ПРОГРАММИРОВАНИЕ, 2011, No 2, с. 71-78
КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА -
УДК 681.3.06
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С КОНЕЧНОМЕРНЫМИ МНОГООБРАЗИЯМИ РЕШЕНИЙ
© 2011 г. О.В. Капцов Институт вычислительного моделирования СО РАИ 660036 Красноярск, Академгородок, 50 E-mail: kaptsov@icm.krasn.ru Поступила в редакцию 12.10.2010 г.
В работе рассматриваются нелинейные переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными и любым числом искомых функций. Получен эффективный критерий конечномерности многообразия решений некоторого класса таких систем. Дана оценка типа Безу размерности многообразия решений и найдены алгебраические условия, при выполнении которых эта оценка достигается. На этой основе предложен метод построения матричного преобразования Дарбу линейных систем уравнений второго порядка. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 11-01-00049), СО РАН (интеграционный проект 103) и гранта поддержки ведущих научных школ НШ-7256.2010.1.
1. ВВЕДЕНИЕ
Проблема совместности системы уравнений с частными производными имеет не только богатую историю [1, 2, 3, 4], но и привлекает внимание современных исследователей [5, 6, 7, 8]. Однако общего алгоритма исследования совместности произвольной системы уравнений не найдено. Поэтому активно разрабатываются частные подходы, которые применяются в популярных системах компьютерной алгебры, таких как Maple, Reduce, Mathematica. Особый класс составляют системы уравнений в частных производных с конечномерными многообразиями решений. Такие системы часто возникают в приложениях, например, при нахождении допускаемых алгебр Ли операторов [9]. Поэтому важно иметь эффективные критерии, гарантирующие конечномерность многообразия решений, а также оценки размерности этого многообразия. В данной статье такие оценки и критерии получены для специальных нелинейных систем с двумя независимыми переменными.
Работа имеет следующую структуру. В первом параграфе рассматривается система нелинейных
уравнений с частными производными, состоящая из двух подсистем
/ = 0, д = 0, (1)
порядков п и к соответственно. Предполагается, что независимых переменных две, а число уравнений в каждой подсистеме, равное т, совпадает с числом неизвестных функций. Главные символы функций / и д, являющиеся матричными однородными многочленами с двумя переменными, позволяют определить результант Квв(/,д). Доказывается, что если результант не равен нулю, то размерность многообразия решений системы (1) над начальной точкой хо € Я2 не превосходит произведения тпк. Это утверждение представляет собой дифференциальный аналог теоремы Безу для алгебраических кривых [10]. Во втором параграфе рассматриваются системы (1), для которых Квв(/,д) = 0. Оказывается, что результант не равен нулю тогда и только тогда, когда некоторый модуль дифференциальных операторов (модуль сизигий) является циклическим. Вводится понятие Р-функции Р(/, д) - подобие £-полинома в теории базисов
Гребнера [11] и скобки Пуассона для уравнений первого порядка [12]. Доказано, что размерность многообразия решений системы (1) над каждой точкой открытого множества из Я2 равна тпк тогда и только тогда, когда выполняется аналог критерия Бухбергера для многочленов [11], т.е. Р-функция Р(/, д) должна принадлежать некоторому модулю, порожденному /, д. В качестве приложения доказанных теорем, в третьем параграфе дается конструктивный метод построения матричного преобразования Дарбу линейных систем уравнений с частными производными второго порядка.
2. ОЦЕНКА РАЗМЕРНОСТИ
МНОГООБРАЗИЯ РЕШЕНИЙ
Прежде чем рассматривать уравнения с частными производными, введем необходимые понятия. Пусть задана пара пространств X = Яп, У = Ят над полем вещественных чисел Я. Координаты первого пространства обозначаются х1,..., жп, второго - и1,..., ит. Рассмотрим операторы дифференцирования я д д
»1 = -,..., дп = - и их произведения
дж1 джга
да = д^1... дПп, где а = (а1,..., ап) -целочисленный мультииндекс. Введем переменные ига = даиг, г = 1,..., т, | а |> 1 и обозначим через Qp линейное пространство над Я, порожденное переменными ига такими, что | а |= р. При р > 1 пространство
Jp = X х Y х jj Qp
г=1
является р-продолжением пространства X х У
р
[Овсянников], его элементы обозначаются и. Для единообразия вводятся обозначения 3_1 = X, 30 = X х У. Если г > ^ > -1, то имеется естественная проекция п) пространства на .
Для каждого г > -1 возьмем открытое множество V С Совокупность V множеств V удовлетворяющих условию
п) (Уг) С V,- Уг > ; >—1
назовем проекционным семейством. Если и, V -проекционные семейства такие, что У г > —1 справедливо включение и* С У*, то будем писать и С V.
Каждому V из проекционного семейства V сопоставляется кольцо бесконечно дифференцируемых функций Р(V*). Проекции п) порождают вложения колец в) : Р(V)) ^ Р(V*) по формуле
в) (/) = / ◦ п), Уг > ; >—1. Объединение колец
те
Р(V) = и Р(V)
г=_1
является дифференциальным кольцом. Дифференцирования кольца Р(V) задаются формулой [13]
D (f ) = dj f +
^ dui M>0,i=1...m "
u,
a+1j
где 1) - мультииндекс, все компоненты которого равны нулю, кроме ^-ой - равной 1. Множество Р(V)т означает декартову степень кольца Р(V).
