621.196.96
Снижение погрешностей измерений временных параметров когерентных сигналов с помощью
фильтров сжатия
Л. А. ЛИТВИНЧУК, Т. П. МИШУРА
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения, С.-Петербург, Россия, e-mail: llalexandr@mail.ru,
t_mishura@mail. ru
Получено выражение для спектральной характеристики сигнала, оптимального с точки зрения измерений задержки и разрешения коррелированных сигналов. Синтезирована оптимальная частотная характеристика фильтра, позволяющего сжать отклик выходного сигнала по сравнению с шириной его автокорреляционной функции. Методами математического моделирования исследованы зависимости частотных и временных характеристик сигналов от параметров фильтра сжатия. Показано, что наилучшие свойства, позволяющие уменьшить погрешность при измерении временных параметров, имеют сигналы в форме экспоненциальных импульсов.
Ключевые слова: временное положение сигналов, сверхрелеевское разрешение по времени, обработка сигналов.
An analytical expression for spectral characteristics of the signal, optimal in respect to delay measurements and correlated signals resolution, is obtained. The optimum frequency characteristic of the filter allowing to compress the feedback of output signal as compared with the width of its autocorrelation function has been synthesized. By means of mathematical modeling methods the frequency dependence and temporal characteristics of signals from the compression filter parameters have been studied. It is shown that the best properties allowing decrease the measurement error of temporal parameters have the signals in form of exponential pulses.
Key words: temporal position signals, Rayleigh super resolution in time, signals processing.
Предложенный в [1] и уточненный в [2] алгоритм разрешения нескольких когерентных источников сводится к поиску максимума функционала правдоподобия в многомерном пространстве. Этот алгоритм наиболее целесообразно применять, когда спектр временных или пространственных частот сигнала принципиально ограничен в передающем или приемном устройствах. Кроме того, несмотря на эффективность, такой способ разрешения сложен для практической реализации. Для сигналов с достаточной для требуемого разрешения шириной спектра предпочтителен метод обработки, при реализации которого разрешение источников сигнала по дальности достигается сжатием принимаемых сигналов во временной области в линейном фильтре. Классический вариант этого метода — использование согласованного фильтра (СФ) [3] — нашел широкое применение во многих областях современной техники: радиолокации, радионавигации, связи, акустике и т. д. Синтез СФ основан на поиске такой частотной характеристики (ЧХ), которая позволила бы максимизировать отношение сигнал — шум на выходе. Поэтому предел разрешения, характерный для СФ, является пределом Рэлея, а СФ не создан специально для получения сверхвысокого разрешения. В радиолокации существуют задачи, требующие сверхрэлеевского разрешения, — это обнаружение и распознавание протяженных и групповых объектов [4]. Для них обнаружение и измерение дальности до отражательного центра подвижных объектов на больших расстояниях уместно проводить с помощью длинных импуль-
сов, а определение отдельных составляющих элементов внутри объекта по мере уменьшения расстояния до него — с помощью дополнительного сжатия принятых сигналов. При радиолокации одиночных объектов также целесообразно использовать увеличение отношения сигнал — шум по мере приближения объекта с целью повышения точности определения его координат. Аналогичные задачи возникают в системах связи при приеме сигналов на фоне взаимных активных помех и отражений от земли и наземных объектов.
Откпик на выходе СФ имеет вид автокорреляционной функции (АКФ) входного сигнала по измеряемому параметру. Принято считать, что точность измерения параметра определяется в основном шириной АКФ и отношением сигнал— шум. Однако при измерениях дисперсия оценки временного параметра сигнала в большой степени зависит от второй производной в максимуме выходного отклика устройства обработки. Поэтому среди нескольких сигналов с одинаковой шириной АКФ и одинаковым отношением сигнал — шум наибольшую точность оценки и разрешающую способность будет иметь сигнал с максимальной по абсолютному значению второй производной. Кроме того, для получения однозначной оценки необходимо, чтобы вторая производная имела единственный экстремум или дополнительные экстремумы были существенно меньше основного. Это условие эквивалентно отсутствию боковых лепестков в выходном отклике или их низкому уровню.
Определим форму и частотную характеристику сигнала, удовлетворяющего указанным требованиям. Запишем выражение для АКФ сигнала
B(т) = 2П i S(œ)|2 eiœT dœ,
где т — оцениваемый параметр сигнала (положение максимума АКФ на временной оси); | ¿(ю) |2 — квадрат модуля спектральной характеристики сигнала; ю — спектральная частота.
Получим вторую производную АКФ по временному параметру:
B'' ( т) = - 2п i
œ2 S (œ)|2 eiœT
dœ.
В идеальном случае эта производная должна быть равна дельта-функции Дирака на временной оси. Для выполнения данного условия необходимо, чтобы - œ2 I S(œ) |2 = - œ-2 или S(œ) = (iœ)-1.
