КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
534.833.5
СОБСТВЕННАЯ ЧАСТОТА РЕЗОНАТОРА ГЕЛЬМГОЛЬЦА НА СТЕНКЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО КАНАЛА © 2014 г. А. И. Комкин*, М. А. Миронов**, С. И. Юдин*
*Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана 105005 Москва, ул. 2-я Бауманская 5 E-mail: akomkin@mail.ru **Акустический институт им. Н.Н. Андреева 117036 Москва, ул. Шверника 4
E-mail: mironov@akin.ru Поступила в редакцию 18.06.2013 г.
Проведена оценка собственной частоты резонатора Гельмгольца на стенке прямоугольного канала. Особое внимание уделено определению присоединенной длины горла резонатора со стороны канала. Проанализирована зависимость присоединенной длины горла и собственной частоты резонатора Гельмгольца от конфигурации канала. Проведено сравнение полученных теоретических результатов с данными численных расчетов методом конечных элементов.
Ключевые слова: канал, резонатор Гельмгольца, присоединенная длина, собственная частота, расчет, метод конечных элементов.
DOI: 10.7868/S0320791914020105
УДК
Резонатор Гельмгольца относится к наиболее распространенным элементам глушителей шума. В простейшей модели резонатора Гельмгольца полагается, что характерные размеры резонатора много меньше, чем длины волн в рассматриваемом частотном диапазоне. При этом такой резонатор можно рассматривать как аналог простой механической колебательной системы. Расчету резонатора Гельмгольца посвящено достаточно большое количество публикаций, в которых рассматриваются различные связанные с этим вопросы [1—5]. В первую очередь к ним относится оценка собственной частоты резонатора.
Изначально Гельмгольц предложил оценивать собственную частоту/0 такого резонатора следующей формулой: /0 = (с/2Пц/й0\V, где с — скорость звука в среде; й0, V — соответственно диаметр (эквивалентный диаметр) горла и объем резонатора. Однако проведенные экспериментальные исследования показали, что собственная частота резонатора Гельмгольца, помимо этих параметров, определяется также и инерцией движущегося в горле резонатора воздуха. Релей ввел понятие присоединенной длины горла, при этом формула для/0 приводится к виду /0 = (с/2тс)-у/Л'0/¡V, где — площадь поперечного сечения горла резонатора; ¡С = I + ¡1 + ¡е — эффективная длина горла резонатора, определяемая, помимо действительной длины горла ¡, присоединенными длинами горла с внутренней ¡1 и внешней ¡е стороны резо-
натора. Дальнейшее уточнение оценки для собственной частоты резонатора Гельмгольца может быть получено, если оболочка резонатора представляет собой цилиндр с площадью поперечного сечения и длиной Ь. При этом, согласно [6], собственная частота такого резонатора /0 = (с/2тс)д/Л0/(1(У + Х2Л0/3). Заметим, что уточнения, даваемые последней формулой, становятся заметными, когда длина резонатора превышает его поперечные размеры.
Вместе с тем основная проблема, связанная с оценкой собственной частоты резонатора Гельм-гольца, так или иначе сводится к корректному определению присоединенной длины горла резонатора. Внутренняя присоединенная длина горла резонатора ¡1 достаточно хорошо исследована, и здесь, прежде всего, следует отметить классическую работу Ингарда [7]. Эта присоединенная длина может быть определена следующим низкочастотным приближением:
¡1 = а(1 -р*) ¿„/2, (1)
где а, в — константы; * = ^Л0/Л. Входящий в (1) коэффициент а зависит от длины горла I и, как показали результаты конечно-элементного моделирования конкретных конфигураций резонатора [8], принимает значения: а = 0.808 при I = 1 мм, а = 0.815 при I = 2 мм и а = 0.820 при I = 5 мм. При дальнейшем увеличении ¡, как показывают аналитические расчеты [9], а ^ 0.822. Что касается
145
2*
£
Ь
оси симметрии стороны Ь прямоугольного канала, следующей формулой:
I.е =
т=0 п=0 ктп ^
1 -
$,т(пп! Ь) пп/ Ь
/а
(2)
пк„
/а) -ПК
1—-е
Рис. 1. Резонатор Гельмгольца на стенке прямоугольного канала.
коэффициента в, то при длине горла I > 1 мм следует принимать в = 1.34.
Для наружной присоединенной длины горла резонатора в настоящее время используются различные оценки, и единой позиции по этому вопросу до сих пор не выработано. Обычно [10, 11] в качестве оценки внешней присоединенной длины резонатора берется присоединенная длина для отверстия диафрагмы, установленной в поперечном сечении бесконечно длинного канала. Но если отверстие размещено не на поперечной перегородке, а на боковой стенке канала, то присоединенная длина такого отверстия может существенно изменяться. Однако до сих пор не дано аналитической оценки внешней присоединенной длины резонатора на стенке канала, что затрудняет определение с приемлемой для практических целей точностью собственной частоты резонатора в такой системе. Решению данного вопроса и посвящена настоящая работа.