Теперь перейдем к системам дифференциальных уравнений с частными производными, заданными конечным набором функций из Р (V). Особый класс составляют системы, решения которых определяются единственным образом с помощью задания конечного числа начальных данных в одной точке. Обозначим через подпространство в 3р порожденное некоторым набором переменных и^, |а| < р, а через пРп проекцию 3р на 3гп. Отображение Н € Р(^Р)9 задает систему уравнений в частных производных
h(U) = 0.
(2)
Дополним систему (2) начальными условиями в точке x0 € X
npn(u (x0)) = vi
€ Ji
(3)
Определение. Предположим, что для некоторой точки xo € X существует открытое множество С Jin такое, что для любой
точки vin € задача Коши (2), (3) имеет единственное гладкое решение u. Тогда будем говорить, что размерность многообразия решений системы (2) над точкой x0 равна t, где t = dim Jin. Размерность многообразия решений системы (2) над точкой x0 обозначается dim So1x0 (h).
v
В дальнейшем ограничимся случаем пространств X = Я2, У = Ят, а функции, образующие кольцо Р (V), считаем аналитическими. Будем рассматривать системы с двумя независимыми переменными XI, Х2 и т искомыми функциями и1,...,«" вида (1), где / = (/1,...,/т) € Р(У„)т, д = (д1,..., дт) € Р(^)т.
Введем двухиндексное множество матриц Якоби порядка т:
fij =
d(f 1,...,f m)
Ld(u1j )J
gij =
d (g1
La (uij )j
Тогда матричные многочлены
вутЬ(/) = ^ /уt1t2, йУтЬ(д) = ^ да
¿+.?=п
(4)
назовем главными символами / и д соответственно. Результант двух однородных многочленов вводится полностью аналогично скалярному случаю [11, 14]:
Res(f,g) = det Sy1(f, g).
(5)
Здесь Sy1(f, g) - блочная матрица Сильвестра, составленная из матриц fo,..., fon, gko,..., gok. Теорема 1. Пусть f € F(V„)m, g € F(Vk)m, k > n > 1. Предположим, что существуют точки Vk € Vk, v„ € vn такие, что f (v„) = g(vfc) = 0 и Res(f, g) =0 в точке vk. Тогда:
1) для любого p, удовлетворяющего неравенствам n < p < k + n — 1, существуют точка vp € Jp и открытое множество Up С Jp, содержащее эту точку, такие, что множество
Mp = {z € Up : hi(z) = Daf (u) = 0,
k
h2(z) = Deg(u) = 0, |a| + n = |в| + k = p}
является гладким многообразием, проходящим через Vp. При этом оно представляется в виде, разрешенном относительно некоторых переменных:
< = fa, (6)
где |а| = p, f¿ € F(Up). Причем, при |а| = n+k — 1 все переменные ига выражаются как функции
2) размерность многообразия решений системы (1) над точкой х0 = п_1 (гп) не превосходит тпк, т.е. верно неравенство
dimSo1xo(/,д) < тпк. (7)
Доказательство. Для каждого р, удовлетворяющего неравенствам п < р < к + п — 1, рассмотрим систему £р в пространстве 7р:
^(г) = («) = 0, = д(И) = 0, (8)
где |а|+п = |в|+к = р. Обозначим через гр число уравнений системы £р. Так система состоит из (п + к)т уравнений. Отображение
(f, g)n+k-i = (Dk-1 f, Dk-2D2f,..., Dk-1f,
k-2
-,k-1
Dn-1g,
■ D^g)
представляется в виде
переменных и
< n + k — 1, j = 1,..., m;
g)(ura+fc-1,0, ип+к_2,Ъ . . . ,и0,га+к_1)4 +
+1£(п + к — 2).
Здесь и далее символ означает отобра-
жение, которое может зависеть только от переменных х1,х2,и, , где г + j < д, а £ -транспонирование. Поскольку по условию Квз(/, д) = 0 в точке , то существует открытое множество ип+к_1 С такое,
что Мп+^_1 является параметризированным многообразием, причем переменные Х1, Х2, и, , г + j < п + к — 1, можно брать в качестве параметров. Аналогично каждая система Бр задается с помощью отображения
(/, д)р = К_п/,..., ^_п/, д,..., к д),
причем при р < к компоненты, содержащие д, отсутствуют в (/, д)р. Тогда верно равенство
(/,д)р = Ср(ир,о,... ,ио,р)4 + /£(р — 1).
Здесь Ср - матрица, полученная из матрицы Sy1(/, д), вычеркиванием соответствующих строк и некоторых нулевых столбцов. Поскольку Квз(/, д) = 0, то ранг матрицы Ср максимален и равен гр - числу строк этой матрицы. Это свойство позволяет утверждать, что Мр -аналитическое многообразие в окрестности точки гр € 7р.
Всего системы ..., состоят из
т
к(к+1)+п(п+1)
уравнений. Значит можно
выбрать такое же количество переменных и*) (1 = 1,..., т), как функции не более чем тпк остальных, т.к. всего переменных в системах £га,..., £га+к-1 не более т(п + к)(п + к — 1)/2.
Поскольку все переменные и* ), удовлетворяющие условию г + ] = п + к — 1, выражаются через переменные х1, х2, и, и*1 ;)1, где г1 + ^ < п + к — 1, то все переменные и* , ), где г + ] > п + к, можно найти дифференцированием соотношений (6) при условии совместности системы. Таким образом, если решение системы (1) в виде ряда существует, то оно однозначно определяется заданием тпк начальных данных типа (3).
Замечание. Доказанную теорему можно рассматривать как дифференциальный аналог теоремы Безу [10] о числе точек пересечения алгебраических кривых на плоскости. Для линейных уравнений с частными производными,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.