РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 7, с. 773-789
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 538.311; 621.396
СОБСТВЕННЫЕ ВОЛНЫ ЭКРАНИРОВАННОЙ ЩЕЛЕВОЙ ЛИНИИ
© 2004 г. А. С. Ильинский, Е. В. Чернокожин
Поступила в редакцию 20.11.2003 г.
Рассмотрена задача о собственных волнах экранированной прямоугольной щелевой линии. В приближении узкой щели исследованы спектральные свойства возникающих в задаче интегральных операторов, дана классификация собственных волн щелевой линии и построены приближенные формулы для постоянных распространения.
1. ПОСТАНОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Рассмотрим задачу о собственных волнах экранированной щелевой линии прямоугольного сечения. Такая линия состоит из двух прямоугольных волноводов, связанных через щель в общей горизонтальной стенке (рис. 1). Параметрами щелевой линии являются общая ширина с, высоты волноводов Ь1 и Ъ2, полуширина щели I, а также диэлектрические проницаемости заполнения волноводов £1 и £2 (предполагаем, что £1 < е2). Фактически имеют значение только безразмерные отношения £ = е2/е1, Ь1/с, Ь2/с и 1/с. Границы волноводов считаем бесконечно тонкими и идеально проводящими, а среды - немагнитными. Задача
состоит в отыскании таких решений (Е, Н )Т однородной системы уравнений Максвелла, которые имеют характер бегущей волны, т.е. могут быть представлены в виде
V HJ
Е (х, у) УН (х, у у
ехр г(уг - юг),
речные волновые числа к; = к2 - у2, где к2 =
~2
= ю2£;Ц. При £2 Ф £1 случай кг = 0 не реализуется, поскольку при наличии границы раздела сред ТЕМ-моды не существуют. Таким образом, следуя [1, 2], сформулируем краевую задачу для продольных компонент электрического и магнитного полей Е'г и Н\.
В областях 01 и 02 функции Е'г и Нг должны удовлетворять уравнениям Гельмгольца
А Е'г + к Е = 0,
А Н\ + к ¡Н\ = 0
(1)
с краевыми условиями на идеально проводящих участках М границ прямоугольников
Е,\ = 0,
г1м
д п
= 0
(2)
М
и с условиями сопряжения на границе раздела сред (на щели 5 = {(х, у): р - I < х < р + I , у = 0})
где Е, Н - электрическое и магнитное поля, Т -операция транспонирования, у - постоянная распространения, подлежащая определению, ю - частота.
Обозначим поле в области 01 = {(х, у): 0 < х < с, 0 < у < Ь1} - в верхнем прямоугольнике - через
-и -И т
(Е , Н )Т, а поле в области 02 = {х, у): 0 < х < с, —Ь2 < у < 0} - в нижнем прямоугольнике - через
(Е , Н ) . Поля (Е , У )Т должны удовлетворять уравнениям Максвелла в соответствующих областях (с учетом экспоненциальной зависимости полей от г и г).
г г
Все компоненты полей (Е , Н )Т могут быть однозначно выражены через продольные компоненты Е\ и Н'г, если не обращаются в нуль попе-
[ Ег ] = 0, [Нг] I = 0,
(3)
(4)
Рис. 1. Сечение прямоугольной экранированной щелевой линии.
ю
ГеЭЕн - У "1Н
Ьк2 д у ^ -к2 Эх -
1 ЭЕг1 - 1 э н г
к2 3 х] + юд 5 1~к2 Эу
ильинскии, = 0, (5)
= 0.
(6)
Кроме того, в окрестности краев щелей должны выполняться условия Мейкснера [3]:
|Ег| < С5е, (VЕг| < С5-а, |Нг| < С, |УЯг| < С5-а, 5^ 0, 0 <а< 1, 0 <Р< 1,
(7)
Н
р +1 дН 1
1 (X, у) = - | °2 (х, у, х0, 0) дур -1
0 < х < с, 0 < у < Ь1,
(х0 ) ^х0,
У0 = +0
Р +1 2
2 Г 2 д Н.
Н (х, У) = \ °2 (х, У, ха, 0) дуР -1 У0 = -0
0 < х < с, -Ь2 < у < 0,
р + к
( х0 ) йх(0,
(8)
ЕК х, у ) =
Р - I
(х, у, х0)Ег(х0, 0)йх0,
1
т?2 / \ Г д °
Е2(ху) = - / эу~
Р -1
у0 = +0
0 < х < с, 0 < у < Ь1,
р +1 -
(9)
(х, у, х0)Ег(х0, 0)йх{0,
у0 = -0
(10)
Как следует из условия Мейкснера (7),
4(Р ± I, 0) = 0, г = 1, 2. (11)
Дифференцируя представления (9) и (10) по у соответственно при у > 0 и у < 0 и применяя интегрирование по частям с использованием краевого условия (11), получаем нормальные производные электрического поля, выраженные через тангенциальные производные:
где 5 - расстояние от края границы до точки наблюдения.