Таким образом, спектр сигнала, позволяющего получить высокое разрешение, — спектр функции Хэвисайда, имеющей вид ступеньки на временной оси, а его АКФ представляет функцию, линейно возрастающую на участке 0] и линейно спадающую на [0, Такая АКФ не имеет боковых лепестков, и вторая производная равна дельта-функции. Однако физическая реализация такого сигнала невозможна, поскольку он имеет бесконечную энергию. Наиболее близким физически реализуемым сигналом, удовлетворяющим приведенным выше требованиям, является сигнал с частотной характеристикой S(œ) = 1/(1 + iœ), т. е. экспоненциальный импульс вида
s (t ) =
t < 0;
0, t > 0.
Тогда АКФ экспоненциального сигнала определяется выражением В (т) = е-|т| (рис. 1). На указанном рисунке также приведены для сравнения АКФ прямоугольного и коло-колообразного импульсов и сигнала с линейно-частотной модуляцией (ЛЧМ).
Энергия экспоненциального сигнала конечна, боковые лепестки отсутствуют, и вторая производная в максимуме соответствует дельта функции. В реальных устройствах обработки дельта-функция превратится в конечный по длительности и амплитуде импульс, но указанный сигнал из всего возможного набора будет иметь наилучшие свойства, позволяющие уменьшить погрешность при измерении временных параметров. Заметим, что следующим по близости характеристик к оптимальным является сигнал в виде прямоугольного импульса. Однако АКФ такого сигнала имеет три точки разрыва — в начале, максимуме и конце. Это вызывает появление трех выбросов второй производной и, следовательно, может привести к неоднозначности измерения (получению трех сигналов вместо одного, причем двух из них — ложных).
Для достижения необходимой точности оценки или разрешения по заданному параметру достаточно выбрать соответствующую ширину АКФ и обеспечить требуемое отно-
Рис. 1. Автокорреляционные функции для разных сигналов: 1 — ЛЧМ; 2 — экспоненциального; 3 — прямоугольного; 4 — колоко-лообразного
шение сигнал — шум. Уменьшение ширины АКФ при сохранении отношения сигнал — шум для простых сигналов и сложных с малой базой может привести к недопустимо высокой пиковой мощности сигнала. Поэтому ширину АКФ необходимо выбирать из условия физической реализуемости сигнала для передачи и приема информации на максимальной дальности, а требования к точности оценки и разрешения выполнять методами измерений внутри области разрешения по Рэлею или сверхвысокого разрешения. Сверхвысокое разрешение при сохранении основной идеи рассматриваемого метода можно получить, отказавшись от согласованной фильтрации принимаемого сигнала и перейдя к его обработке в линейном фильтре сжатия.
Определим оптимальный фильтр сверхвысокого разрешения сигналов следующим образом. Найдем ЧХ фильтра, обеспечивающего минимум среднего квадратического отклонения, которое складывается из средней погрешности отклонения сигнала на выходе фильтра от желаемого отклика и погрешности, обусловленной шумом. Решим задачу для случая одного сигнала. В качестве желаемого отклика фильтра выберем дельта-функцию, задержанную на время запаздывания сигнала т1, с амплитудой, равной амплитуде сигнала. Представим комплексную ЧХ оптимального фильтра в виде
H (iœ) = |H| e
¡Ф (œ)
Дисперсия погрешности
Д= M S (iœ)H ei(p(œ) - a-, e-iœTi + |H|2 N0 / 2 dœ,
(1)
где ¿1(|ю) = а1 S(|ю)е |ют1 — комплексный спектр сигнала
с учетом времени запаздывания т1 и амплитуды а1;
£> (|ю) = ¿| е- |фс (ю) — нормированный комплексный спектр
сигнала; М0 — спектральная плотность мощности белого шума.
Минимизируем А, т. е. подынтегральную функцию в выражении (1). Подставив ¿1 (1ю) в (1), получим
la,2 ||S|| H e-i((p(œ) + ^(œ)) -1|2 + |h| 2 N0/2.
После дополнительных преобразований с учетом условия минимума
H = S
N0 12 a
Ф (ю) = - фс (ю) ,
найдем окончательное выражение для оптимальной комплексной ЧХ фильтра сжатия (ФС):
HОю)= S
&* (l S 2 + е2)
(2)
увеличивать его энергию за счет увеличения длительности. Полосу частот и энергию сигналов выбираем таким образом, чтобы ширина АКФ по уровню 0,5 совпадала, а амплитуды были нормированы.
Рассмотрим случай, когда ЧХ соответствует экспоненциальному сигналу:
S (ю)|2 = S (ю)|2,
S (ю)|2 + е2
) = (
= (1 + е2 + ю2е2) 1g
(l + е2ю2)-1,
(4)
где S (¡ю) = |S| e
¡Фс (ю)
комплексно-сопряженный норми-
рованный спектр сигнала;
е2 = N0/
2 laif ) = 9сф — пара-
метр сжатия, обратный отношению сигнал — шум на выходе СФ.
Если в (2) е2 = д^ф , то на выходе ФС получим оптимальное сжатие. Однако для этого необходимо знать отношение сигнал — шум, как правило, неизвестное. В связи с этим исследуем зависимость характеристик разрешения на выходе ФС от параметра сжатия е2. Для анализа формы сигнала на выходе фильтра сжатия в зависимости от спектра входного сигнала и параметра сжатия запишем выражение для выходного отклика
к(t-т е) = I
S (ю )|
2jm (t
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.