научная статья по теме СОЛИТОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ ДЛЯ МКП-II Математика

Текст научной статьи на тему «СОЛИТОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ ДЛЯ МКП-II»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 144, № 1 июль, 2005

Дж.-Х. Ли*, O.K. Пашаев*

СОЛИТОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ ДЛЯ МКП-Н

Рассмотрены второй поток (система реакции-диффузии с производной) и третий поток диссипативной SL(2, К)-иерархии Каупа-Ньюэлла. Показано, что произведение двух функций, удовлетворяющих этим системам уравнений, является решением модифицированного уравнения Кадомцева-Петвиашвили в размерности (2 -I- 1) с отрицательной дисперсией. Построены билинейные представления Хироты для обоих потоков и объединение этих представлений в билинейную систему для такого уравнения. С помощью этой билинейной системы уравнений найдены одно- и двухсолитонное решения модифицированного уравнения Кадомцева-Петвиашвили с отрицательной дисперсией. При специальных значениях параметров это решение демонстрирует резонансное поведение с образованием четырех виртуальных солитонов. Предложенный подход позволяет интерпретировать резонансный солитон как сложный объект, составленный из двух диссипативных солитонов в размерности (1 + 1).

Ключевые слова: солитонный резонанс, диссипативный солитон, модифицированное уравнение Кадомцева-Петвиашвили, метод Хироты, система реакции-диффузии с производной.

1. ВВЕДЕНИЕ

Калибровочная формулировка гравитационных моделей в низких размерностях, подобных модели Джакива-Тейтельбойма [1], основана на использовании репера Карта-на-Эйнштейна или метода подвижного репера. В этих переменных в размерности (1 +1) мы имеем дело с так называемой калибровочной BF-теорией и уравнениями движения нулевой кривизны, что обеспечивает связь с солитонными уравнениями [2]. Однако в этих переменных, представляющих собой "квадратный корень" псевдоримановой метрики, солитонные уравнения имеют диссипативный вид, поэтому соответствующие со-литоны мы называем диссипативными солитонами, или "диссипатонами" [2]. Диссипативный вариант нелинейного уравнения Шредингера, обладающий богатой резонансной динамикой, представляет собой пару нелинейных уравнений диффузии и антидиффузии, которая называется системой реакции-диффузии (РД) [2], [3]. Диссипатон такой системы представляет собой пару вещественных функций, одна из которых экспоненциально возрастает, а другая убывает в пространстве и во времени. Однако произведение

"Institute of Mathematics, Academia Sinica, Taipei, Taiwan. E-mail: leejh@math.sinica.edu.tw t Department of Mathematics, Izmir Institute of Technology, Urla-Izmir, 35430, Turkey. E-mail: oktaypashaev@iyte. edu.tr

© 2005 r.

этих функций имеет форму идеального солитона. Недавно установлено [4], что если эволюция диссипатонов системы РД по дополнительной временной переменной определяется следующим за РД членом БЬ(2, К)-иерархии Абловица-Каупа-Ныоэлла-Сегура с кубической дисперсией, то их произведение может рассматриваться как солитон (2 4- 1)-мерного уравнения Кадомцева-Петвиашвили с отрицательной дисперсией (КП-П). Таким способом было обнаружено резонансное поведение солитонов уравнения КП-П в терминах диссипатонов (1 + 1)-мерных моделей. Более того, в р алое ах этого подхода был построен новый двухсолитонный резонанс уравнения КП-П с четырьмя виртуальными солитонами, который можно интерпретировать как вырожденное четы-рехсолитонное решение [4].

