научная статья по теме СООТНОШЕНИЯ СТЕФАНА-МАКСВЕЛЛА ДЛЯ АМБИПОЛЯРНОЙ ДИФФУЗИИ В ДВУХТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЕ С ПРИЛОЖЕНИЕМ К ЗАДАЧЕ ОБ ИОННО-ЗВУКОВОЙ ВОЛНЕ Физика

Текст научной статьи на тему «СООТНОШЕНИЯ СТЕФАНА-МАКСВЕЛЛА ДЛЯ АМБИПОЛЯРНОЙ ДИФФУЗИИ В ДВУХТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЕ С ПРИЛОЖЕНИЕМ К ЗАДАЧЕ ОБ ИОННО-ЗВУКОВОЙ ВОЛНЕ»

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2015

УДК 533.6.011.8

СООТНОШЕНИЯ СТЕФАНА-МАКСВЕЛЛА ДЛЯ АМБИПОЛЯРНОЙ ДИФФУЗИИ В ДВУХТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЕ С ПРИЛОЖЕНИЕМ К ЗАДАЧЕ ОБ ИОННО-ЗВУКОВОЙ ВОЛНЕ

Для частично ионизованной квазинейтральной многокомпонентной двухтемпературной смеси газов получены соотношения Стефана—Максвелла, в которых градиенты концентраций выражены через линейные комбинации диффузионных скоростей компонентов и градиенты термодинамических параметров. Показано, что в двухтемпературных смесях появляется составляющая диффузионной движущей силы, пропорциональная V 1п (Те/Ти), где Te — температура электронов, Th — температура газа. Для трехкомпонентной плазмы получено обобщение закона Фика для диффузионного потока ионов, содержащее эту новую термодиффузионную силу. В предположении, что заряженные компоненты не влияют на структуру ударной волны, для линейных аппроксимаций профилей плотности и температуры газа в этой области аналитически получены приближенные распределения массовой концентрации ионов в ударной волне, распространяющейся по слабоионизованному аргону, и перед ее фронтом при условии, что температура электронов много выше температуры газа. Аналитические распределения амбиполяр-ного электрического поля Ea и отношения Ea/n получены в ионно-звуковой волне (протяженной зоне перед фронтом ударной волны в неизотермической плазме).

Ключевые слова: слабоионизованная двухтемпературная плазма, соотношения Стефана — Максвелла, амбиполярная диффузия, ударная волна, электрическое поле.

1. С целью применения эффективных вычислительных алгоритмов для решения уравнений многокомпонентной диффузии удобно использовать выражения для градиентов концентраций через линейные комбинации векторов диффузионных скоростей, не содержащие многокомпонентные коэффициенты диффузии. Для многокомпонентных однотемпературных смесей таким свойством обладают соотношения Стефана—Максвелла [1, 2].

Для описания диффузии в двухтемпературной ионизованной смеси газов, состоящей из N компонентов, в качестве исходных уравнений, дающих связи между "силами" и "потоками", возьмем обобщенные для этого случая соотношения Стефана-Максвелла из [3-6]

© 2015 г. А. Ф. КОЛЕСНИКОВ

Институт проблем механики им. А Ю. Ишлинского РАН, Москва е-mail: koles@ipmnet.ru

Поступила в редакцию 13.05.2013 г.

(1) А (^

Ve - kjhiV In Tk - kTeiV In Te

(1.1)

(i = 1, ..., N - 1)

N-1

Йе =- X-, Уе - кте^ 1п Те (1.2)

^ X 1) /е>(§ е Те е ( )

N-1

Й> = - VР + Ы - ) —, ^ = £ е;х;- - еХе (3)

нкТк пкТк кТь ,=

Йе ^^е + ^ -Е (1.4)

нкТк кТь

х = * Хе = \ ^^ (1) = п, (1) = ^(^кТ! Ае (1) = (1) = -кТТ1

п п 16п т— 16п— о-

Здесь номера 'и у от 1 до N — 1 относятся к тяжелым компонентам (атомам и ионам), номер N и индекс е — к электронам; х, хе — числовые концентрации компонентов; с' — массовые концентрации тяжелых компонентов; п , пе, п — число тяжелых частиц, электронов и частиц смеси в единице объема; р, ре — парциальные давления компонентов; р — давление смеси; еу — заряд частиц у-го сорта; — е — заряд электрона; q — плотность электрического заряда смеси; Е — напряженность электрического поля; т,, те — массы частиц тяжелых компонентов и электронов; Ду(1), Де(1) — коэффициенты бинарной диффузии в первом приближении при разложении в ряды функций

возмущения по полиномам Сонина [7]; О^, О^1 — ^ — интегралы [3] для пар у и е.

