ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2015, том 78, № 5, с. 475-478
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ШВИНГЕРА-ДАЙСОНА И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ В ЕВКЛИДОВОЙ ОБЛАСТИ
© 2015 г. В. Е. Рочев*
Институт физики высоких энергий, НИЦ "Курчатовский институт", Протвино, Россия Поступила в редакцию 29.06.2014 г.; после доработки 20.10.2014 г.
Система уравнений Швингера—Дайсона для модели взаимодействия скалярных полей исследуется в глубоко-евклидовой области. Показано существование критической константы связи, разделяющей область слабой связи с асимптотически свободным поведением и область сильной связи, в которой асимптотическое поведение пропагаторов полей меняется на ультралокальное.
DOI: 10.7868/80044002715020269
Мы будем рассматривать систему уравнений Швингера—Дайсона (УШД) для модели комплексного скалярного поля ф (фион) и вещественного скалярного поля % (хион) c лагранжианом
С = -д^ФдФ - т2ф*ф - (!)
1 II2
"2 (ад2-уХ2+#^Х
в четырехмерном евклидовом пространстве. Здесь д — константа связи размерности массы. Эта модель, известная также как скалярная модель Юка-вы, используется в ядерной физике как упрощенная версия модели Юкавы без спиновых степеней свободы, а также как эффективная модель взаимодействия скалярных кварков. Несмотря на известную ущербность этой модели, связанную с нестабильностью (а точнее, с мета-стабильностью, см. [1]), данная модель, являясь простейшей моделью взаимодействия полей, часто используется как прототип более содержательных теорий для изучения свойств различных непертурбативных методов квантовой теории поля и сравнения их между собой.
Как хорошо известно, производящий функционал функций Грина (вакуумных средних Т-произведений полей) С может быть представлен в виде функционального интеграла, зависящего параметрически от некоторых функций, называемых источниками. Обычный выбор таких источников — это функции одной переменной х € Е4. Мы будем называть такие источники простыми. Можно также выбирать в качестве источников функции нескольких переменных. Производные производящего функционала по таким высшим источникам соответствуют вакуумным средним нескольких полей
(по числу переменных источника). Так, например, для модели (1) можно ввести зависящий от двух переменных источник п, производная по которому есть вакуумное среднее фиона и антифиона, т.е. пропагатор:
{ф(х)ф* (y)) = —
SG
Sn(y,x)
(2)
(здесь угловые скобки означают вакуумное среднее Т-произведения). Такой источник называется билокальным. Высшие источники с давних пор используются как в статистической механике [2], так и в квантовой теории поля [3] для исследования так называемых высших преобразований Лежанд-ра (которые правильнее называть преобразованиями Лежандра относительно высших источников). Такие источники удобно использовать также для построения непертурбативных разложений (типа -разложения) и исследования многочастичных уравнений. В настоящей работе мы будем использовать билокальный источник п как удобный инструмент для исследования фион-антифионных функций модели (1). После гауссова функционального интегрирования по полю % мы можем, используя свойство трансляционной инвариантности меры функционального интегрирования, записать функционально-дифференциальное УШД для производящего функционала 2[п] = 1п С[п]:
g2 J dx\Dc(x — xi)
S2Z
+
ÖZ
SZ
E-mail: vladimir.rochev@ihep.ru
Sn(xi,xi) Sn(y,x) + / dyiri(x,yi)
Sn(xi ,xi)Sn(y,x) SZ
+ 5{x - у) = 0.
+ (3)
+
SV(y,yi)
475
*
7
Здесь Бс = (р2 — д2)-1. Последовательное дифференцирование этого уравнения дает нам бесконечную систему УШД для фион-антифионных функций. Для вычисления хионных функций нужно ввести простой источник хионов.
Простейшим точно решаемым непертурбатив-ным приближением для этого уравнения является приближение среднего поля. Приближение среднего поля и основанное на нем разложение широко используются в статистической механике. Это разложение не содержит явно малого параметра (хотя в теории поля на решетке такой малый параметр указать можно — в этом варианте разложение среднего поля является 1/й-разложением, где й — размерность пространства (см., например, [4])).
Разложение среднего поля для производящего функционала в модели (1) основано на главном приближении
д2 J йх1Ос(х — х\)
¿г® ¿г®
6г](х1,х 1) 5г](у, х)
+
+ (то — дХ)
6п(у,х)
+ йу1п(х,у1)
5п(У,У1)
(4)
+
+ 5(х — у) = 0.
Уравнение (4) после выключения источника дает нам пропагатор фиона в главном порядке: До =
= (т2 - д2)~1. Здесь т2 = Шд - = 0) — пе-
ренормированная масса фиона. Дифференцирование уравнения (4) по источнику п дает уравнение для двухчастичной функции. На языке диаграмм вычисление двухчастичной функции сводится к суммированию цепочек, поэтому мы будем называть этот вариант разложения среднего поля цепочечным.
