ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 78. Вып. 4, 2014
УДК 517.958:539.3(1):539.3(2):535.4
© 2014 г. С. А. Назаров
СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ СЛАБОИСКРИВЛЕННОЙ ИЗОТРОПНОЙ ПОЛОСЫ, ЗАЖАТОЙ МЕЖДУ АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИМИ ПРОФИЛЯМИ
Исследуется прохождение упругих волн по изотропной однородной полосе, искаженной на конечном участке и зажатой без трения и отрыва между двумя абсолютно жесткими профилями. Установлено, что подбором формы искривленных сторон можно добиться появления собственной частоты, сопровождающейся захватом упругой волны. Результат основан на асимптотическом анализе вспомогательного объекта — расширенной матрицы рассеяния, который ранее проводился исключительно для скалярных задач.
1. Захваченные упругие волны. Цель работы — найти собственные частоты упругой изотропной однородной полосы
ПН = {х = (хь х2)х е К, -1 - НИ-(х1) < х2 <1 + НИ+(х1)} (1.1)
с искривлением на конечном участке (-1,1) э Х1, I > 0. Здесь Н < 1 — малый положительный параметр и И± — гладкие функции, И±(х1) = 0 при |х1| > I. Вне возмущенной части полоса (1.1) имеет единичную ширину, т.е. произведено масштабирование, а все геометрические параметры и декартовы координаты х сделаны безразмерными.
Уравнения гармонических во времени колебаний полосы имеют вид
-д1ау1(ыН) -д2Оу2(ыН) = рщ1ыНу в ПН, у = 1,2 (1.2)
При этом шН > 0 — частота, ыН = (ЫН, ыН) — вектор смещений, аук и 8ук — декартовы компоненты тензоров напряжений и деформаций
1 д
а ук = 2^8 ук + ^8 у к (8П + е 22), е ук = - (д уЫк + д кЫу), д к = —
2 дхк
8 укк — символ Кронекера, а ^ > 0, ц > 0 и р> 0 — постоянные Ламе однородного изотропного упругого материала и его плотность. На сторонах
Е± = {х : х1 е Я, х2 = ±1 ± НИ±(х1)}
полосы П назначены известные [1, 2] линеаризованные условия Синьорини, описывающие идеальный (без отрыва и трения) контакт с абсолютно жесткими профилями:
ы\ = 0, а Н Н(ын) = 0 на Е± (1.3)
П П 5 4 7 ± у/
В них фигурируют нормальное смещение и касательное напряжение, а также единичный вектор внешней нормали:
к к к , к к ,, кч2 / кч2Ч к к, ч V = «1 «1 + «1 «2, V/ = ((И2> - («1) )^12 + «1 «2(^11 -СТ22) (1.4)
ик(х!) = (и^), «2к(х!)) = (1 + к2|51Я±(х1)|2)-1/2 (-к51Я±(х1), ±1) на Е± (1.5)
Предельная (й = 0) задача в единичной полосе П0 = к х (-1/2,1/2) принимает вид
-д1<гл(и0)-д 2^]2(и 0) = Р®0«0 в П0, у = 1,2 (1.6)
±и0 = 0, с12(и0) = 0 на Е ± (1.7)
Вектор смещений и° = (щ, и°), подчиненный соотношениям (1.6) и (1.7), можно выразить [2, 3] формулами
«0 = д1Ф1 + д 2Ф 2, «2 = -д1Ф 2 + д 2Ф1 (1.8)
через потенциалы Ф1 и Ф2, удовлетворяющие уравнениям Гельмгольца
-ДФ1 = М1Ф1, - АФ2 = М2Ф2 в П0; М1 = (Х + 2ц)-1рю0 < Ц-1р®0 = М2 (1.9) с краевыми условиями Неймана или Дирихле
±д2Ф1 = 0, Ф2 = 0 на Е± (1.10)
Таким образом, спектр задачи (1.6), (1.7) абсолютно непрерывный (собственные частоты отсутствуют), занимает замкнутую положительную полуось К+ = [0,+да) и наследуется задачей (1.2), (1.3), претерпевающей гладкие возмущения лишь на компактном множестве. Вместе с тем, у задачи (1.2), (1.3) может возникнуть точечный спектр, составленный из собственных чисел Л к = рюк, которым отвечают собственные векторы — захваченные упругие волны, экспоненциально затухающие на бесконечности. Эти собственные числа вкраплены в непрерывный спектр и потому обладают природной неустойчивостью, т.е. малое возмущение данных задачи обычно выводит их из спектра, превращая тем самым в точки комплексного резонанса [4, 5]. Решения задач (1.9), (1.10)
Ф1(х) = С08(я/(Х2 + 1/2)), У = 0,1,2,...
