Письма в ЖЭТФ, том 101, вып. 3, с. 185-189 © 2015 г. 10 февраля
Смешанное состояние и намагниченность тонкой сверхпроводящей (II рода) пленки в параллельном магнитном поле: вариационный
метод учета кора вихря
К. С. Пиг&льский ^ Институт химической физики им. Семенова РАН, 119991 Москва, Россия
Поступила в редакцию 10 ноября 2014 г.
После переработки 5 декабря 2014 г.
Для тонкой сверхпроводящей пленки (параметр Гинзбурга-Ландау к 1) в параллельном поверхности магнитном поле проведены расчеты равновесной вихревой структуры и намагниченности, учитывающие пространственное изменение параметра порядка в коре вихря с помощью вариационной функции. Вариационный метод позволяет более точно, по сравнению с лондоновским приближением, учесть собственную энергию вихря (включая ее изменение при увеличении плотности вихревой решетки), межвихревые взаимодействия и взаимодействие с поверхностью. Получена формула, определяющая поправку к лондоновскому выражению для потока вихря в пленке. Сравнение результатов расчетов в этих моделях показывает, что учет структуры кора вихря становится важным, если толщина пленки й < 50£. Для таких тонких пленок обнаружен новый размерный эффект, проявляющийся в существенном различии намагниченностей пленки и бесконечного образца в области полей 0.08НС2 < Н < 0.5НС2. Показано также, что при уменьшении й вплоть до величины й = 10£ расщепление центрального вихревого ряда происходит как фазовый переход второго рода.
БО!: 10.7868/80370274X15030078
1. При формировании смешанного состояния в тонкой сверхпроводящей (II рода) пленке, толщина с1 которой порядка или меньше лондоновской глубины проникновения А, помещенной в параллельное поверхности магнитное поле Н, существенным является взаимодействие вихрей с поверхностью. Проявление размерных эффектов в такой системе впервые изучалось в [1]. В ней было найдено первое критическое поле Нс 1 (с/), в котором становится энергетически выгодным образование вихревой цепочки в центре пленки. Дальнейшие исследования [2-9] показали, что с увеличением Н центральный ряд расщепляется на два. Далее происходит последовательное увеличение количества вихревых рядов Ж, сопровождающееся резкой перестройкой вихревой структуры. Найдены значения полей образования Ж-го ряда. Возникающие при этом особенности на полевых зависимостях намагниченности рассчитаны в [1, 4, 6, 8]. Все эти работы были выполнены в рамках лондоновского приближения (ЛП), в котором пренебрегается структурой кора вихря, в частности пространственным изменением параметра порядка вблизи его сердцевины.
В [10] также в рамках ЛП было установлено, что расщепление центрального ряда в поле Hможет происходить как структурный фазовый переход первого (а не второго) рода, если величина t = d/X меньше критического значения tcr, при котором толщина пленки оказывается довольно малой (d « 15£, где £ -длина когерентности).
С уменьшением d величины полей Hувеличиваются и при d < А могут значительно превышать первое критическое поле бесконечного сверхпроводника H с i(oo). Анализ различных моделей для описания смешанного состояния бесконечного сверхпроводника, проведенный в [11-13], показал, что даже для сверхпроводников с параметром Гинзбурга-Ландау к > 1 применимость ЛП ограничена полями в несколько Нсi(oo). В больших полях необходимо учитывать структуру кора вихря. Одним из подходов, позволяющих избежать сложной процедуры численного решения системы уравнений Гинзбурга-Ландау, является использование для описания пространственного изменения модуля параметра порядка вблизи сердцевины вихря вариационной функции, предложенной в [14]:
--г = fcoP цч
Чe-mail: pigalskiy@chph.ras.ru ^ (^2 £2 ^ 1/2 ' ^ '
186
К. С. Пигальский
Здесь р - расстояние от центра вихря, и }00 - вариационные параметры (эффективный радиус кора и параметр порядка вдали от сердцевины вихря), значения которых находят из условия минимума термодинамического потенциала. В частности, для изолированного вихря ^о — \f2jn (при к ^ 1), /оо = 1. Данный вариационный метод (ВМ) позволяет более точно по сравнению с ЛП рассчитать поле вихря, а следовательно, и межвихревые взаимодействия, а также учесть изменение собственной энергии вихря в полях Н Нс 1(00), в которых начинает проявляться перекрытие коров вихрей. В результате применения ВМ удалось получить формулу для намагниченности бесконечного сверхпроводника во всей области магнитных полей Нс 1(00) < Н < Нс2 (где Нс2 - второе критическое поле) [11, 12].
В настоящей работе вариационный метод впервые применен для расчета равновесной вихревой структуры и намагниченности для тонкой сверхпроводящей пленки (с1 < А, к 1). Проведено сравнение результатов, получаемых вариационным методом и в лондоновском приближении. В частности проведен анализ влияния точности расчетов на вид структурного перехода при расслоении центрального вихревого ряда.
2. Будем проводить расчеты в общепринятой геометрии [15, 16], в которой ось г направлена вдоль внешнего поля, а поверхности пленки совпадают с плоскостями х = ±¿/2. Ряды вихрей параллельны друг другу и поверхности и расположены симметрично относительно оси пленки (х = 0). Расстояние между вихрями а вдоль всех рядов одинаково, причем в соседних рядах позиции вихрей смещены на а/2. В соответствии с [16] плотность энергии Гиббса пленки имеет вид
С =
ас1
N
Е
П=1
2тг
е0 Н--Ьп(0) - 21гфу(хГ1
(2)
Здесь и далее используются безразмерные единицы Гинзбурга-Ландау: все длины измеряются в А, магнитное поле - в л/2Нс, где Нс - термодинамическое критическое поле (в этих единицах квант магнитного потока фо = 27г/к, Нс2 = к).