С другой стороны, как было показано ранее [5], диссипативный вариант нелинейного уравнения Шредингера с производной (НУШП) также допускает диссипативные солитонные решения с резонансным взаимодействием [6]. Более того, эти резонансы демонстрируют киральные свойства, распространяясь только в одном направлении. В настоящей работе, следуя стратегии работы [4], мы с помощью оператора рекурсии иерархии Каупа-Ньюэлла (КН) прежде всего строим следующую после НУШП дисси-пативную систему уравнений иерархии с кубической дисперсией. Затем, используя эти два члена 5Ь(2, М)-иерархии КН, показываем, что произведение соответствующих дис-сипатонам функций является решением модифицированного уравнения Кадомцева-Петвиашвили с отрицательной дисперсией (мКП-П) (раздел 2). В разделе 3 билинеари-зация двух рассматриваемы потоков иерархии позволяет нам найти билинейное представление для уравнения мКП-П. В разделе 4 рассматриваются киральные резонансные диссипатоны системы уравнений реакции-диффузии с производной (РДП) и обсуждается их геометрический смысл. В разделе 5 построены одно- и двухсолитонные решения уравнения мКП-П, продемонстрирован резонансный характер взаимодействия этих солитонов и свойство киральности, накладывающее ограничение на углы столкновения солитонов. В заключительном разделе 6 обсуждаются основные результаты работы.

2. СВЯЗЬ УРАВНЕНИЯ МКП-П С ПОТОКАМИ ИЕРАРХИИ КН

Иерархия КН имеет вид [7]

(2.1)

Оператор

(2.2)

это первая симплектическая форма, а оператор

Ь =

)

(2.3)

солитонные резонансы для мкп-н

135

, что если эво-¡определя-^егура солитон

«шерсией I уравне-ках это-' четырьмя :четы-

есть оператор рекурсии иерархии, д = д/дх. Второй поток иерархии - это система уравнений «

9*2 = \ [Яхх + (Ч2г)х], П2 = ^ [~гхх + (г2д)х],

(2.4а) (2.46)

атретии-

(2.1)

(2.2)

(2.3)

9*з =

П. = -т

Яхх + Ъrqqx + -(г2?2)?

гхх ~ 3гдгх + ^(Г292)Г

(2.5а) (2.56)

Для 51/(2, К)-иерархии КН мы имеем вещественные временные переменные ¿з и будем использовать обозначения у = £г/2, Ь = — £з/4. В этом случае функции ?иг являются вещественными; обозначим их следующим образом: }

ет = д, е = —г.

В таком случае мы имеем систему уравнений Р ДП [5]

е+ = е+х - (е+е~е+)х, е~ = —ехх - (е+е~е~)х

и систему уравнении

е, = е '

3(е+е-е+)х + ^((е+е-)2е+)х,

в* =еххх+Це+е-ех)х + -((е+е-)2е~)

(2.6)

(2.7а) (2.76)

(2.8а) (2.86)

Рассмотрим теперь пару функций трех переменных е+ (я, у, £) и (я, у, £), удовлетворяющих системам (2.7) и (2.8). Данные системы совместны, поскольку принадлежат к одной и той же иерархии для различных времен. Это может быть установлено и непосредственно из условия совместности = е^ с использованием следующих законов сохранения для систем (2.7) и (2.8), соответственно:

(е+е~)у ~

(е+е--е+0--(е+е-)2

(е+е-)4 =

(е+е-)хх - 3(е+е~) + 3{е+е~){е+ех - е+е") + -(е+е~)3

(2.9)

Предложение 1. Пусть функции е+(х, у, £) и е~ (х, у, являются одновременно решениями систем (2.7) и (2.8). Тогда функция и(х,у,{) = е+е~ удовлетворяет уравнению мКП-П

4C/t + Uxxx - \U2UX - 3UxdZxUy ] = -3Uyy,

(2.10)

которое можно записать и в другом виде:

-iUt + Uxxx - -U2UX - WXW = -Wv,

Wx = Uy

(2.11а) (2.116)

(вторая форма получается из первой, если ввести вспомогательную переменную IV в соответствии с (2.116) и проинтегрировать по переменной х).

Доказательство не вызывает затруднений. Используя определение функции II и формулы (2.7), (2.9), получаем

Uy =

Uyy =

Uxxx - 4(e+ex )x - 3C/x(e+e -e+ex)-

■ U(e+e--e+e-)x-bu2)y

(2.12)

С другой стороны, формулы (2.8), (2.9) дают Ut =

Utx =

Uxx - 3(e+e") - SU(e+e~ - e+e~) + -U3 Uxx - 3(e+e") - 3U(ele~ - e+e") + \U3

(2.13)

(2.14)

Сначала мы объединяем формулы (2.12) и (2.14), чтобы сократить член e+e¡T, затем используем (2.12) для исключения члена eje- — е+е~ и его производных в соответствии с формулой

и формулой

(e+e--e+ej)x = tfv--(tf2)x

{е+е~-е+е-)=дх1иу--и2,

(2.15)

(2.16)

полученной из (2.15) однократным интегрированием. В результате мы приходим к мКП-П в виде (2.10).

