Автоматика и телемеханика, Л- 1, 2007
РАС Б 07.05.Mh
© 2007 г. Л.В. АРШИНСКИЙ, канд. физ.-мат. наук (Восточно-Сибирский институт МВД России, Иркутск)
СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЙ И ФОРМАЛЬНЫЙ ВЫВОДЫ В ЛОГИКАХ С ВЕКТОРНОЙ СЕМАНТИКОЙ1
Обсуждается проблема логического вывода для одного класса логик с векторной семантикой. В данных логиках истинность представляется вектором с компонентами (Ист^а; Ложь), которые не зависят друг от друга. Рассматривается проблема организации «содержательного» и «формального» выводов. В первом случае принимается во внимание значение истинности (семантика) суждений, во втором только их структура (синтаксис).
1. Введение
Одной из проблем применения средств логического вывода в составе интеллек-туализированных компьютерных систем нередко является необходимость получения заключений в условиях дефицита и противоречивости входной информации. Классическая логика избегает таких ситуаций. Она либо отвергает возможность рассуждения в подобных предметных областях, либо заменяет их искусственными моделями, удовлетворяющими необходимым для нее принципам противоречия и исключения третьего. Эта проблема активно дискутировалась еще на заре становления классической логики [1]. В XX в. было предложено большое количество «новых логик», так или иначе отвергающих данные принципы, часть из которых нашла применение в сфере искусственного интеллекта.
В данной работе рассматривается один вариант неклассического логического исчисления, основанный на векторном представлении истинности, когда истинность суждения a описывается вектором ||a|| = (a+; a-}, где a+ G [0,1] — степень уверенности в том, что a есть Истина, а a- G [0,1] - что оно же есть Ложь. Каждый из | a|
ется своим комплексом свидетельств, факторов, влияющих на истинность в целом. В этом принципиальное отличие данного подхода от, например, нечетких логик, где степени Истины и Лжи связаны между собой уравнением
(1) a+ + a- = 1,
а, значит, истинность одного аспекта вычисляется через истинность другого. В рассматриваемых логиках и значения аспектов Истина и Ложь определяются конструктивно и независимо друг от друга.
Следует отметить, что идея независимого и конструктивного определения Истины н Лжи предлагалась еще Д. Нельсоном [2]. Отмстим также, что в 1966 г.
1 Работа выполнена ио материалам доклада, представленного автором на 111 международной конференции «Идентификация систем и задачи управления (S1CPRO:04)», Москва, '28 30 января ■2004.
Дж.М. Дани [3] разработал логическую семантику, в которой значениями истинности являлись все подмножества множества {0,1}: {0} — Ложь, {1} — Истина, {0,1} -Противоречие, 0 - Неопределенность. В [4] эта логика рассматривалась как подходящая для моделирования неполноты и противоречивости компьютерной информации. Наконец еще один взгляд на проблему формализации неполноты и противоречивости, основанный на идее множественности миров, развивается, например, в работах Е.Д. Смирновой [5].
Предлагаемая в работе семантика (и основанный на ней формальный аппарат), с одной стороны, обладает признаками нечеткости (каждый из аспектов принимает значения па отрезке [0,1]), а с другой - естественным образом описывает противоречивость и неполноту знаний. В частности, вектор (1; 1} есть «полное противоречие» (то, что названо «Противоречием» у Данна), вектор (0;0} - «неопределенность». Обычным, классическим значениям Истины и Лжи здесь соответствуют вектора (1; 0} - «строгая истина» и (0; 1} - «строгая ложь». Учитывая, что аспектов у вектора истинности может быть больше двух и этими аспектами могут являться но только Истина и Ложь, данный тип логик был назван логиками с векторной семантикой, или просто векторными логиками [6], а их частный случай, рассматриваемый здесь, - V^-логиками (векторными логиками с аспектами Истина и Ложь). Учитывая также упомянутую связь VTF-лoгик с нечеткими логиками, при большей общности первых, VTF-лoгики можно также назвать сверхнечеткими.
Традиционными логическими связками, образующими сложные суждения, являются дизъюнкция, конъюнкция и отрицание: У, &, — (ограничимся здесь языком исчисления высказываний). В логиках рассматриваемого типа в дополнение к этим трем связкам, названным первой формой дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, вводятся три новые связки: У 2, &2, названные второй формой дизъюнкции, конъюнкции и отрицания соответственно (первую и вторую формы отрицания назовем еще отрицанием. в форме перестановки и отрицанием в форме дополнения). Первую форму отрицания (отрицание в форме перестановки) определим как
т.е. доводы «за» здесь становятся доводами «против», а доводы «против» доводами «за». Это, пожалуй, наиболее точное отражение «обычного» понимания связки НЕ. Вторую форму отрицания (отрицание в форме дополнения) определим как
Это отрицание, обусловленное незнанием: отрицаем настолько, насколько не знаем.
Первая форма отрицания конструктивна: ее истинность определяется имеющимися свидетельствами. Вторая форма подобной конструктивностью не обладает: степень отрицания определяется пашей нодоинформированностыо. При введении функциональной связи (1) обе эти формы совпадают.
Перед определением дизъюнкций, конъюнкций и отрицаний аксиоматически введем две операции, назвав их композиционным сложением © и умножением •:
2. Расчет истинности сложных высказываний
||-.а|| = (а ; а+) .
У- а|| = (1 - а+; 1 - а— .