Собственная энергия вихря ео (первый член в (2)) складывается из энергии, связанной с подавлением параметра порядка в коре вихря, и его собственной электромагнитной энергии. Второй член в (2) -электромагнитная энергия межвихревых взаимодействий, которая определяется полем в центре вихря
Ь„(0) в п-м ряду [15], создаваемым другими вихрями и полной системой изображений:
Ь„(0) =
N оо
Е Е'
р= 1 к,т= — оо
(3)
где
Рп,р,к,т — ^ [к(1 + ( — 1)кХр — Жп] +
1_4 -(-1)р_п!
1/2
Хг - координата г-го ряда, штрих у знака суммирования означает, что опущен член с к = то = 0 при р = п (собственное поле вихря в его центре уже учтено в бо)- Третий член в (2) описывает взаимодействие пленки с внешним магнитным полем, фу(хп) - поток вихря в п-м ряду.
Формулы для расчета величин, входящих в выражение для энергии Гиббса, в случае лондоновского приближения хорошо известны (см., например, [16]):
ДЬА)
2тг
= —2 (1п К + С*1)
(4)
(постоянная С1 не может быть определена в рамках ЛП, ее значение С1 с; 0.5 было вычислено в [17]),
Ъ™(р) = -К0{р), к
где Кг - функция Макдональда г-го порядка,
с11ж„
ф^\хп) = ^ к
1 -
сЦ(1/2)
(5)
(6)
Рассмотрим последовательно соответствующие выражения, получаемые в вариационной модели. Собственная энергия и поле вихря были рассчитаны в [11]. В дальнейшем ограничимся областью полей Н < 0.5НС2, в которой перекрытие коров вихрей невелико и можно полагать = 1 [11]. В этом приближении формула для собственной энергии вихря значительно упрощается и имеет вид
(УМ) _ тгЙ , ,
~ 2 +2«2 + к^К^У
(7)
а поле вихря (получаемое путем подстановки вариационной функции (1) во второе уравнение Гинзбурга-Ландау) определяется выражением
ем)ы
^(ТТ+й)
(8)
Отметим, что при = £г,п функция (8) хорошо описывает результаты численного решения системы уравнений Гинзбурга-Ландау вблизи сердцевины изолированного вихря [13]; магнитный поток, создаваемый ЬуУМ') в бесконечном сверхпроводнике, точно равен фо; выражение для переходит в (5) в пре-
деле —>• 0.
Как известно, лондоновское выражение (5) для Ь^А\р) плохо описывает поле вихря вблизи его сердцевины (расходясь на его оси), что может приводить и к неточности формулы для потока вихря (6) в случае достаточно тонких пленок. До настоящего времени вопрос границ применимости (6) не рассматривался. Рассчитаем поток изолированного вихря, смещенного на расстояние и от оси пленки, используя более точное выражение (8). Поле, создаваемое вихрем, с учетом его изображений имеет вид
ем) (х,У)
1
Е
к= — с
Ко 10Ы+(-1)^,-.г-р+у2+£21 .
(9)
Выполнив преобразование Фурье по координате х (используя приемы и формулы, подобные приведе-ным в приложении к работе [12]) и проведя интегрирование по площади пленки, в итоге получим
ф^м) = ф^А) - Афу.
(Ю)
Поправка Афу к лондоновскому выражению для потока вихря имеет вид быстро сходящегося ряда:
Афу = — Т эй
й=0
тт(2к+!)(<!-2и)'
(2к + 1)г(к)2
1 -
2с1
z(k)K1\$vz(k)}
К1&)
(П)
где г(к) = VI + [^(2А-+ 1)/й]2.
На рис. 1 приведены результаты расчета Афи, нормированной на ф1, , в зависимости от положения вихря для пленок разной толщины. Отметим, что для тонких пленок с одинаковым значением с!,/^ величина Афу /ф^^ слабо зависит от к при к > 1. Несмотря на то что поправка довольно мала, при малой толщине пленки она оказывается существенной, поскольку при этом мала и величина потока вихря. Особенно сильно учет поправки сказывается при расчетах намагниченности М пленки:
4тг М = 1г
2 , Л - Ш -
с1 V 2
- 1
1
ас1
N
фг, (а
(12)
п= 1
0.50
Рис.1. Относительная величина поправки Афг, к лондоновскому выражению для потока вихря в пленке ф„ в зависимости от положения вихря при разной толщине пленки й. Штриховая линия - граница пленки
В полях Н Нс 1 намагниченность является разностью двух близких величин В и Н, и вследствие этого очень чувствительна к точности расчетов.
3. Применим оба рассмотренных подхода для расчета вихревой структуры и намагниченности для пленки с к = 100 и с1 = 0.25 (что соответствует с1 = 25£), ограничиваясь числом рядов N < 5. Такая толщина пленки была подобрана из условия, что поля образования пяти рядов лежат в области Н < 0.5НС2 (т.е. можно полагать, что = 1). С другой стороны, в этой области полей уже ярко проявляются все особенности, связанные с учетом кора вихря. На рис. 2 представлены полевые зависимости параметров вихревой структуры (положений рядов хп и расстояния между вихрями вдоль рядов о), отвечающие условию минимума энергии Гиббса, как в ЛП, так
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.