СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ РАЗНОСТИ ПОЛОЖЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ДВИЖЕНИЙ ЗВЕЗД КАТАЛОГОВ PPMXL И UCAC4
© 2015 г. В. В. Витязев*, А. С. Цветков**
Санкт-Петербургский государственный университет Поступила в редакцию 10.02.2015 г.
Произведено сравнение каталогов РРМХЬ и иСАС4 посредством представления разностей координат и собственных движений звезд в виде разложений по векторным ортогональным функциям с учетом уравнения яркости. С помощью процедуры идентификации звезд в полосе 7 (фотометрическая система 2МА88) был составлен список из 41 316 676 общих звезд. Средние значения разностей положений и собственных движений звезд были отнесены к центрам 1200 площадок разбиения сферы методом Иеа1Р1х. Эти данные были сформированы в экваториальной системе координат для звезд, принадлежащих 12 интервалам звездных величин в полосе 7 шириной 0.5" для средних значений от 10""25 до 15""75. Для каждой выборки звезд была произведена аппроксимация разностей с помощью векторных сферических функций. Для выделения сигнала из шума предложен новый статистический критерий, ориентированный на использование пикселизации данных по схеме Иеа1Р1х и позволяющий определять значимость всех гармоник, доступных для реализации на используемой схеме пикселизации. Впервые в методе векторных сферических функций предложен аналитический способ учета уравнения блеска, т.е. сформирована новая модель систематических разностей, основанная на системе базисных функций, представляющих собой произведение векторных сферических функций и полиномов Лежандра. Изучено влияние уравнения яркости на определение взаимной ориентации и вращения систем отсчета РРМХЬ и иСАС4. Установлено, что экстремальные значения систематических разностей координат не превосходят по модулю величины 20 мсек. дуги, а для собственных движений — значения 4 мсек. дуги/год. Показано, что наибольшие отличия каталогов РРМХЬ и иСАС4 объясняются их случайными, а не систематическими ошибками.
Ключевые слова: астрометрия, систематические разности, звездные каталоги, сферические функции.
DOI: 10.7868/S0320010815070062
ВВЕДЕНИЕ
В преддверии создания каталогов по проекту GAIA массовые астрометрические каталоги PPMXL (Резер и др., 2010) и UCAC4 (Захариас и др., 2013) являются базой для проведения различных астрономических работ. Каталог PPMXL содержит информацию о положениях и собственных движениях в системе ICRS приблизительно 900 млн звезд до звездной величины V = = 20 с полным покрытием неба. Средние ошибки собственных движений заключены в пределах от 4 до 10 мсек. дуги/год, а точность координат на эпоху 2000.0 оценивается значениями от 80 до 120 мсек. дуги для 410 млн объектов, для которых известны положения в каталоге 2MASS (Скрутски и др., 2006). Для остальных звезд точность положений колеблется междузначениями 150—300 мсек. дуги.
Электронный адрес: vityazev@list.ru
Электронный адрес: a.s.tsvetkov@inbox.ru
Каталог UCAC4 содержит 113 миллионов звезд от 8 до 16 звездной величины в нестандартной фотометрической полосе между V и R. Он также покрывает все небо. Точность координат на среднюю эпоху оценивается диапазоном 15—100 мсек. дуги, а формальные ошибки собственных движений — интервалом 1 — 10 мсек. дуги/год. Систематические ошибки собственных движений заключены в пределах 1—4 мсд/год. Каталог построен в системе ICRS и считается полным вплоть до R = 16. Каталог UCAC4 является последним каталогом в проекте UCAC (USNO CCD Astrograph Catalog). В этом проекте не использованы фотографические наблюдения, так как все измерения были выполнены между 1998 и 2004 гг. только с использованием ПЗС-приемников.
В настоящее время указанные каталоги широко используются в качестве систем отсчета, распространяющих систему ICRS в оптическом диапазоне на сотни миллионов звезд. В соответствии с требованиями астрометрии необходимо иметь
возможность переходить из системы одного каталога в систему другого каталога. Авторами каталога UCAC4 (Захариас и др., 2013) выполнено сравнение собственных движений звезд каталогов PPMXL и UCAC4 в узкой зоне RA от 6.0 до 6.1 ч в диапазоне склонений от —60 до —30 градусов. В работе (Фарнокья и др., 2015) получены поправки к положениям и собственным движениям звезд каталога UCAC4 в виде разностей PPMXL-UCAC4, отнесенных к центрам площадок, образованных делением небесной сферы по методу HealPix (Горский и др., 2005). Такой подход предполагает использование численной интерполяции для вычисления разностей для конкретной точки сферы. Кроме того, в представленных данных не учитывалась зависимость этих разностей от блеска звезд и не производились какие-либо сглаживания по прямому восхождению и склонению для уменьшения уровня случайных ошибок.
Корректное решение задачи о сравнении каталогов (Бин и др., 1978; Миньяр и др., 2000) предполагает представление систематических разностей в виде их разложений по системам ортогональных функций с учетом зависимости от координат и блеска звезд. По всей видимости, каталоги PPMXL и UCAC4 еще не подвергались сравнению с такой степенью полноты, и настоящая работа посвящена устранению этого недостатка. Она основана на предварительной пикселизации индивидуальных разностей звезд различных групп блеска с последующей аппроксимацией этих данных векторными сферическими функциями. В отличие от предыдущих аналогичных работ здесь предложен новый статистический критерий, позволяющий для выбранной схемы пикселизации индивидуальных разностей по схеме HealPix оценить значимость всех допустимых гармоник разложения индивидуальных разностей по векторным сферическим функциям. Для аппроксимации коэффициентов разложения, полученных по группам звезд различной яркости, применяются нормированные полиномы Лежанд-ра. Полученные модели систематических разностей используются для анализа систематических разностей как функций трех переменных (а, 5, т).
МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ РАЗНОСТЕЙ. СКАЛЯРНЫЙ СЛУЧАЙ
Впервые представление систематических разностей положений и собственных движений звезд с помощью скалярных сферических функций было осуществлено в работе Броше (1966). В его методе модель систематических разностей координат выглядела следующим образом:
A5 = Е vSnkpKnkp(a,5), (2)
nkp
где vnkp и vnkp — коэффициенты разложения данных по системе сферических функций, которые определяются с помощью выражения
Knkp(a, 5) = (3)
(Pn,o(S), k = 0, p = 1;
= Rnk \ Pnk(5) sin ka, k = 0, p = 0; \Pnk (5)cos ka, k = 0, p = 1,
^ = (4)
V 4n U k = 0,
где a и 5 — прямое восхождение (долгота), склонение (широта) точки на сфере соответственно (0 < a < 2п; —п/2 < 5 < п/2); Pnk(5) — полиномы Лежандра (при k = 0) и присоединенные функции Лежандра (при k > 0), которые можно вычислить с помощью следующих рекуррентных соотношений:
2п — 1
Рпк{5) = siná--Pn_iyk{S) -
п — k п + k — 1
(5)
п — k
Pn-2,k (5),
к = 0,1,...п = к + 2, к + 3,...,
... (2к + 2)! к .
Рк+1 к{о) = —гтт-гтсов дето.
к+1,ку > 2к+1(к + 1)!
При работе со сферическими функциями часто для удобства их нумерации используют один индекс j, при этом
j = п2 + 2к + р — 1. (6)
Введенные функции удовлетворяют следующему
соотношению:
Aacos 5 = ^ v'HkpKnkp(a, 5),
nkp
(1)
(Ki • Kj) du = ! = j;; (7) i1, г = j■
Другими словами, набор функций Кпкр образует на сфере ортонормированную систему функций.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ РАЗНОСТЕЙ ПОЛОЖЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ДВИЖЕНИЙ ИСТОЧНИКОВ Систематические разности координат и собственных движений являются компонентами некоторого векторного поля. В связи с этим представляется целесообразным применить для изучения
п
систематических разностей метод разложения этого поля по системе векторных сферических функций (в дальнейшем ВСФ). Отметим, что в аст-рометрических задачах, связанных со сравнением каталогов, векторные функции впервые применили Миньяр и Морандо (1990), Миньяр и Фро-шле (2000) для представления систематических разностей каталогов ШРРАНСОБ и FK5. Дальнейшее развитие этого метода, преследующего цели его использования в проекте СА1А, можно найти в работе Миньяра и Клионера (2012). В настоящей статье мы будем использовать аппарат векторных сферических функций в том виде, в котором он применялся в наших предыдущих работах по кинематическому анализу собственных движений звезд (Витязев, Цветков, 2013, 2014).
Рассмотрим в касательной плоскости к сфере систему взаимно ортогональных единичных векторов еа, e¿ соответственно в направлениях изменения прямого восхождения и склонения. Используя определения векторных сферических функций, данные в работе Арфкена (1970), введем тороидальные Тпкр и сфероидальные Бпкр векторные сферические функции посредством следующих соотношений:
Tnkp(a, 6)
1
у/п(п + 1)
(8)
/ дКпкр(а, 5) V 95 а cos 5
Snkp(a, 6)
1 dKnkp' (а, 6)
да
es
sjn(n + 1)
(9)
1 dKnkp (а, 6) dKnkp(a, 6)
ea H----e¿
cos S
да
д6
где Кпкр(а, 6) — скалярные сферические функции, задаваемые формулой (3).
Обозначим компоненты при единичном векторе еа как Хакр и Бакр, а при единичном векторе е$ —
соответственно Т*кр и Бьпкр:
Тпкр = Такреа + Тпкре&, (10)
йпкр = Бакреа + Бпкре&. (11)
С учетом того, что Рп,к+1 (Ь) = 0 при п < к + 1, эти компоненты определяются следующим образом:
ра _
г nkp
R-n k
y/n(n + 1)
X <
Pn, 1(6), к _0, p _1, (-к tg 6Pnk(6) + Pn,k+i(6)) sin ка, к = 0, p _ 0,
(-к tg 6Pnk (6) + Pn,k+i(6))cos ка, [к = 0, p _ 1;
грО _
rnkp
Rnk
y/n(n + 1)
(14)
0, к _0, p _ 1, x { eos ka, kf 0, p = 0, (15)
+^spnk(5) sin ka, kf 0, p = 1;
qa _ Rnk Snkp
(16)
\Jn(n + 1)
0, к _0, p _ 1, x \ +7ШРпк^) eos ka, kf 0, p = 0, (17)
cos О
-Ш5рпк($)ыпка, kf 0, p = 1;
SO _
Rnk
(18)
x <
ПкР у/фь + Т)
Pn,i(6), к _0, p _ 1;
(-к tg 6Pnk (6) +Pn,k+i(6))sin ка, к = 0, p _ 0,
(-к tg 6Pnk (6) +Pn,k+i(6))cos ка, [к = 0, p _1.
Введенные функции удовлетворяют следующим соотношениям:
Ц (Ti ■ Tj) du _ (19)
0, i = j;
n
(Si ■ Sj) du
1, i _ j;
(Si ■ Tj) du _0, У i, j.
(20)
(12)
Другими словами, набор функций Тпкр, Бпкр образует на сфере ортонормированную систему функций.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ ЗВЕЗД ПО СИСТЕМЕ ВСФ
Рассмотрим ре
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.