Векторы диффузионных движущих сил Йг и Йе, а также термодиффузионные отношения кТЫ, кТе,, кТе обладают свойствами

N-1

X Й, + Йе = 0 (1.5)

г=1

N-1 N-1

Е кш = 0, X кТе, + кТе = 0 (1.6)

г=1 г=1

Формулы для термодиффузионных отношений кТЫ, кТег, кТе, а также для поправок к бинарным коэффициентам диффузии /1 (д), /¡е за счет учета высших приближений порядка £ и при разложении функций возмущения в ряды по полиномам Сонина [7] получены и приведены в [4—6].

С учетом уравнения состояния двухтемпературной смеси газов в виде

= 1 + Хе (9- 1) 0 = Т ()

пкТк Тк

векторы диффузионных движущих сил й1 и йе выражаются через градиенты термодинамических параметров следующим образом:

Йг = Ух1 + х1 (1 - 9) Ухе + [х1 - с1 + схе (1 - 6)] V 1п р -

Р , ч (1.8)

- хх^ V9 + ^^хАе Р кТк

й^ = пкТ^^ + 1пр + Хе _ -^пкТъ уе+ е^Е ( ! . 9)

Р Р кТк

Тогда для градиентов концентраций тяжелых компонентов имеем выражения через 'силы"

Ух1 = а, + х1 (1 - ^ ае + ( - х1) [1 + хе (е -1)] V 1п р + 1п е +

1 е (1.10)

^ (1 -е) +

kTr 7 kTh

h

E

Vxe = de - xe-p'— V ln p - xe (1 - xe )V ln 9-[1 + xe (9-1)] ] E ( 1 . 1 1 )

nkle nklh kle

Заметим, что в правые части (1.10) и (1.11) входят "новые" термодинамические силы, пропорциональные V ln (Te/Th ).

2. Далее рассматривается случай амбиполярной диффузии в квазинейтральной смеси газов, когда напряженность электрического поля может быть исключена из определяющих уравнений без решения уравнения Пуассона для потенциала электрического поля [4, 8]. Полагаем, что при отсутствии внешнего электрического поля равны нулю плотность электрического заряда и плотность тока

N-1

q = £ ejXj - exe = 0 (2.1)

j=1

N-1

j = X etxiV - exeVe = 0 (2.2)

i=1

Тогда с точностью до членов порядка (me /mh )1/2 исходные соотношения (1.1), (1.2) принимают вид

N-1

di = X D (Vj - Vi ) - kmV lnTh - kTeiy ln Te, i = 1, ..., N — 1 (2.3)

de =-kTey ln Te (2.4)

При этом в равенствах (1.8)—(1.11) считаем E = Ea, где Ea — напряженность амбипо-лярного электрического поля, которое обеспечивает условие квазинейтральности плазмы. На основании равенства (2.1) далее полагаем равенство нулю градиента плотности объемного заряда

N-1

X ejVxj - eVxe = 0 (2.5)

j=1

Тогда исключая в (2.5) градиенты концентраций с помощью (1.10) и (1.11) для напряженности самосогласованного амбиполярного электрического поля, получаем выражение

N-1 ( N-1 ^

XEa =- X Zjdj + 9 de - Z j

j=1 V j=1

[1 + xe (9- 1)]V ln p - xeV ln 9 (2.6)

X =

кТе

N-1 \ 2

хе +9 £ г

V 1 =1

где Ту — зарядовое числоу-го компонента.

