ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2014, том 77, № 4, с. 481-490
= ЯДРА ^^
СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МНОГОКАНАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ ПРИ РЕЗОНАНСНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ЭНЕРГИИ
© 2014 г. А. К. Мотовилов*
Лаборатория теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Россия Поступила в редакцию 29.01.2013 г.
Обсуждаются явные представления для T-матрицы и матрицы рассеяния, аналитически продолженных на нефизические листы энергии в многоканальной задаче с бинарными каналами. Из этих представлений следует, что резонансам на данном нефизическом листе отвечают те значения энергии, при которых соответствующая усеченная матрица рассеяния, рассматриваемая на физическом листе, имеет собственное число нуль. Устанавливается, что канальные компоненты собственного вектора усеченной матрицы рассеяния, отвечающего нулевому собственному числу при резонансном значении энергии, имеют смысл амплитуд развала соответствующего резонансного состояния многоканальной системы.
DOI: 10.7868/S0044002714040072
Посвящается Владимиру Борисовичу Беляеву
в честь его 80-летия
1. ВВЕДЕНИЕ
Матричные гамильтонианы являются одной из наиболее ранних моделей, использующихся для описания квантовых систем с несколькими порогами непрерывного спектра (см., например, [1, гл. 13] или [2, гл. 16]). Обычно принимается, что матричный многоканальный оператор Шредингера имеет вид h = h0 + v, где h0 — блочно-диагональная матрица, компоненты на главной диагонали которой суть операторы кинетической энергии с различными пороговыми сдвигами; ядра блок-компонент матрицы v в координатном представлении являются быстро убывающими по всем направлениям. Такое поведение ядер возмущения v означает, что все каналы в задаче рассеяния для квантовой системы, описываемой гамильтонианом h, являются по своим свойствам бинарными (двухчастичными). Обсуждение проблем, связанных с аппроксимацией многочастичного гамильтониана матричными гамильтонианами с бинарными каналами, можно найти, например, в недавней работе [3] и приведенных в ней ссылках. Типичная схема возникновения многоканальных гамильтонианов с бинарными каналами описывается также в [4]. После разложения по поперечным модам к многоканальной задаче рассеяния с бинарными каналами сводятся многие
E-mail: motovilv@theor.jinr.ru
задачи, так или иначе связанные с распространением волн в волноводах различной природы (см., например, [5—7]).
Настоящая работа является продолжением работ автора [8, 9], в которых изучается строение многоканальной матрицы рассеяния на нефизических листах римановой поверхности энергии. Как и в [8, 9], мы рассматриваем здесь матрицу рассеяния для пары гамильтонианов (Л0, Л0 + у). Для упрощения изложения ядра всех потенциальных операторов в координатном представлении будут считаться финитными. Подчеркнем, однако, что при подходящих ограничениях на область изменения энергии практически все полученные нами результаты остаются справедливыми и для случая, когда ядра блок-компонент оператора у убывают в координатном представлении не медленнее, чем экспоненциально (см. [8]).
Основным результатом [8, 9] является описание строения ядер Т-матрицы, матриц рассеяния и функции Грина после их продолжения на тот или иной нефизический лист римановой поверхности энергии в многоканальной задаче с бинарными каналами. Поскольку и Т-матрица, и матрица рассеяния являются аналитическими функциями энергии, их значения на нефизических листах должны однозначно определяться непосредственно через значения на физическом листе. Центральным здесь является вопрос о том, какие именно ключевые объекты, входящие в матрицу рассеяния и/или Т-матрицу на физическом листе, задают местоположение резонансов на том или ином нефизическом
листе. Ответ на этот вопрос был найден в [8, 9] путем построения явных представлений для значений Т-матрицы на нефизических листах в терминах ее же значений, но взятых исключительно на физическом листе. Аналогичные явные представления были найдены затем и для аналитического продолжения матрицы рассеяния и резольвенты. Из полученных в [8, 9] явных представлений следует, что в роли ключевых объектов, рассматриваемых только на физическом листе энергии, но определяющих все нетривиальные сингулярности Т-матриц, матриц рассеяния и функций Грина на нефизических листах, выступают операторно-значные функции, имеющие смысл усеченных матриц рассеяния (явные выражения для этих матриц даются ниже формулами (11)). Установлено, в частности, что резонансами на том или ином нефизическом листе оказываются те значения энергии, при которых соответствующая усеченная матрица рассеяния (рассматриваемая на физическом листе) имеет собственное число, равное нулю. В [10] описанный подход был распространен на задачу трех частиц с парными взаимодействиями, убывающими в координатном представлении не медленнее, чем экспоненциально. В [11, 12] этот подход был успешно применен для численного расчета резонансов в некоторых конкретных трехчастичных системах.
Основной целью настоящей работы является обоснование утверждения, анонсированного в [9] и состоящего в том, что в качестве канальных компонент собственного вектора усеченной матрицы рассеяния, отвечающего ее нулевому собственному числу при резонансном значении энергии, выступают амплитуды развала соответствующего резонансного состояния многоканальной системы. Нормировка этого собственного вектора на единицу фиксирует вероятности распада резонансного состояния по различным каналам и направлениям. Таким образом, задача поиска резонансов многоканальной задачи рассеяния на том или ином нефизическом листе сводится к нахождению тех
(комплексных) значений энергии на физическом листе, при которых соответствующая усеченная матрица рассеяния имеет нулевое собственное число. Вычисление собственных векторов усеченной матрицы рассеяния при резонансных значениях энергии дает амплитуды развала соответствующих резонансных состояний по тем или иным каналам рассматриваемой многоканальной задачи.
