РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2006. том 51. № 4. с. 445-449
_1 ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС _
^ В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ
УДК 53.072:538.56157:53.4.1:621.373 * м ''
СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА ГЕНЕРАТОРА С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЙ ВОЛЬТ-АМПЕРНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ПОД ВНЕШНИМ ПЕРИОДИЧЕСКИМ МНОГО ЧАСТОТНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ
© 2006 г. А. А. Прохоров, Е. С. Мчедлова
Поступила в редакцию 19.07.2004 г.
Проведены численные исследования особенностей динамики генератора с кусочно-линейной характеристикой под внешним многочастотным воздействием. Для различных форм внешнего периодического сигнала построены карты динамических режимов на плоскости "основная частота-амплитуда внешнего воздействия". Рассмотрен вопрос о влиянии спектрального состава внешнего периодического воздействия на структуру бифуркационных границ на плоскости управляющих параметров.
ВВЕДЕНИЕ
Управление системами со сложной динамикой посредством синхронизации различными типами внешних сигналов является актуальной задачей современной радиофизики, нелинейной динамики и теории колебаний [1-4]. Импульсное и другие типы многочастотных сложнопериодических ВОЗ-действий используются для синхронизации и перестройки динамических режимов в различных нелинейных активных системах: от лазеров [5] до радиотехнических автогенераторов и систем биологической природы [1,4]. С практической точки зрения автоколебательные системы, обладающие достаточным числом степеней свободы, чтобы генерировать хаотические колебания, интересны в контексте проблем кодирования и передачи информации в широкополосных системах связи [4J. Одной из подобных автоколебательных систем является радиотехническая схема, предложенная Мацумото и Чуа в 1985 г. [6, 7], ставшая классической и известная также как генератор с аттрактором типа двойного завитка (Double Scroll). Данная модельная система имеет нетривиальную динамику, относительно легко реализуется как в численном, так и в натурном эксперименте и допускает управление внешними сигналами различной формы.
1. МОДЕЛЬ АВТОНОМНОГО ГЕНЕРАТОРА
Особенностью генератора Чуа является то, что его нелинейный активный элемент имеет пятисег-ментную кусочно-линейную вольт-амперную характеристику. Динамику такой модели можно описать при помощи безразмерной системы трех
дифференциальных уравнений первого порядка следующего вида:
dx dt
= а(у - х - g(x)),
dy
Tt = X~y + Z'
dz о dt =
(1)
где g(x) - кусочно-линейная функция, описывающая вольт-амперную характеристику активного элемента, которая имеет вид
9 Ь + а ,.9 b + а ^ 1П
---—х+\2—-—, л: >10,
2 2
bx + a-b, 1 <jc< 10,
ах, |л"| < 1,
bx-a + b, —10 < jc < — L,
g{x) =
(2)
9 b + a ,„9 b + a
—-—л- - 12-,
л: <-10,
а - параметр, отвечающий за наклон центральной части рабочего участка характеристики; Ь -параметр, отвечающий за наклон боковых ветвей рабочего участка. / ¡,,.Т„.:.и
В зависимости от значений параметров а. (3 в уравнениях (1) в фазовом пространстве системы реализуются устойчивая неподвижная точка и различные динамические режимы: колебания на основной частоте, каскад бифуркаций удвоения периода, хаос типа Ресслера и хаос типа двойного завитка [3, 6, 7]. Следует отметить, что фазовое пространство данной системы симметрично относи-
тельно начала координат, т.е. оно инвариантно по отношению к преобразованию (х, v, z) —- (-л:, -у, -z). Система мультистабильна, т.е. в зависимости от начальных условий она эволюционирует к одному из аттракторов, сосуществующих в фазовом пространстве при данных а и (3. В системе могут сосуществовать аттракторы, симметричные друг другу относительно начала координат, и аттрактор, симметричный относительно нуля. Например, в [8] рассмотрен случай, когда в фазовом пространстве системы сосуществуют три различных хаотических аттрактора. Описанная выше динамика происходит на рабочем участке вольт-амперной характеристики, однако за счет ограничивающих боковых ветвей характеристики с положительным наклоном в системе возможно существование релаксационного цикла большой амплитуды.
2. СТРУКТУРА ОБЛАСТЕЙ СИНХРОНИЗАЦИИ АВТОГЕНЕРАТОРА ВНЕШНИМ ГАРМОНИЧЕСКИМ СИГНАЛОМ
Рассмотрим динамику неавтономного генератора Чуа при фиксированных значениях параметров а и Р:
^ = 8.2 (у-*-£(*)),
dt
dv , /оч
= -г-у + г, (3)
dt
где A(î) - внешнее воздействие.
В работе [9] на основе численного и экспериментального методов анализа рассмотрен случай гармонического внешнего воздействия:
A(t) = Fsin(û>0, (4)
где F - амплитуда, со - частота, а также исследован вопрос зависимости формы областей синхронизации на плоскости "частота внешнего воздействия-амплитуда внешнего воздействия" от параметров наклона рабочего участка характеристики а и Ь. Поясним сценарий образования областей хаотической динамики неавтономного генератора. На рис. 1 представлены основные этапы этого сценария при изменении значения параметра а и постоянном значении b = -0.5. Различными оттенками серого цвета обозначены области периодической динамики с разными рациональными соотношениями между собственной частотой колебаний и частотой внешнего воздействия m : п, белый цвет соответствует областям с
периодами колебаний больше 16 периодов внешнего воздействия, либо областям с хаотической или квазипериодической динамикой.
