РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 3, с. 223-237
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ^^^^^^^^
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 621.396.67
СОБСТВЕННЫЕ ВОЛНЫ ЛЕНТОЧНОЙ СПИРАЛИ
© 2015 г. С. Е. Банков
Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН Российская Федерация, 125009, Москва, ул. Моховая, 11, стр. 7 Е-таП: sbankov@yandex.ru Поступила в редакцию 26.06.2014 г.
Предложен квазистатический метод решения электродинамической задачи о волнах однородной спирали из бесконечно тонкой идеально проводящей ленты, позволяющий исследовать ее собственные волны в широком диапазоне изменения параметров структуры. Электродинамическая задача сведена к системе интегральных уравнений относительно продольных компонент электрических и магнитных токов. Система интегральных уравнений решена в статическом приближении методом преобразований Швингера. Найдены в явном виде функции, описывающие электрические и магнитные токи. Получено вариационное решение электродинамической задачи. Представлены результаты численного исследования собственных волн ленточной спирали.
БО1: 10.7868/80033849415030055
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Спиральные линии передачи относятся к классическим объектам электродинамики, которые исследовали различные авторы при помощи строгих и приближенных методов. Среди аналитических подходов к решению граничной задачи о собственных волнах спирали выделяют два наиболее распространенных метода: метод эквивалентных граничных условий [1] и приближение тонкого проводника [2]. В рамках первого подхода могут быть проанализированы только спирали с малым по отношению к длине волны периодом структуры, которые можно рассматривать как свернутую вдоль цилиндрической поверхности решетку. При этом решетка имеет малый период и может быть заменена бесконечно тонкой пленкой, на поверхности которой устанавливаются эквивалентные граничные условия [3—5]. В данных работах получены эквивалентные граничные условия разной степени строгости.
В работе [3] представлены простейшие условия анизотропной проводимости, которые получены в предположении, что проводимость решетки вдоль проводников бесконечна, а поперек равна нулю. Более точный вариант граничных условий приведен в [4], где проводимости в двух главных направлениях имеют конечные значения и зависят от формы поперечного сечения проводников, формирующих решетку. В работе [5] получены условия для решетки из металлических лент, расположенной на границе раздела двух сред.
Модель спирали, основанная на применении эквивалентных граничных условий, названа волноводом с анизотропной проводимостью. Ее огра-
ниченность очевидна, поскольку такая модель позволяет описывать структуры с малым периодом или углом намотки, близким к 90°.
В другой модели спирали ограничения на ее период отсутствуют. Предполагается, что спираль выполнена из тонкого проводника, вдоль которого может протекать лишь продольный электрический ток. В этом приближении получено достаточно простое дисперсионное уравнение, описывающее постоянную распространения спирали. Во многих случаях оно подходит для решения практических задач.
Дисперсионное уравнение из работы [2] не может описать спиральные линии передачи с малым радиусом, так называемые микроспирали, которые представляют практический интерес. В таких структурах размеры проводника сопоставимы с радиусом спирали, что не позволяет заменить его нитью тока.
Для ленточных спиралей указанное уравнение также не всегда справедливо, поскольку при его помощи можно корректно анализировать только структуры, образованные лентами малой ширины. При этом такой важный частный случай ленточной спирали, как щелевая спираль, не может быть описан в данном приближении. Тем более при его помощи невозможно описать трансформацию волн ленточной спирали в волны щелевой спирали.
Актуальной задачей является создание подхода, позволяющего анализировать ленточные спирали с произвольной шириной образующей ее ленты, не имеющие ограничений на период структуры.
Следует отметить, что в ряде работ анализ собственных волн различных линий передачи, содержащих бесконечно тонкие ленточные проводники, проводили при помощи квазистатического метода преобразований Швингера [6] и близкого к нему метода сингулярного интегрального уравнения [7]. Одной из первых в этом направлении является работа [8], в которой методом преобразований Швингера анализировалась экранированная микрополосковая линия. Достоинство данного подхода состоит в возможности получить в статическом приближении простое выражение для неизвестной функции, которой может быть, например, электрический ток на полосковом проводнике.
В работе [9] методом преобразований Швингера анализировалась щелевая линия в экране и были получены выражения для магнитного тока в щели.
Цикл работ (см., например, [10, 11]) по применению теории сингулярных уравнений для анализа собственных волн полосковых и щелевых линий передачи был выполнен под руководством В.А. Неганова.
Характеризуя обсуждаемые методы, следует отметить две особенности. Первая из них состоит в том, что получаемые выражения для электрических и магнитных токов хорошо описывают их в широком диапазоне изменения параметров вол-новедущей структуры и допускают предельные переходы, когда, например, ширина полоскового проводника стремится к нулю или к ширине металлического экрана. Такое поведение статического решения позволяет эффективно использовать его для аппроксимации токов в наиболее интересной резонансной области, когда характерные размеры линии передачи сравнимы с длиной волны.