В разд. 2 дается постановка задачи, описывается строение римановой поверхности энергии в многоканальной задаче с бинарными каналами и воспроизводятся явные представления для многоканальной Т-матрицы на нефизических листах этой поверхности. Физический смысл собственных векторов усеченных матриц рассеяния, отвечающих нулевому собственному значению при резонансных значениях энергии, разъясняется в разд. 3. Здесь, в частности, доказывается, что компоненты всякого такого собственного вектора являются амплитудами развала соответствующего резонансного состояния по открытым для этого развала каналам.
Условимся о некоторых обозначениях, используемых на протяжении всей работы. Под \/г — А, г е С, Л е М, будет пониматься главная ветвь функции (г — Л)1/2. В предположении, что к е Мп, через к обычно будет обозначаться единичный вектор в
направлении к, т.е. к = к/\к\. Обозначение Бп-1 будет использоваться для единичной сферы в Мп; таким образом, к е Бп-1. Обозначение а(Т) используется для спектра оператора Т. Через ар(Т) обозначается множество всех собственных значений Т.
2. МНОГОКАНАЛЬНАЯ Т-МАТРИЦА НА НЕФИЗИЧЕСКИХ ЛИСТАХ ЭНЕРГИИ
Пусть Н — гамильтониан с т связанными бинарными каналами,
Н :=
+ Н01 + Ун
У21
Ут1
У12
(2)
Л2 + Но + У22
Ут2
У 1т У2т
л , н(т) I Лт + Но + Утт)
(1)
задаваемый в импульсном представлении:
(н0а]1а)(ка) = к2а¡а(ка), ка е МПа ,
и е Ь2(МПа), а = 1,2,...,т.
Мы рассматриваем случай, когда канальные размерности па подчиняются неравенствам па > 3,
а = 1,2,... ,т. Потенциалы уаа считаются локальными, что означает что их ядра уаа(ка — к'а), ка,к'а е СПа, зависят лишь от разности ка — к'а. При этом предполагается, что уаа(к) — голоморфные функции переменных к е СПа, удовлетворяющие оценкам
с
Ка(к)\ < + ехр(аа|1шА;|) (2)
с некоторыми константами с > 0, аа > 0 и в0а е е (Па — 2, Па — 1), если Па > 3, и 6>0а е (3/2, 2), если па = 3. Принимается, что ядра уав(ка,к'р), в = да, операторов связи между каналами — голоморфные функции ка е СПа, кв е Спв, подчиняющиеся неравенствам
с
+ + (3)
х ехр(аа\1тка\ + ар\1тк'в|).
Также предполагаем, что Уаа(—к)=уаа(к), к е еК"а, и уа/3(ка,к'^) =У/За(к'13,ка), /3 ф да, а,/3 = = 1,2,... ,т, ка е МПа, к'в е . Пороги каналов А1, А2,...,Ат е М считаем различными и упорядоченными в порядке возрастания: А1 < А2 < ... <
< Ат.
Отметим, что требования (2) и (3) не более чем экспоненциального роста по отношению к мнимым частям импульсных переменных означают, что потенциалы уаа(ха) и ядра операторов связи между каналами уар (ха,х'р), а, в = 1,2,...,т, ха е МПа, х'в е МПв, в координатном представлении финитны. При соответствующих ограничениях на область изменения спектрального параметра (энергии) практически все результаты, представляемые ниже, допускают перенос на нефинитные потенциалы и операторы связи между каналами, убывающие в координатном представлении не медленнее, чем экспоненциально (см. [8]).
Оператор Н действует в сумме Н := Н1 Ф Н2 Ф
Л
Ф
Ф Нт канальных пространств Н
и является эрмитовым на области определения Dom(Н) = VI ФV2 Ф^^^фVm, где
V.а = { / е На
йк(1 + \к\2)\/(к)\2 <
Введем также следующие обозначения для "свободного" гамильтониана и полного возмущения соответственно:
V : =
Уц
\Vrn1
У1т
ч
Под г0(г) и г(г) будем понимать резольвенты операторов Н0 и Н, т.е. г0(г) = (Н0 — г)-1, г е С \ а(Н0), и г(г) = (Н — г)-1, г е С \ а(Н).
Хорошо известно, что изучение спектральных свойств гамильтониана Н, а также свойств оператора рассеяния для пары (Н0, Н) сводится к исследованию аналитических свойств ядер Т-матрицы
1(г) := V — уг(г)у. (4)
Как показывает анализ, выполненный в [8], в случае возмущений V, обладающих голоморфными ядрами типа (2) и (3), оператор Ь(г) можно рассматривать как мероморфную операторно-значную функцию, заданную на римановой поверхности ЭТ, отвечающей вектор-функции
Ь(г) := (Zl(г), $2(г),...,$m(г)),
да(г) =
Н0 := diag(А1 + Н
(1) 0
А? + Н02),
1 Ат + Н0 ))
где
(г — Аа)1/2, если па нечетно, 1п(г — Аа), если па четно, а = 1,2,... ,т.
Для нумерации листов поверхности ЭТ естественно использовать мул
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.