М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2009
УДК 532.516.5:536.25
© 2009 г. И. А. ЕРМОЛАЕВ, А. И. ЖБАНОВ
СМЕШАННАЯ КОНВЕКЦИЯ В ВЕРТИКАЛЬНОМ КАНАЛЕ С ДИСКРЕТНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА НА СТЕНКЕ
На основе двумерного численного моделирования проведен анализ смешанной конвекции в вертикальном плоскопараллельном канале с двумя источниками тепла конечных размеров на стенке. Исследовано влияние расстояния между тепловыми источниками на структуру течения и поле температур. Расчеты ограничены диапазонами числа Грасгофа 0—105, числа Рейнольдса 0—10 и значением числа Прандтля 0.7. В качестве математической модели использованы нестационарные уравнения Навье—Стокса в приближении Буссинеска. Задача решена методом конечных элементов.
Ключевые слова: смешанная конвеция, вертикальный канал, дискретные источники тепла, метод конечных элементов.
Задача о естественной или смешанной конвекции в присутствии граничных источников тепла конечных размеров имеет ряд важных технических приложений. Подобные конфигурации тепловых источников имеют место при охлаждении микроэлектронных компонент, в конструкциях компактных теплообменников, промышленных печей, а также встречаются в геофизике, энергетике и строительной теплотехнике.
Между тем, в отличие от задачи с равномерным нагревом границ, задача с дискретными источниками тепла изучена менее подробно. Так в [1, 2] рассматривалась свободная конвекция для цилиндрических емкостей с локальными тепловыми стоками. Естественная конвекция при дискретном нагреве для прямоугольных и квадратных полостей численно и экспериментально изучалась в [3—6]. В [7] исследовалась свободная конвекция, обусловленная дискретным нагревом бесконечной горизонтальной плоскости, в [8] рассматривалась свободная конвекция вблизи вертикальной плоскости с двумя дискретными источниками тепла. Смешанная конвекция в горизонтальных каналах с локальным источником тепла на нижней границе изучалась численно и экспериментально в [9—12], локальный нагрев пограничного слоя исследовался в [13]. В [14] представлены результаты численного анализа смешанной конвекции воздуха в вертикальном канале с одинарным источником тепла конечных размеров на стенке.
В настоящей работе исследуется двумерная смешанная конвекция в вертикальном плоскопараллельном канале с двумя дискретными источниками тепла на одной из стенок.
1. Постановка задачи и метод решения. Рассматривается смешанная конвекция воздуха на начальном участке вертикального плоскопараллельного канала длиной Ь и шириной Н с твердыми непроницаемыми стенками. Воздух считался вязкой, термически сжимаемой средой, для которой справедливо приближение Буссинеска.
Задача формулируется в декартовой системе координат, начало которой совпадает с началом канала, ось х направлена перпендикулярно, ось у — параллельно каналу. На одной из стенок заданы два граничных источника тепла, характеризуемые постоянной по времени, равномерной плотностью теплового потока. Расстояние между источниками с1 варьируется в диапазоне 0—3Н. Размеры самих тепловых источников постоянны и составляют Н/2. Случай d = 0 соответствует одному источнику размером Н.
Остальная часть стенки считается адиабатической, температура противоположной стенки принималась постоянной. Длина канала L = 10H выбрана из предварительных расчетов, где ее вариация в пределах 10—11H приводила к относительному изменению максимума безразмерной температуры менее 1%.
До начального момента времени поле температур однородно, жидкость находится в гидростатическом равновесии в поле силы тяжести, направленной вертикально вниз. В начальный момент времени к нагреваемым участкам подводится поток тепла, одновременно возникает вынужденное течение в канале. Скорость на входе в канал постоянна по сечению, на стенках канала скорость равна нулю (условия прилипания).
Для решения указанной выше задачи используются нестационарные двумерные уравнения конвекции в приближении Буссинеска [15]. В качестве масштабов расстояния, времени, скорости и температуры выбраны H, H2/v, v/H, q0H/X. Таким образом, безразмерные переменные соответственно есть X = x/H, Y = y/H, т = vt/H2, U = uH/v, V = uH/v, 9 = Х9/90Я, где x, y — размерные координаты, t — время, v — коэффициент кинематической вязкости, u, u — составляющие скорости в проекции на оси x, y, 9 = T - To, T0 = 0, X — коэффициент теплопроводности, q0 — масштаб потока тепла. Что позволяет записать беразмерные уравнения Буссинеска в переменных "вихрь — функция тока — температура" как
аю + а^ю-^аю^- G ае (Ы)
дт dY dX dX dY y dX
Ду = ю (1.2)
ае + а^ де а^ де _ де
дт дY дХ дХ дY Рг
Здесь ю, ц — вихрь скорости, функция тока, Огу = gyPq0H4/Xv2 — число Грасгофа, Рг = v/x — число Прандтля, gy — составляющая ускорения силы тяжести в проекции на ось у ^ = 0), в — температурный коэффициент объемного расширения, % — коэффициент температуропроводности.
