - нормализованное подмножество в F(a) u P - соответствующее множество параметрических переменных. Тогда, для каждого f G F (a), зависящего от p главных переменных, существует единственный ряд r G F (a), который может зависеть только от, параметрических переменных, и, ряды, f i,..., fp G B 9i,..., qp G F (a) m,a,кие, что
p
f = E f+r. (6)
i=i
Доказательство. Пусть yi,..., yp - главные nef
fj = y» + gi G B i = 1,... ,p- Обозначим через yi,...,yn все переменные, от которых зависят ряды f, fi,..., fp. Используя подготовительную теорему Вейерштрасса [21], делим f на fi и получаем
f = Qifi + ri(y2,...,yn),
где qi G F (a). Последовательно выполняя деле-f2, . . . , fp
r
менных.
Докажем единственность остатка. Предположим, что существует другое представление вида (6)
p
f = S +f.
i=i
Из последней формулы и (6) следует равенство p
= h (7)
i=i
где = q» — Qi, h = f — r. Введем новые переменные
y'i = fi,...,yP = fp.
Якобиан | д(У1''"'УР) | равен единице. Значит, по теореме о неявной функции можно выразить У1,..., Ур через у',..., уР, Ур+1,..., у„. Тогда равенство (7) принимает вид р
= МУр+Ь-^Уп^ (8)
г=1
здесь у' = (у1 ,..., уР, Ур+1,..., У^, &(у') = Му). Очевидно, что правая часть (8) может быть только нулевой, т.к. левая часть либо равна нулю, либо зависит хотя бы от одного элемента
у',...,УР-
Определение. Пусть выполнены условия предложения 1. Тогда ряд г из (6) назовем остатком, от деления / на В.
Предположим, что ряд / £ F(a) зависит от главных переменных у1,...,ур и / = у^ + д^ (г = 1,... ,р) - элементы нормализованного множества В С F(а). Тогда для нахождения остат-/В
ряд / вместо главных переменных у^ ряды — д (г £ Мр). Если остаток равен нулю, то ряд / лежит в идеале, порожденном нормализованным В
3. РАЗБИЕНИЕ, СОГЛАСОВАННОЕ С ДЕЙСТВИЕМ
В этом параграфе вводятся определения и доказываются вспомогательные результаты, необходимые для основной теоремы работы. Определение. Говорят, что полугруппа С действует, (слева) на множестве Л, если существует отображение (д, а) ^ да множества С х Л в Л, удовлетворяющее условию
д1(д2а) = (д1 д2)а, Уа £ ЛУдьд2 £ С.
Л
ношение эквивалентности Полугруппа С, дей-Л
лентности, если
а ~ Ь ^ да ~ дЬ, Уд £ С.
а £ Л
значается [а]. Если полугруппа С, действующая на Л сохраняет отношение эквивалентности
то действие О на фактормножестве А/ ~ задается формулой
д[а] = [да], Уд е О У а е А.
Это действие не зависит от выбора представителя класса эквивалентности.
Всюду в дальнейшем Г обозначает вполне упорядоченное множество; отношение полного порядка на Г обозначается <. Если {А7}7еГ - разА
эквивалентности, классами эквивалентности которого являются множества А7:
аг ~ а2
Э^(аг,а2 е А7).
(9)
А7 ^ А7/
> 7 < 7. (Ю)
то будем писать А7 —
Кп и через К[< X >]о алгебру ростков аналитических функций в точке а. Введем множества
Т^
и Ту (а),
«ежп
Тг(а) = Т(а) \ К[< X >]£
Р= и Т(а),
о€Ж"
7
и Т (а).
(14)
(15)
(16)
«ежп
Разбиение {А7 }7ег становится вполне упорядоченным множеством, если задать порядок ^ на нем следующим образом
Если А7 ^ Ау и А7 = А^
Определение. Пусть {А7}7ег _ разбиение мно-
А О А
сохраняющая эквивалентность (9). Будем говорить, что разбиение {А1 }7ег согласовано с дей-
О А О
{А7}7ег сохраняет порядок (10) и направление д е О
ства:
А7 - А7/ [дА7] - [дАу], (
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.