1) х © у = у © х;
2) х © 0 = х;
3) х © у' > х © у" при у' > у
4) х © (у © г) = (х © у) © г;
5) (1 - х) © (1 - у) = 1 - х • у;
''
х • у = у • х;
х • у' > х • у'' при у' > у";
х • (у • г) = (х • у) •
(1 - х) • (1 - у) = 1 - х © у.
Аксиомы 1) 4) ость ни что иное, как аксиомы триангулированной нормы и ко-нормы [7]. Дополнительная пара аксиом 5) необходима, чтобы обеспечить переход от рассматриваемого класса логик к нечетким логикам при введении связи (1).
Таким образом, данные операции есть частный случай триангулированных норм в несколько более удобной записи. Примерами этих операций являются пары функций:
х © у = тах(х, у), х • у = тт(х, у);
(2) х © у = х + у - ху, х • у = ху;
х © у = тт(1, х + у), х • у = тах(0, х + у - 1).
В терминах этих операций первую форму дизъюнкции определим как
(3) ||а V ЪЦ = (а+ © Ъ+; а- • Ъ-) . Первую форму конъюнкции как
(4) ||а& ЪЦ = (а+ • Ъ+; а- © Ъ-) . Вторую форму дизъюнкции как
(5) ||а У2 ЬЦ = (а+ © Ъ+; а- © Ъ-) . И вторую форму конъюнкции как
(6) ||а&2 ЪЦ = (а+ • Ъ+; а- • Ъ-) .
Легко убедиться, что после введения связи (1) в силу аксиом 5) первая форма дизъюнкции и конъюнкции переходит в обычную дизъюнкцию и конъюнкцию для нечетких логик. Вторая форма этих операций специфична только для векторных логик. Для групп связок {—, &, V} {—, &, V} и {—, &2, У2} справедливы законы де Моргана. В то же время для {—, &2, У2} они принимают форму
Ц — (а V2 Ъ)|| = Ц— а V2 — Ъ|| и Ц— (а&2 Ъ)| = Ц— а&2 — Щ .
3. Содержательный вывод в логиках с векторной семантикой
Согласно сложившейся на сегодня практике в логике используется два типа вывода. Первый берет свое начало из классической математической логики и представляет собой некое отвлеченное манипулирование символами безотносительно к их конкретному содержанию. Основное требование: наличие полной и непротиворечивой системы или схемы аксиом и применение правил вывода, обеспечивающих сохранение некоторых выделенных значений истинности в процессе вывода. В классической логике, предполагающей существование лишь двух значений {Истина. Ложь}, таким значением служит Истина. Ситуация несколько усложняется для некоторых неклассических логик, содержащих помимо Истины и Лжи еще какие-то истинностные значения. Однако и здесь общая схема вывода остается прежней. Основное здесь форма предложения. Его содержательная сторона остается без внимания. Иное отношение к содержанию наблюдается при втором подходе. Порой приходится обращать внимание на содержательную сторону утверждений, поскольку она влияет и на стратегию вывода и на возможный его результат. Этот подход получил распространение с появлением так называемого искусственного интеллекта. Его основная область системы неточного вывода, в которых каждый шаг вывода обычно сопровождается пересчетом истинности фактов на основании вновь получаемой информации (так называемый «присоединенный вывод»). В результате, например в
а
a ^ Ь, будет зависеть истинность Ь, а следовательно и конечный итог работы. Окончательный результат определяется ранжированием заключений по величине истинности. которая в большинство подобных систем обычно принадлежит интервалу [0,1]. Первый тип дедуктивного вывода условно назовем «формальным», а второй -«содержательным». Сначала разберем второй из них.
Основу содержательного вывода составляют процедуры расчета истинности заключения на основе значений истинности посылок. Рассмотрим типичное правило вывода modus ponens (МР). Посылками здесь являются утверждения a ^ Ь и a с ис-тинностями ||a ^ Ь|| = (i+; i-) и ||a|| = (a+; а-) соответственно. Разумно допустить, Ь
Ь
из них. Вспоминая схемы расчета истинности сложных суждений, легко заметить, что это соответствует истинности конъюнкции a и a ^ Ь. В результате получаем правило вывода:
(7) a,a ^ Ь | —Ь : ||Ь|| = ||a & i|| = (a+ • i+; a- 0 i-) ,
где i есть импликация a ^ Ь (т.е. i = a ^ Ь), а i+ и i- - соответственно значения позитивного (Истина) и негативного (Ложь) аспектов вектора истинности имплика-
Ь
С другой стороны, заключение Ь может быть вызвано и иными, кроме a, причинами. В этом случае Ь реализуется вне зависимости от a. Это означает, что вместо (7) следовало бы писать
(8) a,a ^ Ь I —Ь : ЦЬЦ = (a+ • i+; a- 0 i-) ^ (1; 0),
где запись ЦЬЦ = (Ь+; Ь-) + (Ь+; Ь-) означает, что Ь+ е [Ь+; Ь+] и Ь- е [Ь-; Ь-].
Ь
i
Ц — ЬЦ = ||a& - iH = (a+ • i-; a- 0 i+)
(пользуемся отрицанием в форме перестановки). Это также «гарантированное» значение — Ь при наличии a и — i. Отсюда, отрицая — Ь, легко находим
ЦЬЦ = Ц — (a& — i)|| = (a- 0 i+; a+ • i-) .
Окончательно получаем, что
(9) a,a ^ Ь I —Ь : ||Ь|| = (a+ • i+; a- 0 i-) + {a- 0 i+; a+ • i-) .
В [6] оба эти варианта правила modus porioris названы
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.