ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 73. Вып. 1, 2009
УДК 539.3:534.1
© 2009 г. С. В. Кузнецов СОЛИТОНОПОДОБНЫЕ ВОЛНЫ ЛЭМБА
Исследуется скорость и поляризация акустических волн Лэмба, распространяющихся в направлениях упругой симметрии одно-, и двухслойных анизотропных сред при исчезающе малых частотах (солитоноподобные волны). Для построения решений используется метод фундаментальных матриц. Анализируются условия существования солитоноподобных волн Лэмба.
1. Введение. Солитоны, или распространяющиеся волны [1] представляют собой уединенные волны, напоминающие фронт ударной волны; и удовлетворяют следующим условиям (условия А): они распространяются с постоянной скоростью без заметного затухания и не взаимодействуют с другими волнами [2]. В гидродинамике такие волны описываются нелинейным уравнением Кортевега-де Вриза (КдВ) [3 - 5].
Ниже анализируются солитоноподобные волны распространяющиеся в упругом слое и удовлетворяющие условиям А. В отличие от солитонов в гидродинамике они описываются решением системы линейных уравнений, известных как уравнения Кристоффеля для волн Лэмба при круговой частоте, стремящейся к нулю, или при стремлении к нулю волнового числа. Линейные солитоноподобные волны в пластинах были впервые обнаружены [6] в ходе модельных численных экспериментов. Эти волны численно исследовались в круговых цилиндрических стержнях [7-10] как специальные решения линейного уравнения Похгаммера - Кри и рассматривались в рамках нелинейных уравнений, аналогичных уравнению КдВ [11-13].
Численные результаты [6-10] свидетельствуют, что для низшей моды волны Лэмба (или волны Похгаммера - Кри) при малом волновом числе г фазовая скорость с(г) удовлетворяет условию
с (г) = О (гп), г ^ 0 (1.1)
где п > 0 - некоторое целое число. Отметим, что в численных экспериментах показатель п определить не удавалось. В дальнейшем несколько более точное условие (см. замечание в конце разд. 3) будет использоваться для нахождения фазовой скорости солитоноподобной волны.
Рассматривая поверхностную волну и(х, ю, г), представленную в виде суперпозиции двух гармонических волн:
, л , ч ¡юг , ч < ю(г- го) , ч/ ¡юг ¡ю(г - ¡0)
и(х, ю, г) = и0(х, ю)е - и0(х, ю)е = и0(х, ю)(е - е )
¡(п + ю г0)
распространяющихся со сдвигом фаз е , видим, что результирующая волна
при ю ^ 0 и г0 = 1/ю представляет собой уединенную волну - ударный фронт. Выбирая суперпозиции с иными гармоническими волнами, можно получить другие формы уединенных волн. Условия А выполняются тривиальным образом для любых волн, являющихся решением систем линейных дифференциальных уравнений.
Тот факт, что солитоноподобные волны Лэмба в пластинах распространяются при исчезающе малых частотах, обуславливает малую энергию, необходимую для их возбуждения. Действительно, распределенная кинетическая энергия волны Лэмба определяется выражением
£Ип = 1 р| и|2 = 2 р| ш| 2ю2 (1.2)
где т - амплитуда перемещений, зависящая от положения точки внутри пластины. Таким образом, при ограниченной амплитуде и ю ^ 0 кинетическая энергия стремится к нулю. Можно показать, что распределенная потенциальная энергия также пропорциональна квадрату амплитуды и частоты.
Наряду с волнами Релея волны Лэмба [14] играют важную роль в переносе энергии и весьма часто используются при неразрушающих методах исследования. Поле перемещений волны, распространяющейся в изотропном слое, обычно представляют в виде [14]
u (x, t)
4 Л
iry
e
X mpCp
\p = i
ir(n • x - ct) /1 оч
e (1.3)
где u - перемещения в слое, mp - единичные амплитуды (векторы поляризации). Предполагается, что каждый из векторов mp лежит в сагиттальной плоскости (она определяется вектором n, задающим направление распространения волнового фронта, и единичным вектором u, нормальным к срединной плоскости слоя); X = u ■ x - координата вдоль вектора u, параметры yp определяются из вводимого позднее уравнения Кристоффеля. В представлении (1.3) волны
p, ч irf pX ir(n • x - ct) /Л .4
u (x, t) = mpe p e (1.4)
обычно называют парциальными волнами. В выражении (1.3) неизвестные (комплексные) коэффициенты Cp определяются с точностью до множителя из граничных условий на свободных граничных поверхностях
x' = ±h: tv = v • C •• Vxu = 0 (1.5)
где C - тензор упругости, 2h - толщина слоя. Экспоненциальный множитель e'r(n ' x - ct) в равенстве (1.3) отвечает распространению плоского волнового фронта n ■ x = const.
Представление (1.3) имеет место и в случае анизотропных слоев, если выполнены следующие условия (условия Б): тензор упругости обладает осью упругой симметрии и волна распространяется в направлении этой оси. Первое из этих условий эквивалентно наличию у тензора упругости моноклинной группы симметрии; в этом случае тензор упругости содержит 13 независимых разложимых компонент. При нарушении условий Б амплитуды парциальных волн могут не принадлежать сагиттальной плоскости, что приводит к необходимости учета шести парциальных волн в представлении (1.3) для волны Лэмба [15].
В случае многослойной среды, состоящей из двух и большего числа контактирующих слоев, соответствующие решения обычно получают с помощью двух разных методов. Эти методы известны как метод передаточных матриц (МПМ) (иногда его называют методом Томсона - Хаскелла по имени разработчиков [16, 17]) и метод глобальной матрицы (МГМ) [18, 19]. МПМ основан на последовательном решении контактных граничных задач на поверхностях раздела и построении соответствующих передаточных матриц. Ниже этот метод будет обсуждаться более подробно.