Ф2(х) = ит(пк(х2 + 1/2)), к = 1,2,3,...
пересчитываются по формулам (1.8) в стоячие упругие волны и порождают пороги непрерывного спектра, среди которых выделим два:
Л0 = 0 и л! = Л2ц
Переход через порог сопровождается приращением кратности непрерывного спектра — увеличивается количество нормированных линейно независимых осциллирующих волн.
На основе понятий расширенной матрицы рассеяния [6] и принудительной устойчивости вкрапленных собственных чисел [5, 7—9] (разд. 2 и разд. 3) будет найдена форма Н± возмущения (1.1) полосы П0, обеспечивающая возникновение собственного числа
Лк =л2ц- к2Л е (0,л2ц) (1.11)
на непрерывном спектре задачи (1.2), (1.3), причем описываемый эффект околопороговой собственной частоты по причине упомянутой неустойчивости требует точной
настроики всех параметров возмущения, хотя и оставляет значительным произвол в выборе функции H± (разд. 6). На интервале (0, л2ц) при малом h кратность точечного
спектра не превосходит единицы, т.е. нулевоИ порог Л 0 в отличие от всякого положительного не способен породить собственное число (см. пояснения в [8]).
Разнообразные примеры захвата упругих волн можно наИти в монографиях [10—12] и др., где также приведены подробные обзоры литературы. Разрабатываемый в этоИ статье новый подход к построению захваченных упругих волн в принципе годится для любых физически осмысленных краевых условий на сторонах искаженной полосы (1.1), а также для пространственных цилиндрических волноводов. Линеаризованные условия контакта (1.3) выбраны для того, чтобы упростить вычисления и высветить основные моменты схемы: потенциалы фх и Ф2, фигурирующие в формулах (1.8), по существу сводят векторную задачу к двум скалярным (1.9), (1.10), но только предельную, так как при h > 0 и H± Ф 0 разделение переменных в задаче (1.2), (1.3) невозможно. Ранее этот метод применялся [5, 7, 8, 13] именно к скалярным задачам. Впрочем, существование собственных чисел, вкрапленных в непрерывный спектр симметричных упругих волноводов, было установлено [14—17] и другими математическими методами, связанными с постановкой искусственных краевых условий, но не дающими их приближенные значения. Имеется обзор результатов по численному анализу точечного спектра в плоских и пространственных цилиндрических волноводах (например, [18, 19]).
Предлагаемый алгоритм построения захваченных упругих волн может быть трансформирован в сходящуюся вычислительную схему, так как, несмотря на неустойчивость исследуемых собственных частот, имеем дело только с корректно поставленными задачами. Для облегчения аналитических выкладок собственные частоты отыскиваются в предположении симметрии волновода (1.1) относительно оси ординат, т.е.
H ±(-Xi) = H±(xi) (1.12)
Подчеркнем, что метод [14] основан на иной симметрии — относительно оси абсцисс:
H+(xi) = H_(xi) (1.13)
В данной работе равенство (1.13), наоборот, запрещено (см. комментарий к требованию (6.2).