солитонные резонансы для мкп-н

137

(2.10)

2.11а) 2.116)

енную

3. БИЛИНЕИНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЛЯ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОТОКОВ

Теперь, для того чтобы найти решения уравнения мКП-П в соответствии с предложением 1, построим билинейное представление для систем (2.7) и (2.8). В работе [5], для того чтобы проинтегрировать систему РДП (2.7), мы применили билинейный метод Хироты. Здесь мы применим тот же метод к уравнениям (2.8) и мКП-И. Как было отмечено в работе [5], стандартная подстановка Хироты в виде отношения двух функций не работает для функций е+ и е~ непосредственно (это обстоятельство связано также со сложной аналитической структурой НУШП [8]). Чтобы получить стандартную подстановку Хироты, мы, следуя [5], перепишем сначала системы (2.7) и (2.8) в терминах новых функций , <3 ~:

(3.1)

яфор-

и в результате получим системы 1+ - п+

я; = ягх+я+я+ях - ?(я+я-уя+,

Яу = ~ЯХХ + Я~Я~Я+ + я+я~?я

+ П-\2/

(3.2а) (3.26)

-.12)

-13) 2 14)

:ем вии

15)

.16) м к

Я1 = <ЦХХ + зс?+д-д+ - -(д+д-)2д+,

я; = Я1

Тогда в силу того, что

зд+д-д---(д+д-)2д-.

д+д- = е+е- = и,

(3.3а) (3.36)

(3.4)

системы (3.2), (3.3) также дают решение уравнения мКП-П, что можно сформулировать в виде следующего предложения.

Предложение 2. Пусть функции д+(х, у, ¿) и д (х, у, £) являются одновременно решениями систем (3.2) и (3.3). Тогда функция и(х,у,Ь) = Я+Я~ удовлетворяет уравнению мКП-П (2.10) или (2.11).

Чтобы решить системы (3.2) и (3.3), введем четыре вещественные функции д+, д~, /+, согласно формулам

я+ = р, Я~ = р, (3.5)

или, используя формулы (3.1) и (3.4), для исходных переменных е+ и е~ получим следующую подстановку:

5+/+ - 9~Г

е+ =

2 '

е =

(3-6)

Теперь система (3.2) записывается в билинейном виде:

(£»уТ£»2)(5±-/±) = О, ВЦ/+-Г) + \ох(д+.д-) = О, ох(!+ -Г)я- = О-

(3.7а) (3.76)

(3.7в)

Аналогичным образом для системы (3.3) имеем следующее билинейное представление:

(3.8а) (3.86)

(ЗАО

(А-х?®)(э±-/±) = О,

ЖГ* ■ Г)+ \ох(д+-д-) = 0, 1

=0.

Сравнивал эти два билинейных представления, можно видеть, что второе и третье уравнения обеих систем имеют одинаковый вид. Поэтому для решения, удовлетворяющего одновременно (3.2), (3.3), получаем следующую билинейную систему:

(^„тя'Х^./=■=) = о,

№-&х){д±-1±) = 0,

о2хи+ Г) + \ох{д+ -д-) = 0, ОМ+Г)-\д+д- = 0.

(3.9а) (3.96)

(3.9в) (3.9г)

Из последнего уравнения имеем и = е+е" = С}+С}- -

= М1+ Г) = 2ПГ - /+/х"

/+/- /+/- /+/ что дает для решения уравнения мКП-П следующую формулу:

и

(3.10)

4. РЕЗОНАНСНЫЕ СОЛИТОНЫ СИСТЕМЫ РДП

Прежде всего рассмотрим систему РДП (2.7) как эволюционное уравнение, в котором переменная у — хо = £ интерпретируется как временная переменная.

4.1. Киральное диссипативное солитонное решение. Для диссипативного односолитонного решения (одиночного диссипатона) имеем

/± = 1 + е*±е*'++*'">

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»