ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2008, том 46, № 5, с. 717-722
УДК 532.516.5:536.25
СМЕШАННАЯ КОНВЕКЦИЯ ПРИ СЛАБОМ ВНЕШНЕМ ТЕЧЕНИИ В ВЕРТИКАЛЬНОМ КАНАЛЕ С ИСТОЧНИКОМ ТЕПЛА КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ
© 2008 г. И. А. Ермолаев, А. И. Жбанов, В. С. Кошелев
Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского Поступила в редакцию 23.03.2007 г.
Исследуется смешанная конвекция в вертикальном плоскопараллельном канале от источника тепла конечных размеров, расположенного на одной из стенок. Численные расчеты проведены для числа Прандтля 0.7 в диапазоне значений числа Грасгофа от 0 до 105 и числа Рейнольдса от 0 до 10. В качестве модели использовались двухмерные нестационарные уравнения Навье-Стокса в приближении Буссинеска. Задача формулировалась в переменных "вихрь скорости-функция тока-тем-пература" и решалась методом конечных элементов.
PACS: 44.25. + f; 47.11. Fg
ВВЕДЕНИЕ
Смешанная конвекция в вертикальных и горизонтальных каналах встречается в большом количестве технических приложений. Вследствие этого существует значительное число экспериментальных и теоретических работ по данной теме. В большинстве из них рассматривается нагрев, постоянный вдоль оси канала, как симметричный, например [1-3], так и асимметричный, например [4-7]. Однако часто нагрев локализован на конечном участке стенки канала или щели. Такая ситуация возникает, в частности, при естественном или смешанном охлаждении устройств микроэлектроники, в системах принудительного охлаждения электронного оборудования, при пересечении различно нагретых каналов или труб и др.
Конвекция в присутствии источников тепла конечных размеров исследовалась в значительно меньшем количестве работ. Так, задачи с локальными стоками тепла рассматривались для цилиндрических емкостей в [8, 9], локальный нагрев в отсутствие внешнего течения для полостей исследовался в работах [10-12], в присутствии внешнего течения для горизонтальных каналов - в [13], для пористого слоя - в [14]. Смешанная конвекция воздуха в вертикальном канале с дискретным источником тепла на стенке численно изучалась в работе [15]. Использовалась двухмерная модель, результаты были получены в диапазоне чисел Грасгофа 103 < вг < 106 и Рейнольдса 10 < Яе < 2000. Однако при высоких значениях чисел вг и Яе конвективное течение в канале, по-видимому, трехмерно. Так, вторичные течения при смешанной конвекции в горизонтальных каналах могут иметь вид двухмерных валов, перпендикулярных потоку только при Яе < 10 [4]. Кроме того, ряд техниче-
ских приложений характеризуется именно слабой конвекцией при слабом внешнем течении. Такие условия возникают как результат малых размеров при охлаждении некоторых микроэлектронных устройств. В настоящей работе рассматривается смешанная конвекция при слабом внешнем течении с локальным источником тепла на стенке вертикального канала при значении числа Прандтля Рг = 0.7. Основные расчеты проведены в диапазоне чисел Рейнольдса 0 < Яе < 10 и Грасгофа 0 < вг < 105.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ
Исследовалось конвективное течение воздуха на участке длиной Ь вертикального плоскопараллельного канала шириной Н с твердыми непроницаемыми стенками. Использовалась модель вязкой, термически сжимаемой жидкости (приближение Буссинеска).
Течение описывалось в декартовой системе координат: начало координат совпадало с началом канала, ось х направлена перпендикулярно, ось у - параллельно каналу. На одной из стенок был задан источник тепла длиной Н по оси у, характеризуемый постоянной по времени равномерной плотностью теплового потока. Остальная часть стенки считалась адиабатической. Температура противоположной стенки принималась постоянной. До начального момента времени поле температур полагалось однородным, жидкость находилась в гидростатическом равновесии в поле силы тяжести, направленной вертикально вниз. В начальный момент времени к нагреваемому участку подводился поток тепла, одновременно возникало и вынужденное течение в канале.
Вынужденное течение может быть как результатом внешнего градиента давления, так и следствием некоторой, внешней по отношению к задаче, конвекции.
Расстояние от входа в канал до нагреваемого участка, равное 3H, а также длина канала L = 10H были выбраны из предварительных расчетов. Изменение L в пределах 10H-11H, равно как и смещение нагреваемого участка на расстояние ±H вверх или вниз по потоку, приводило к относительному изменению максимума безразмерной температуры менее чем на 1% (оценки были проведены при Re = 5, Gr = 104).
Для определения полей течения и температур использовались нестационарные двухмерные уравнения конвекции в приближении Буссинеска [16]. В качестве масштабов расстояния, времени, скорости и температуры были выбраны H, H2/v, v/H, q0H/À. Безразмерные переменные были определены соответственно как X = x/H, Y = y/H, т = vt/H2, U = uH/v, V = vH/v, 6 = ХФ/qH Здесь x, y - координаты; t - время; v - коэффициент кинематической вязкости; u, v - составляющие скорости в проекции на оси x, y соответственно; Ф = T - T0, T0 = 0; X - коэффициент теплопроводности; q0 -масштаб потока тепла. Безразмерные уравнения Буссинеска в переменных "вихрь скорости-функ-ция тока-температура" были записаны в виде
дю дудю дудю . „ д6 /1Ч
эт + dY dX - dX dY = Лю -Gr y dX, (1)
Ay = ю,
эе э^эе -э^эе = j_
Эт + д Y dX д X д Y = PrЛ6'
(2) (3)
Здесь ю, у - внхрь скорости и функция тока соответственно; = gyвq0H4/kv2; Рг = у/%; gy - составляющая ускорения силы тяжести в проекции на ось у х = 0); в - температурный коэффициент объемного расширения; % - коэффициент температуропроводности.