Вторая особенность состоит в возможности уточнения статического решения при помощи динамических поправок. Их использование дополнительно повышает точность функций, описывающих электрические и магнитные токи.
Наличие достаточно точных представлений для электрических токов на проводниках и магнитных токов в щелях открывает широкие возможности для получения на основе статических решений сравнительно простых дисперсионных уравнений, описывающих собственные волны за пределами статической области. Для этого целесообразно использовать вариационный подход [12], который минимизирует погрешность, создаваемую приближенным представлением токов.
Таким образом, можем сделать вывод, что развивая квазистатические методы для анализа ленточной спирали, можно создать ее теорию, которая корректно опишет свойства этой линии передачи в широком диапазоне частот и широком диапазоне изменения ее параметров. Решение ука-
занной задачи является основной целью данной работы.
Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:
1. Вывод системы интегральных уравнений (СИУ) относительно электрических токов на ленте, образующей спираль.
2. Переход к смешанной СИУ относительно продольных компонент электрических токов на ленте и магнитных токов в щелях между лентами.
3. Вывод смешанной СИУ в статическом приближении.
4. Решение смешанной СИУ в статическом приближении и вывод выражений для электрических и магнитных токов.
5. Решение СИУ согласно п. 2 методом Галер-кина при использовании токов, полученных в п. 4, вывод дисперсионного уравнения.
6. Численное решение дисперсионного уравнения и исследование собственных волн ленточной спирали.
2. ВЫВОД СИУ ОТНОСИТЕЛЬНО ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ТОКОВ НА ЛЕНТЕ
Исследуемая структура показана на рис. 1. Спираль образована идеально проводящей, бесконечно тонкой металлической лентой шириной w и имеет период Р. Угол намотки спирали а связывает параметры Я и Р:
2кЯ Р '
(1)
Для вывода СИУ выразим поля в структуре через электрические токи на металлической ленте при помощи функции Грина свободного пространства
[13]. Токи и поля удобно описывать в цилиндрической системе координат:
(г, ф,г) = С (ф - Ф„ - Р) 8(г - Я) ехр(-/уг). (2)
Первый множитель в формуле (2) описывает зависимость тока на ленте от угловой координаты ф. Ее особенностью является то, что поперечное распределение тока не меняется вдоль спирали. Такое поведение тока характерно для волны, бегущей вдоль оси 0г. Однако в отличие от традиционного волновода, который однороден вдоль продольной оси, спираль имеет закрутку. Благодаря ей распределение тока не меняет свою форму, но смещается по угловой координате при изменении точки наблюдения г. Указанное смещение учитывает аргумент функции г^, в котором имеется слагаемое ф0, описывающее расположение спирали при г = 0. Для простоты в дальней-
Р
/XV Ж ¿Т\ /А
' \\
Рис. 1. Ленточная спираль.
шем его можно полагать равным нулю. Функция
отлична от нуля при
ф-
2т Р
*Ф0, Фо =
Я ео8 а
(3)
Второй множитель в формуле (2) — это дельта-функция, описывающая распределение плотности тока по радиусу. Бесконечно малая толщина ленты обусловливает описание тока при помощи дельта-функций.
Третий множитель описывает зависимость тока от продольной координаты г в форме, характерной для бегущей волны. В нем у — неизвестная постоянная распространения.
Найдем далее электрический векторный по-^ е
тенциал А поля, создаваемого токами на ленте. Для этого воспользуемся представлением функции Грина О свободного пространства в цилиндрической системе координат [13]:
О = У [ ехр(-ш(ф - ф) - /к(, - ¿)) х 8т ^ •>
п=-ю -ю (4)
х К'^«-г > '1 .к, ,=4ё~Кг,
[нПХдгУ.Хдг), г > г'\
где иП)(дг) — функция Ганкеля 2-го рода порядка п, /п(#г) — функция Бесселя, к — волновое число свободного пространства.
Продольная компонента векторного потенциала А, связана с током Iе,, следующим образом:
А, = ]/гУ, ф',,Ог, г', Ф, Ф',,, (5)
V
Интегрирование в соотношении (5) проводится по всему объему, занятому токами.
Рассмотрим подробно вывод выражения для
компоненты векторного потенциала А\. Выражения для поперечных компонент получаем аналогичным путем, но при помощи более громоздких преобразований, которые опустим.
Подставим в формулу (5) соотношения (2) и (4). Воспользуемся следующими приемами. Сделаем замену переменной ф':
Р '
После выполнения замены переменной интегрирования учтем следующее известное равенство:
Ф = ф
(6)
| ехр(/,'(к + 2пп/Р - у))., =
= 2п5(к - к_п), к„ = у + 2рП.
г
г
е
/s
У/ А
ф
Рис. 2.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.