Рассмотрим прямоугольный канал со сторонами а и Ь, на стенке со стороной Ь размещен резонатор Гельмгольца с цилиндрическим объемом с площадью поперечного сечения £ и длиной Ь, соединяющимся с каналом через горло с поперечным сечением и длиной I (рис. 1). В основу данного рассмотрения положены результаты, полученные авторами в [12] при определении импеданса излучения прямоугольного поршня на стенке прямоугольного канала, где, в частности, дана оценка присоединенной длины для такого поршня. Задача решается в линейной постановке в пренебрежении вязкостью и теплопроводностью среды. Эти результаты, в предположении, что движение воздуха в горле резонатора можно считать поршневым, позволяют описать наружную присоединенную длину горла резонатора, расположенного на
где е0 = 1, еу- = 2 при ] Ф 0; ктп = д/т2 + (па/Ь)2;
а = 2а/й; Ь = 2Ь/й; d — поперечный размер горла резонатора, а штрихи у знаков суммы означают, что из суммирования исключается слагаемое с т = п = 0. Формула (2), полученная при условиях низкочастотного приближения, в представленном виде соответствует резонатору с горлом квадратного поперечного сечения. Она также может быть применена и для резонатора с горлом круглого поперечного сечения диаметром d0, если положить в ней й = й0/42.
На рис. 2а представлены вычисленные в соответствии с (2) зависимости относительной присоединенной длины круглого горла резонатора
1е = 21е/й0 от конфигурации прямоугольного канала. Вычисления проводились в среде MathCAD с конечным числом членов ряда М. Для получения достоверных результатов, особенно при небольших диаметрах горла резонатора, это число должно быть достаточно большим. Так при d0/b = 1 достаточно принять М = 100, и дальнейшее увеличение М не приводит к видимым изменениям соответствующего графика на рис. 2. При уменьшении отношения d0/b до 0.05 последнее условие обеспечивается уже при М= 500. Представленные графики показывают, что при малых относительно стенки канала диаметрах горла ^0/Ь = 0.05) внешняя присоединенная длина горла практически не зависит от ширины канала Ь. Ее значение приблизительно равно значению присоединенной длины отверстия в бесконечном экране (1е « 0.82), однако в общем случае зависимость присоединенной длины горла резонатора 1е от ширины канала весьма существенна. Характерной особенностью этой зависимости является то, что при постоянной ширине канала Ь уменьшение его высоты а приводит к уменьшению присоединенной длины горла 1е. При этом чем больше размер поршня, тем значительнее зависимость 1е от высоты канала. В максимальной степени эта зависимость проявляется, когда диаметр горла становится равным ширине канала ^0/Ь = 1). Следствием этой особенности является также то, что рассматриваемые кривые пересекаются, что имеет место в окрестности значения а/Ь = 2.5.
Следует отметить, что представленные на рис. 2а зависимости присоединенной длины горла резонатора от конфигурации канала довольно сложно ап-
I
а
Ь
е 1.2
е 1.0
0 1 2 3 4 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
а/Ь й0/Ъ
Рис. 2. Зависимости внешней присоединенной длины горла резонатора Гельмгольца от конфигурации канала.
проксимировать простыми аналитическими выражениями. Вместе с тем, если перестроить эти графики в виде зависимости присоединенной длины от отношения й0/Ь, как это представлено на рис. 2б, то эти зависимости при й0/Ь < 0.4 можно считать линейными, характеризуемыми прямыми линиями. Каждому значению а/Ь, будет соответствовать определенный наклон прямой. При этом точка пересечения этих прямых соответствует значению ¡е « 0.82.
Далее полученные результаты были использованы для оценки собственной частоты резонатора Гельмгольца с цилиндрической камерой круглого поперечного сечения диаметром Б = 70 мм, длиной Ь = 60 мм и горлом диаметром й0 = 20 мм, длиной I = 2 мм. В соответствии с приведенным выше обзором собственная частота такого резонатора может быть выражена следующей формулой [8]:
1
/о
(3)
/1(1 + I + ¡е + Ь* 2/з) Черта над обозначениями означает, что эти величины нормированы относительно диаметра горла й0. Присоединенные длины горл резонатора в формуле (3) определялись с помощью формул (1) и (2). На рис. 3 представлены зависимости собственной частоты резонатора Гельмгольца от конфигурации канала. Представленные кривые являются, по сути, перевернутыми кривыми, отображающими на рис. 2а зависимость внешней присоединенной длины горла резонатора от конфигурации канала. Как и ранее, в случае, когда диаметр горла соизмерим с шириной канала, собственная частота резонатора существенным образом меняется с изменением высоты канала а. Если принять внешнюю присоединенную длину горла равной присоединенной длине соответ-
ствующего отверстия в бесконечном экране, то собственная частота резонатора 485 Гц. На самом деле в зависимости от конфигурации канала собственная частота резонатора может быть как меньше, так и существенно больше этой величины. Заметим, что представленные данные соответствуют небольшой длине горла резонатора (I =2 мм). С увеличением длины горла зависимость собственной частоты резонатора от конфигурации канала будет уменьшаться, но, тем не менее, она должна приниматься во внимание.
С целью проверки достоверности полученных аналитических результатов было выполнено конечно-элементное моделирование рассматриваемой сист
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.