В некотором диапазоне изменения параметра а, при а < -1, на плоскости (со, I7) в рассматриваемом диапазоне частот и амплитуд отсутствуют области с хаотической динамикой, динамика либо квазипериодическая, либо периодическая (рис. 1а, 16). Затем в области синхронизации 1 : 2 образуется область с удвоенным периодом, которая затем увеличивается в размерах, и внутри нее происходит следующее удвоение периода (рис. 1в). При некотором значении параметра а в системе возникает область с хаотической динамикой как результат последовательности удвоения периода (рис. 1г). При дальнейшем изменении параметра а область хаоса увеличивается и достигает максимального размера (рис. 1д). Затем размеры областей синхронизации довольно резко уменьшаются (рис. 1е).
Следует отметить, что в случае, когда внешнее воздействие задается в виде (4), бифуркационные границы на плоскости (со, Р) для обоих симметричных аттракторов совпадают.
3. СЛУЧАЙ МНОГОЧАСТОТНОГО ' ВНЕШНЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ
Выберем параметры, определяющие наклоны сегментов характеристики нелинейного элемента:
а = -1.05, Ь = -0.5. (5)
Будем рассматривать динамику системы под внешним негармоническим воздействием, один период которого представлен на рис. 2а. Отношение длительности искаженного участка с положительным наклоном к длительности исходного примем за параметр нелинейности внешнего воздействия к. При к = 1.0 такой сигнал совпадает с гармоническим, а при к = 2.0 трансформируется в сигнал, в котором гармонический сигнал имеет скачок фазы с тг/2 до Зтс/2. Физический смысл имеют значения параметра 0 < к < 2. Выбор сигнала такого типа обусловлен возможностью его реализации в натурном эксперименте. Спектр сигнала представлен на рис. 26. Поскольку данный сигнал является периодическим, то спектр состоит из набора эквидистантных по частоте гармоник.
На рис. 3 представлена карта динамических режимов на плоскости параметров "основная частота внешнего воздействия - амплитуда внешнего воздействия". На данной карте присутствуют области в виде полос, в которых бифуркационные границы смещены относительно аналогичных границ в остальной области карты. Подобный вид карты объясняется тем. что в зависимости от начальных условий система эволюционирует к одному из симметричных аттракторов, которые в отличие от случая гармонического воздействия
СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА ГЕНЕРАТОРА
447
Рис. 1. Карты динамических режимов для генератора под внешним гармоническим воздействием на плоскости "'частота -амплитуда внешнего воздействия", полученные в численном .эксперименте, для а = 8.2, Р = 16, b = -0.5. а = -1.005 (а), -1.015 (б). -1.025 (в). -1.030 (г), -1.050 (д), -1.100 (е). Различные оттенки серого цвета соответствуют разным периодическим режимам, белый цвет - областям с непериодической динамикой; (I : 1 ), ( 1 : 2) - основные резонансы с соотношением собственной частоты колебаний генератора к частоте внешнего воздействия 1 : 1 и 1 2 соответственно; (I : 2)2 -режим с удвоенным периодом колебаний на базе режима ( 1 ; 2); ( 1 ; Пр - область синхронизации релаксационного режима колебаний. • ............>
2л (р
О
(б)
-20
-40
-60
-80
-100
10 со
Рис. 2. Характерный вид одного периода внешнего многочастотного воздействия (а), ф - фаза колебаний; спектральная плотность мощности XV, соответствующая данному типу воздействия (б), ш - частота воздействия в относительных единицах, к - параметр нелинейности. 0 < к < 2.
претерпевают бифуркации при различных значениях параметров внешнего воздействия.
Для выяснения вопроса, в какой степени указанный эффект зависит от спектрального состава
F
со
Рис. 3. Карта динамических режимов для генератора под внешним многочастотным воздействием. Различные оттенки серого цвета соответствуют разным периодическим режимам, белый цвет-областям с непериодической динамикой. Полосы со смещенными бифуркационными границами соответствуют динамике системы на симметричном аттракторе. А: = 1.8, значения параметров генератора следующие: а = 8.2. [3=16, Ь = -0.5, а= -1.05.
внешнего воздействия, был рассмотрен случай более простого двухчастотного воздействия:
А(0 = ^[8Ш(С0/) + 8т(2со/)]. (6)
Из рис. 4а и 46, на которых представлены карты динамических режимов для симметричных аттракторов. видно, что внешнее воздействие типа (6) также приводит к смещению границ бифуркаций удвоения периода. Проведенные исследования показали, что и для случая с большим числом гармоник на частотах, кратных основной частоте, сохраняется описанная тенденция к искажению формы областей синхронизации и смещению бифуркационных границ. ;>
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате проведенных исследований обнаружено, что структура границ областей синхронизации генератора Чуа внешним периодическим воздействием зависит как от спектрального состава воздействия, так и от параметров нелинейного элемента. Изменяя наклон рабочего участка вольт-амперной характеристики
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.