Задача состоит в определении таких комплексных чисел у, при которых существуют нетривиальные решения краевой задачи (1)-(7), а также самих этих решений.
2. ВЫВОД СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Следуя [1], введем в рассмотрение функции Грина первой и второй краевых задач для уравне-
~2
ний Гельмгольца с коэффициентами кг в областях г = 1, 2. Будем обозначать эти функции через , г = 1, 2; ] = 1, 2, где г - номер краевой задачи, а / - номер области. Тогда, используя формулы Грина, можно получить представления
полей Е\, Н\ всюду внутри областей
Эу
эе2
Эу
р + I
у = 0
г эе1
= /8Лх, х0) эх:
р -1
р+1
( х0 ) йх(0,
у0
=0
у=0
= - / 82 ( х, ^ ) Ц
Р -1
( х0 ) йх0,
у0
=0
где ядра 8>(х, х0), г = 1, 2, следующим образом определяются через функции Грина:
д 2 о1
8;(х, х0) = -Цш /
у ^ ^ дydyа
(х, y, х0)йх0,
у0 = 0
(12)
г = 1, 2.
В силу условия (11) постоянная интегрирования в (12) может быть выбрана произвольно.
Для функций О2 (х, 0, х0, 0) и 8;(х, х0) справедливы следующие представления:
О2 (х а X0,0) = Ь4с ХХ
4 ^ V 5„5ш ппх ппх0
с \ (}> _ к
1 п =0 т = 0 Апт
cos-cos -
сс
, ч 4п^ т 1 . ппх ппх0
8г(х, х0) = -г Х Х--——Т-^Щ-cos-,
Ь ^ ^ п 1) - к2 с с
и1п = 1 т =1 пт К1
'1/2, п = 0,
где 5п =
1, п Ф 0,
/
т,( 1) = п2
пт =
V
22 пт
~2 + "-~2
с 1
(13)
Используя условие сопряжения (4) и вводя обозначения
0;(х, х0) = О2(х, 0, х0, 0),
Ф1 =
0 < х < с, -Ь2 < у < 0.
дН------у----
эеее-^
¥ 1 = ах-
, Ф2 =
у=0
у=0
«Н
-- --у--
ЭЕ? , ^2 = ;^
у=0
у=0
5
получим однородное интегральное уравнение
р +1 р +1
| ( х, х 0 )ф 1 ( хс ) dXo + | в2 ( х, х 0 )ф 2 ( хс ) dXo = 0.
р - I р -1
Удовлетворяя условию (5), получим
р + I
ю£1
— I gl (х, х0)у 1(х0)dXo +
7,2 1
р -1 р + I
ю£2
+ """"""""" I g2(х, х0)^2(х0)dхс 2 1
+
к2
р -1 р +1
У
+ Г2 I в1 (х, х0)ф1 ( х0 ) dх^ к1 J
+
+
р -1 р + I
в
относительно неизвестных функций ф и у. К системе (16) необходимо добавить дополнительное условие
р +1
(у, 1 )=|у( х) dх = 0, (17)
р -1
следующее из обращения компоненты Ег в нуль на краях щели.
Аналогичную систему можно получить, выражая ф2 через у и ф1.
3. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Запишем систему (16) в операторно-матрич-ном виде:
к2
I в2(х, х0)ф2(х0)dXo = 0,
р -1
где штрих означает дифференцирование по х. Условия (6) можно записать в виде
у у юи юи „
У1 - -""2У2 + """"2 ф1 - """"7 ф2 = 0
где
К (у)
к (у) =
(18)
' Ки(У) К12(У) Л К21(У) К22(У)
к7 1
к72
к7 1
к7 2
а условие (3) - в виде у1 = у2.
Пусть Ц - интегральный оператор с ядром в,
Здесь Ку(у) - оператор-функции комплексного параметра у, определяемые равенствами
Ц - интегральный оператор с ядром в', а $г - ин- К11 (у) = кгЦ1 + к2Ц2, К12(у) = 2_2——Ц1,
тегральный оператор с ядром gi. Вводя новую неизвестную у = юу1 = юу2, получаем систему уравнений
к2
К21 (у) = у( Ц1 + Ц),
(19)
¿1 ф1 + ¿2ф2 = 0, У
-; Ц1ф1+ 2 2 2
к2 к1 к2
юи юи уюи(£2- £1)
""""Г ф1 - -7"7 ф2 + -
к1 к2
К 22 (У) =
, у , (£1 £2 Л
Ц1ф1 + 77гЦ2ф2 + [77 2$1 + 77 2 $2 |У = 0
ко У-кл кп '
у = 0.