Безразмерные граничные условия для системы (1)—(3) имеют вид
X = 0: у(0, У,т) = Ке,дМ|Р = 0;
д6(0, Y, т)
dX
= 0 при 0 < Y < 3 H и 4H < Y < 10H ;
де ( о, т, т )
dX
= 1 при 3 H < Y < 4 H ;
y(H, Y, т) =
д y ( H, Y, т ) д X
= 0;
Y = 0: 6(X, 0, т) = 0, ду(X, 0, т)
ю(X, 0, т) = 0,
д Y
= 0;
Y = L :
дю ( X, L, т ) = дУ =
д6 ( X, L, т ) _
д Y
0,
0,
д y ( X, L, т ) = дУ =
0,
X = H : 6( H, Y, т) = 0,
где Яе = ыИ/\ - число Рейнольдса. Значения вихря скорости на стенках канала вычислялись по формуле Вудса [17]. В начальный момент времени ю(Х, У, 0) = у(Х, У, 0) = 9(Х, У, 0) = 0.
Задача (1)-(3) решалась методом конечных элементов Галеркина (слабая формулировка) [18, 19]. Температура, вихрь скорости и функция тока аппроксимировались линейной комбинацией не зависящих от времени базисных функций (функций формы) на линейных треугольных конечных элементах. Для временной аппроксимации использовалась неявная двухслойная схема. Стационарные решения были получены методом установления путем решения нестационарной задачи (1)—(3). Критерием установления являлось неравенство
0' к +1 /чк I I к + 1 к I I к + 1 к\ , т - 0т| + |Ют - Ют| + |Ут - Ут| < ^
Здесь 6т, ют, ут - экстремальные значения температуры, вихря скорости и функции тока. Индекс к - номер шага по времени, значение ере варьировалось в интервале 10-5-10-6. Расчеты проводились на неравномерной сетке 25 х 10; 25; 30, где 25 х 25 - разбиение вблизи источника тепла. Шаг по времени был равен 10-3.
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Конвективное течение, обусловленное влиянием только подъемной силы, показано на рис. 1а, 1г. Оно имеет вид поперечного вихря, вытянутого вдоль оси канала. Линией на стенке отмечен нагреваемый участок. Появление внешнего течения и рост числа Яе приводят к уменьшению интенсивности вихря и к некоторому смещению его центра (экстремума безразмерной функции тока) в направлении внешнего потока. При этом изотермический профиль скорости внешнего течения остается деформированным (рис. 16, 1в, 1д, 1е) вплоть до Яе = 10 (при вг = 104). Влияние подъемной силы на внешнее течение приводит к перераспределению локальных коэффициентов теплоотдачи и трения. Профиль скорости на рис. 16, 1в, 1д, 1е позволяет ожидать увеличения локальной теплоотдачи, связанного с влиянием подъемной си-
(а) (б) (в) (г) (д) (е)
Рис. 1. Температурные поля (а)-(в) и поля течений
(г)-(е) при вг = 104: (а), (г) - Яе = 0; (б), (д) - 3; (в),
(е) - 5.
лы, в некоторой области нагреваемого участка (при у - 3.5Н-4Н) и на части стенки за ним и уменьшения локальной теплоотдачи на остальной части стенки.
Следует отметить, что в отличие от задачи для смешанной конвекции в горизонтальном канале при локальном нагреве [13], где вторичное течение, обусловленное свободной конвекцией, имеет вид двух несимметричных вихрей, вторичное течение в условиях данной задачи всегда имело вид одинарного вихря. Изменение его интенсивности показано на рис. 2 в виде зависимости экстремума безразмерной функции тока от чисел Яе и вг. Как можно было ожидать, модуль величины ¥т существенно увеличивается с ростом числа вг и уменьшается, стремясь к нулю, с ростом числа Яе. При этом характер изменений ¥т(Яе) качественно различен при вг ~ 104 и при вг ~ 105. При вг ~ 105 зависимость ¥т(Яе) близка к линейной.
На рис. 3 показаны изменения максимума безразмерной температуры 0т с ростом интенсивности сил свободной конвекции и внешнего течения. Характер зависимости 0т(вг) качественно различен при вг < 103, 103 < вг < 104 и вг > 104. Можно видеть, что величина 0т при вг < 103 определяется в значительной степени внешним течением и слабо зависит от значения числа Грасгофа. Однако само влияние свободной конвекции нельзя назвать малым в сравнении со случаем вг = 0, Яе = 0 (режим теплопроводности). При 103 < вг < < 104 влияние выталкивающих сил растет, и уже при вг = 105 величина максимума температуры определяется в значительной степени ими.
¥ А т
Яе
Рис. 2. Зависимость интенсивности вторичного течения от Яе: 1 - вг = 104 , 2 - 105.
Изменение характера течения в зависимости от интенсивности выталкивающих сил иллюстрирует рис. 4. Слабая естественная конвекция при вг < 104 лишь немного деформирует профиль скорости внешнего потока. В интервале 104 < вг < 105 формируется вторичное течение в виде поперечного вихря, вытянутого вдоль внешнего потока и смещенного к противоположной стенке канала. Увеличение числа Грасгофа приводит к еще большей деформации профиля скорости внешне-
^т
вг
Рис. 3. Изме
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.