2. Условия излучения и матрицы рассеяния. Зафиксируем какую-либо точку Лh из
первого интервала (0, п 2ц) непрерывного спектра. В прямой полосе П0 возникают две (±) осциллирующие волны
W(0±h)(x) = a0e ±la°xiw V2), W 0(x2) = ea)
h 0/ h-.-1/2 0 /Л/л , Л чч-1/2 h /л , Л \1/2 A 1/2
ao = a0(a 0) , a0 = (2(X + 2ц)) , a 0 = (X + 2ц) Л h
При этом e( j) = (8 ¿1,8 j 2) — орт оси xj. Согласно принципу Зоммерфельда, оперирую, h 0h
щему со знаком волнового числа ±a 0, волна w(±) движется вдоль полосы в направлении от + да к ±<», а соответствующие условия излучения допускают в представление упругого поля на бесконечности уходящие (out) и запрещает приходящие (in) волны, причем
w(±0ut) (x) = х ± (x1)w°±h)(x1), w°±hin)(x) = X ± (xOw^x) (2.2)
Здесь х± — гладкие срезающие функции
X±(х1) = 1 при ± х1 > I + 1, х±(х1) = 0 при ± х1 < I, 0 <Х±< 1
По-прежнему называем произведения (2.2) волнами, несмотря на присутствие множителей Х±(х1), необходимых для локализации в полуполосах П±(/) = {х: ±х1 > I, |х2| < 1/2}, так как без этих множителей одна и та же волна оказывается уходящей в одной полуполосе, но приходящей в другой.
Для определения направления распространения волн (2.2), конечно же, годится и принцип Мандельштама [20] (см. также [10], гл. 1, [21], гл. 5 и др.). Подчеркнем, что примеры [10] расхождения названных принципов относятся к первому и второму краевым условиям теории упругости, но для условий (1.3) принципы Мандельштама и Зом-мерфельда равносильны. Как было показано ([21], гл. 5), вектор Умова1 [22] направления переноса энергии соотносится с симплектической (полуторалинейной и эрмитовой) формой
1/2
б(Ы, и) = £ ± | £ (ит(±р, х2) О „1(ы;±р, х2) -О „1(и;±р, х2) ыт(±р, х2)) dХ2
± -1/2 т=1,2
Она возникает как линейный интеграл в формуле Грина для усеченного волновода ПН(р) = {х е ПН :|х1|<р}
и поэтому не зависит от параметра р > I +1 для полей и и и, удовлетворяющих уравнениям (1.2) в полуполосах П+(/ +1) и краевым условиям (1.7) на их боковых сторонах. Непосредственные вычисления показывают, что благодаря нормирующему множите-
Н
лю а0 справедливы равенства
бЦеОиф Мтои^ = бЦшф Щт^ = —у к 3)
бЦвоиф = 0 бЦшп), Мтои^ = 0
Здесь у = к = 0 и 9, т = ±, но далее списки волн и допустимых индексов будут расширены.
Итак, уходящие упругие волны м0-^) характеризуются положительной величиной
1т 0 (м, м), а приходящие м^) — отрицательной.
Каждая приходящая волна порождает решение дифракционной задачи (1.6), (1.7), отвечающее рассеянию волны на искривленных участках границы и допускающее асимптотическое представление
С(в)(х) = м(0ет)(х) + £ 5Нем(тоиц(х) + СНе)(х)' 0 = ± (2.4)
Т=±
Здесь ГН„, — экспоненциально затухающий остаток, а коэффициенты прохождения
лУ)
и отражения формируют унитарную и симметричную (но, вообще говоря, не эрмитову) (2 х 2)-матрицу рассеяния 5Н = (5^) (см. [21], гл. 5, а также, например, [7, 8]).
Помимо осциллирующих волн (2.1) в полосе П0 имеется бесконечный набор экспоненциальных волн, среди которых понадобятся две:
1В англоязычной литературе он называется вектором Пойнтинга.
u(+)(x) = ai°e +aiXlV(h±)(x2), V^fa) = (n sin(nx2), ±a° cos(nx2)) (2 5)
h \ hx-1/2 h /2 -1 A Л/2
a1 = (2Лha1) , a1 = (п - ц Лh)
Поскольку GU+^Uy)) = 0, сами волны (2.5) энергии не переносят, однако, как известно и нетрудно проверить, введенные ранее [6] волновые пакеты
W±out)(x) = Xi^Hu^x) + iv^x))
(2.6)
w\lin)(x) = Xi(Xl)(U(1:h)(x) ± iu^x))
удовлетворяют тем же условиям ортогональности и нормировки (2.3), что и осциллирующие волны (2.2). По соглашению [6] волновые пакеты (2.6) называем уходящими и приходящими, соответственно, и выставляем искусств
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.