£2„ У2(£2- £1 )т ,Л
^""2 $1 + ^""2 $2--7""2""7^ Ц1
к7 1 к7 2 к7 1 к7 2
(14)
22 к7 1 к7 2
Выделив главные части операторов, имеем
к 11 (у) = (к2 + к2) ц + м 11 (у),
К 12(7) = -Т ( £I- £ 1 )Ц + М12(у),
Выражая ф1 через у и ф2 из третьего уравнения (14) и вводя обозначение
к2
2 £,
ф ф2
ф = Г
к2
приходим к следующей системе
(к] ¿1 + к2 ¿2 )ф - т ( £ 1- £ 1 ) ^у = 0,
1 2 к722 1
(15)
у( ¿1 + ¿2 )ф +
£2С у2(£2-£1 \
Г^ $1 + ~2 $2--Г2-2 Ц1
к7 1 к7 2 к7 1 к7 2
(16) у=0
К 21 (у) = 2у$ + М 21 (у), К 22 ( У ) = —2 $ + М 22 (У),
к2
где ¿и $ - интегральные операторы с ядрами 1,1 11
-1П|-т и--соответственно, а операторы
П х — х0 П х0 — х
Му(у) вполне непрерывны. Таким образом, оператор К(у) можно представить в виде
К (У) = X (у) + М (у),
где Х(у) - характеристическая часть, а М(у) -вполне непрерывная часть оператора.
Запишем характеристическую часть в виде
где
X(Y) =
-2 ~2
( \ anL ai2L
V a21S a22S У
(20)
au = к i + k2, a12 = -
У(е2 - £i)
¿2
2e2
a21 = 2Y, a22 = —.
k2
(21)
Как показано в работе [4], оператор (20) с дополнительным условием (17) обратим, если отличен от нуля определитель
А = а 11 а22 - а12а22.
При этом компоненты обратного оператора Х-1(у) определяются формулами
(X-1) 11 / = аА 5 1 / +
+ --1-;- (/ (Р) - (LS-1 f)(p)) 1
a11ln
R (x)
a12 a21 ( s-1 f, 1) 1
a11 An
R (x )'
( x-1 )12 g = -af +ПА(^ *1' ^ • ( x-1 ) 21 / = -f s- /+ПА (f •1) ok •
/V-U a1^-1 a1br1 1
(x )22g = A"S 8-ПА(S g1)R(-X)'
(22)
(23)
где Я(х) = 4(p+T—х)(х—pр~+Г). В данном случае
А = 2 (£1 + 82 ),
т.е. определитель А не зависит от у и не обращается в нуль.
Особыми точками оператор-функции Х-1(у) являются нули функции ап(у), описываемые формулой
Особые точки (24) связаны с щелевыми модами. Появление точек (25) обусловлено неэквивалентностью сведения системы трех уравнений (14) с тремя неизвестными к системе (16) с двумя неизвестными, которое допустимо только при к2 Ф 0. Для исследования системы (14) в окрестности
точки к2 = 0 система (14) сводится к системе двух уравнений, аналогичной (16), с двумя неизвестными при условии к1 Ф 0.
4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПЕРАТОР-ФУНКЦИИ С ВЫДЕЛЕНИЕМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА
Оператор-функция К(у) зависит от величины параметра I - полуширины щели. Следуя работе [4], преобразуем оператор так, чтобы интегрирование проводилось по стандартному интервалу (-1, 1). Для этого проведем в интегральных операторах замену переменных:
x = Р + l p, Хо = p + l p,. Тогда получим
(k,1 ф)( p +1 q) =
K
(26)
= JK11 (p + lp p + lp)ф(p + l)ldpo, i = 1, 2,
(K, 2V)( p + l P) =
1
= JK12(p + lp + lpo)¥(p + lPo)ld£o, i = 1, 2.
-1
В дальнейшем ограничимся случаем симметричного расположения щели (p = c/2). Тогда, как следует из явного вида функций Грина, ядра интегральных операторов допускают следующие представления при l —► 0:
K11 (p + l p p + l po) =
= (кл + к2)—ln¡-:j—1—-- + (к2 + к2)1 ln1 + Co (y) + n lpo- q n l
к4 к4
+ l2ln l (P - P o )2 + l2 N11 (l l£o),
у = ±7^+^5/2, (24)
а также полюсы функций а12(у) и а22(у):
у = ±к2. (25)
Таким образом, оператор-функция Х-1(у) определена всюду, за исключением точек (24) и (25), где она имеет полюсы.
K12 (p + l p + l Po ) = -
Y(E2-
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.