Не представляет затруднений также и вычисление остальных многочастичных функций (см. [5]). Примечательной особенностью многочастичных функций главного приближения является их неполная структура с точки зрения кроссинг-симметрии. Такое кажущееся несоответствие является характерной особенностью многих непертур-бативных аппроксимаций. Оно присуще, например, уравнению Бете—Солпитера в лестничном приближении. Для восстановления утраченной в главном приближении кроссинг-симметрии необходимо заглянуть в следующий порядок. Вычисления в следующем порядке показывают, что кроссинг-симметрия двухчастичной функции, "утерянная" в главном приближении, восстанавливается. Такое восстановление кроссинг-симметрии весьма типично для непертурбативных разложений в формализме билокального источника (аналогичные примеры для других моделей см. в [6]).
Выражения для пропагаторов и многочастичных функций в приближении среднего поля содержат
расходящиеся величины и нуждаются в перенормировке. Процедура перенормировки, проведенная по стандартным рецептам, показывает, что асимптотическое поведение двухчастичной амплитуды и связанного с ней пропагатора хиона в глубокоевклидовой области является самосогласованным для рассматриваемого приближения лишь в области слабой связи: д2 < д2. При д2 > д2 асимптотика обратного пропагатора становится отрицательной, что означает появление у пропагатора хиона сингулярности Ландау в евклидовой области, что в свою очередь означает нарушение базовых физических принципов. Существование критической константы связи в скалярной модели Юкавы отмечалось практически всеми авторами, исследовавшими эту модель различными методами (см., например, [7] и цитируемую там литературу). Некоторые авторы считают очевидным, что наличие такого рода критической константы отражает мета-стабильность модели. Нам же представляется, что наличие такой сингулярности означает прежде всего неприменимость данного метода вычислений в области сильной связи и необходимость поиска более содержательных непертурбативных аппроксимаций.
Одной из аппроксимаций такого рода является двухчастичное приближение, рассмотренное для модели (1) в работе [5]. Двухчастичное приближение есть система, состоящая из уравнения (3) при п = 0 и уравнения, полученного дифференцированием (3), в котором опущен член, содержащий трехчастичную функцию. Эту систему можно свести к системе двух нелинейных интегральных уравнений для пропагаторов фиона и хиона. Исследование этой системы интегральных уравнений показывает, что при некотором значении константы связи происходит смена асимптотического поведения пропагаторов в глубоко-евклидовой области. При малых значениях константы связи пропагаторы ведут себя как свободные, что согласуется с общепринятым мнением о доминировании теории возмущений для данной сверхперенорми-руемой модели. В области сильной связи, однако, асимптотическое поведение меняется весьма радикальным образом — оба пропагатора в глубокоевклидовой области стремятся к некоторым постоянным пределам, что соответствует ультралокальному пределу [8]. В критической точке асимптотическое поведение пропагаторов есть
т-е- промежуточное между слабой и сильной связью.
Таким образом, в двухчастичном приближении самосогласованное решение для пропагаторов существует и для области сильной связи, т.е. существование критического значения константы связи выглядит скорее как фазовый переход в соответствии с общим определением фазового перехода
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ШВИНГЕРА-ДАЙСОНА
477
как резкого изменения свойств модели при плавном изменении ее параметров.
В настоящей работе существование такого фазового перехода подтверждается вычислением асимптотического поведения пропагатора фиона в лестничном разложении, которое является одним из вариантов разложения среднего поля, альтернативным рассмотренному выше цепочечному разложению. Для построения такого разложения отметим, что при выводе функционально-дифференциального уравнения (3) четверной член типа (ф(х)ф(х')ф*(у)ф*(у')), соответствующий взаимодействию после гауссова интегрирования по хионным полям, допускает двоякое представление в виде производных производящего функционала по источнику п:
(ф(х)ф(х')ф*(у)ф*(у')) (5)
/Пу',х')6п(у,х)
либо
(ФШ(х')Ф*т*(у')) =
З2/$п(у',x)Sn(y,x')
Уравнение (3) соответствует варианту (5). Варианту же (6) соответствует уравнение
g2 J dxiDc{x — x{)
З2 Z
+
5Z
5Z
_5n(xi ,x)5n(y,xi) 3Z
5n(xi,x) 5n(y,xi)_ + dyin(x,yi)
+ {ml - d2)-
0 x 5rj{y, x)
+
3Z
$V{y,yi)
+ 5{x — y) = 0.
g2 J dxiDc{x — x{) 5Z(0)
+ {m0 — дх)
5n{y,x)
+
5n{xi,x) 5n{y,xi) dyii]{x,yi)- 6Z
Sv{y,yi)
+
+ 5{x — y) = 0.
В отличие от цепочечного разложения, в котором пропагатор фиона в главном приближении является свободным пропагатором (с точностью
до тривиальной перенормировки массы), уравнение (8) после выключения источника дает нам нетривиальное уравнение для пропагатора, которое является нелинейным интегральным уравнением. Дифференцирование уравнения (8) дает уравнение для двухчастичной функции, которое на языке диаграмм соответствует уравнению Бете—Солпитера в лестничном приближении (с тем отличием, что пропагатор фиона есть решение упомянутого выше нелинейного интегрального уравнения). В связи с этим мы будем называть это разложение лестничным. Перенормированное
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.