МГМ основан на решении обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-однородными коэффициентами, приводящем в итоге к построению специальной "глобальной" матрицы.
Далее развивается вариант МПМ, основанный на построении фундаментальных матриц и позволяющий проводить аналитические исследования солитоноподобных волн Лэмба в средах с произвольной анизотропией.
2. Основные соотношения. Ниже все слои считаются однородными и линейно гиперупругими. Уравнения движения для упругой однородной анизотропной среды могут быть представлены в виде
Л(ЭХ, дг)и = ШухС •• Ухи - ри = 0
Тензор упругости С предполагается положительно определенным:
(Л •• С •• Л)= £ А^тпАтп > 0,
УЛ 8ушЛ = (Л + Лг)
Л е яуш(й3 ® й3), Л # 0
(2.1)
(2.2)
Заметим, что в случае изотропной упругой среды условие положительной определенности (2.2) эквивалентно условиям
ц > 0, X > -2ц/3
(2.3)
где X и ц - постоянные Ламе.
Следуя описанному ранее методу [15, 20], рассмотрим более общее, чем (1.3), представление для волны Лэмба распространяющейся в слое с произвольной упругой анизотропией:
/ Г/ ¡г(П • х - сг)
и (х, г) = f (х ) е
где х" = ¡гх' - безразмерная переменная, f - неизвестная векторная функция, определяющая изменение амплитуды на волновом фронте. Подставляя это выражение в уравнение (2.1), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции f (известное как уравнение Кристоффеля для волны Лэмба)
-г2(Л!д^ Л2дх- + Лз)• f = 0
(2.4)
где
Л
V • С • V, Л2 = V • С • п + п • С • V, Л3 = п • С • п - рс I
(2.5)
Для последующего анализа редуцируем уравнение (2.4) к матричному обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка, введя вспомогательную функцию ^ = дх.£ Получим
f f О I
= О • ; о = -Л! • Л3 -Л1 • Л2 , det О
w w
detЛ3 скЛЛ,
(2.6)
Здесь О - матрица шестого порядка для среды с произвольной анизотропией и четвертого порядка для случая, когда выполнены условия Б, О и I нулевая и единичная (3 х 3)-матрицы. Матрица О позволяет представить общее решение уравнения (2.6) в виде
¡гО х'
е • и
д
х
где и - шестимерный, вообще говоря, комплексный вектор, определяемый с точностью до скалярного множителя граничными условиями (1.5). Тогда получим представление (2.3) в виде
и (х, г) и( х, г)
. ¡гОX ¡г(п • х - сг) . . ¡г(п • х - сг)
= (е • и)е ; и(х, г) = w(х )е
(2.7)
Заметим, что представление (2.7) остается справедливым и в случае неполупро-стого вырождения матрицы О, т.е. при наличии жордановых блоков в канонической нормальной форме матрицы О.
3. Солитоноподобная волна в гомогенном анизотропном слое. Подстановка решения в форме (2.7) в граничные условия (1.5) дает
М • и = 0; М =
(Аф А:) • е -(Аф А!) • е
■¡гОН
-¡гО Н
Аф = V • С • п
(3.1)
Наличие нетривиального решения уравнения (3.2) эквивалентно условию
detM = 0 (3.2)
известному как дисперсионное уравнение для волны Лэмба, поскольку это уравнение определяет фазовую скорость как неявную функцию частоты или волнового числа.
При г = 0 и любой анизотропии упругого гомогенного слоя уравнение (3.2) тождественно удовлетворяется, что следует из выражения (3.1) для матрицы М при г = 0. Однако полученное при г = 0 решение бессодержательно: оно не обеспечивает удовлетворения условию (3.2) при малых г и не определяет фазовой скорости солитоно-подобной волны. В дальнейшем для отыскания такой волны будет использоваться условие (1.1). При учете выражения (3.2), условие (1.1) может быть записано в виде следующих условий:
—кс(г)- -йг
дгdet М
Э^М
= 0, к = 1, ..., п
(3.3)
г = 0
Видно, что условия (3.3) эквивалентны равенствам
дк detM
=0
0, к =1, ..., п
(3.4)
Разложим в ряд Тейлора по г экспоненциальные отображения, фигурирующие в (3.1). Это дает матрицу М в виде
М
А4 А1 ¡гН
-А4 А1 + и
-А3 Аф -А2 -А3 Аф -А2
(¡гН)2
2!
В1 В2
-В1 -В2
(¡гН)3
3!
В3 Вф В3 Вф
+ О(г4) (3.5)
ВВ1 = — ^Аф-А. 1 А3 + А2 -А.1 ^^3, В2 = —А2 — А3 + А2 1 А2
В3
-1 -1 -1 -1 2 А3А1 А2А1 А3 + А3А1 А3 - (А2А1 ) А3
В
-1 2
12
В1 + А4(А2А1 ) + А3А1 А2- (А2А1 ) А.
к
Ограничиваясь при малых г первыми четырьмя членами тейлоровского разложения в (3.5) и применяя формулы Шура [21], получим условия (3.4) в виде
дк detM | г = 0 = дк (detX+det( У- - Х-Х+Ч+))
г = 0
= 0, к =1, ..., п
(3.6)
Х± = ± Л4- (¡гй)Лз ± ^Б1 + ^Вз
У± = ±Л1 + (¡гй)(Л4 - Л2) ± ^В2 + (Нй~Б4
Матрицы, входящие в равенства (3.6), корректно определены, если фазовая скорость с отлична от скоростей объемных волн, распространяющихся в направлении волновой нормали п к фронту волны. В дальнейшем это условие предполагается выполненным. Уравнения (3.6)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.