Безразмерные граничные условия для системы (1.1)—(1.3) имеют вид
X = 0: у(0, Г, т) = Яе, = о
дх
де(0, Y, т) = 0,0 < Y < I, I + Н/2 < Y < I + Н/2 + й, I + Н + й < Y < Ь
дх
де(0, ^ т) = 1,1 < Y < I + Н/2,1 + Н/2 + й < Y < I + Н + й
дх
X = Н : е(Н, Y, т) = 0, ш(Н, Y, т) = = о
7 т ах
Y = 0: 6(Х,0, т) = 0, ю(X, 0, т) = 0,дш(Х,0,т) = 0 7 а Y
у = Ь: ае(х, ь,т) = 0 аю(х, ь,т) = 0 а^(х, ь,т) = 0
: aY , а Y , aY
где I — расстояние от начала канала до нижнего источника тепла, Яе = uH/v — число Рейнольдса. Значения вихря скорости на стенках ю(0, У, т) и ю (H, У, т) определялись по формуле Вудса [16]. В начальный момент времени ю(Х, У, 0) = ц(Х, Y, 0) = = 9(Х, У, 0) = 0.
А л А I А V 1 ! ч 1 1
а б в д е
Фиг. 1. Температурные поля (а—в) и поля течений (г-е) при Яе = 5, Ог = 105: й = 0 (а, г), а = Н (б, д), а = 2Н (в, е)
Задача решается методом конечных элементов Галеркина (слабая формулировка). Температура, вихрь скорости и функция тока аппроксимируются линейной комбинацией не зависящих от времени функций формы на линейных треугольных конечных элементах. Для временной аппроксимации используется неявная двухслойная схема. Стационарные решения получены методом установления, путем решения нестационарной задачи (1.1)—(1.3). Критерий установления — неравенство
|пк+1 пк| I к+1 к\ I к+1 к|
Рт - Нт + |®т - ®т| + ¥т - ¥т < £
где 9т, ют, цт — экстремальные значения температуры, вихря скорости и функции тока. Индекс k — номер шага по времени, значение б варьируется в интервале 10—5—10—6. Расчеты проведены на неравномерной сетке с общим числом узлом 25 х 86, где разбиения вблизи источников тепла (25 х 13) фиксированы, а разбиения в остальных расчетных подобластях соответствуют изменениям расстояния между источниками. Шаг по времени 10—3.
2. Обсуждение результатов. Конвективное течение, обусловленное взаимодействием подъемной силы и внешнего градиента давления, показано на фиг. 1. Линиями на стенке отмечены нагреваемые участки. Влияние подъемной силы приводит к возникновению вторичного течения в виде поперечного вихря, деформированного вдоль оси канала и смещенного к изотермической стенке. Его интенсивность растет с увеличением Ог и уменьшается с ростом Яе (фиг. 2). При увеличении расстояния d между источниками тепла интенсивность вторичного вихря падает.
Зависимости Ц^) на фиг. 2 немонотонны и имеют небольшой локальный экстремум при d = 2^ На кривых 1, 2 экстремум незаметен вследствие малости величин С ростом числа Рейнольдса экстремум исчезает. На кривых фиг. 3, где показаны изменения максимальной безразмерной температуры также существует локальный экстремум при d = 2^ исчезающий с ростом интенсивности внешнего течения. Максимальная температура уменьшается с увеличением расстояния d. Небольшое нарастание максимума температуры при d = 2H обусловлено действием подъемной силы и,
Фиг. 2. Зависимости интенсивности вторичного течения ут от расстояния ¿1 между источниками тепла при Яе = 0: 1-3 - Ог = 102, 103, 104; 4 - Яе = 3, Ог = 104, 5 - Яе = 5, Ог = 104
Фиг. 3. Зависимости максимума температуры 9т от расстояния ¿1 при Яе = 0: 1-3 -Ог = 102, 103, 104; 4 - Яе = 5, Ог = 104, 5 - Яе = 10, Ог = 104
по-видимому, связано с изменением структуры конвективного течения. Как показано на фиг. 1, е, ядро вторичного вихря разделяется при расстоянии между источниками тепла, равном 2Н.
Следует отметить также (фиг. 2 и 3), что при слабой конвекции величины 9т и цт мало зависят от числа Грасгофа. В частности, кривые 1, 2 на фиг. 3 практически совпа-
Фиг. 4. Изменения максимума температуры 9т от расстояния С при Ог = 0: 1—3 — Яе = 0, 5, 10; 4 - Ог = 103, Яе = 0
дают, кривая 3 заметно отличается от них лишь при достаточном расстоянии между тепловыми источниками С > Н.
Фигура 4 иллюстрирует изменения максимальной безразмерной температуры при увеличении расстояния С в случае только вынужденного течения. Здесь максимальная температура монотонно уменьшается с ростом величины С. Для сравнения на фиг. 4 приведены режимы теплопроводности (1) и слабой конвекции (4), показывающие, что возникновение ослабленной конвекции тем ни менее существенно уменьшает максимальную температуру стенки.
Изменения температуры нагреваемой стенки канала в зависимости от расстояния между источниками тепла для двух предельных случаев естественной и вынужденной конвекции показаны на фиг. 5 и 6, выделен случай С = 0(1). Увеличение расстояния С для Яе = 0 (фиг. 5) уменьшает максимальную температуру. При этом максимум температуры перемещается с верхнего источника тепла на нижний в интервале Н < С < 2Н. Следует отметить нарастание температуры стенки выше нагреваемых областей (при у > 0.7Х для Ог = 103) с ростом С. Для вынужденной конвекции (фиг. 6) увеличение С также снижает максимальную температуру, но экстремум температуры расположен в области верхнего источника тепла при любых значениях Яе.
Заключение. Влияние выталкивающих сил на вынужденное течение воздуха в вертикальном канале с двумя локальными источниками тепла на одной из плоскопараллельных стенок приводит к возникновению вторичного течения в форме поперечного вихря. Его интенсивность изменяется в зависимости от значений чисел Грасгофа и Рейнольдса и от расстояния между источни
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.