Подставив (2.6) в (1.10) и исключив векторы й 1 и йе с помощью (2.3), (2.4), получим искомое представление градиентов концентраций тяжелых компонентов через диффузионные скорости и градиенты термодинамических параметров, в котором амбипо-лярное электрическое поле исключено

VXI = XI £ 4 V + к* V 1п р - 1п Тк - 1п Те + х1хе - Х^ 1п 9

XI1 (гк - )х1хк

N-1

=I

хк

к * -кр1 —

х к1 °1к (1) {¡к (С)' 1 А,(1) /¡(с) в 1к (1) г 1к (С)

[1 + хе (9- 1)]

( N-1 \

1 + Х Е г.кСк Х к=1 )\

(2.7)

кТЫ - кТЫ--— X гккТИк

х к=1

кТе1 = кТе1 - х1 X к=1

1 -1+ Х (гк +1

. е х^к е

Тек

ъ - ^ (1 -9)+ ^

кТеК ' кТь

В правой части (2.7) присутствуют термодиффузионные слагаемые трех типов: два за счет молекулярной термодиффузии, пропорциональные V 1п Тк и V 1п Те, и третье, описывающее эффект термодиффузии при Тк ^ Те. Это третье слагаемое, в отличие от первых двух, не зависит от коэффициентов переноса.

Для однотемпературной многокомпонентной смеси соотношение (2.7) сводится к виду

N-1

Ух1 = х1 ^ а*У1 + кТу 1п р - к*У 1п Т

1=1

(2.8)

7 & 7 7

кц = кт + кТе,-

Формулировка связей между "силами" и "потоками" в виде (2.7) позволяет в случае амбиполярной диффузии в квазинейтральной области исключить из рассмотрения уравнение диффузии электронов и уравнение Пуассона для электростатического поля. После решения соответствующей задачи о течении плазмы амбиполярное электрическое поле может быть вычислено из (2.6), (2.3) и (2.4).

3. Для иллюстрации новых соотношений переноса (2.7) далее рассматривается случай трехкомпонентной плазмы: N = 3, индекс I = 1 относится к атомам, индекс I = 2 — к однозарядным ионам. С высокой точностью полагаем т1 = т2. Для квазинейтральной смеси

е

х

N -1

N-1

х1 + х2 + хе = 1, х2 = хе, х1 = 1 - 2х2, т = т2 (1 - х2) = -3 2

Соответственно, только концентрация и массовый диффузионный поток ионов — независимые диффузионные параметры. Соотношения Стефана—Максвелла (2.7) приводятся к единственному выражению для диффузионного массового потока ионов

3 2 = - т2 р[Пат„(У х 2 + к*У 1пр + к^ 1п0) + Б^ 1п ГА - Б^ ^

(3.1)

БатЬ

1 + 9

1 + х2 (9-1)

Б21 (1) /21 (С)

к* = х2 (1 - 2х2) 0 [1 + х2 (9- 1)] р2 1 - х2 1 + 0

кТНТе = х2 (1 - 2х2У

1 + и

_ 1 + х2 (9- 1) Б к

Б2атЬ _ -:---БатЬкТИ2

1 + 0

БТе* _ 1 + х2 (б- 1) Б к

Б2атЬ _ -:---БатЬкТ

1 + 0

Выражение для амбиполярного электрического поля сводится к

Е а =-

кТ

--1—- V 1п х2 +У 1п р + 1 9 V 1п 9 + кТе 11п Те

1 + х2 (9 -1) 1 + х 2 (9 -1) 9

Для слабоионизованной тройной смеси имеем БатЬ = (1 +9) Б21 (1) /п (С)

(3.2)

7 * _ 7 * _

кр2 = кТИТе = х 2

1 + 1

бТН* Б2атЬ

1 + 1

'БатЬк'

атЬкТИ2

б Те* Б2атЬ

Е а = -

1

1 +

кТе

'БатЬкТе1

V 1п х 2 + V 1п р + V 1п 0 + кТе - V 1п Те

(3.3)

При учете коэффициента диффузии в первом приближении /12(1) = 1 [4—6] и в пренебрежении молекулярной термодиффузией диффузионный поток ,12 и напряженность амбиполярного электрического поля Еа равны

2

32 = - т2рБатЬ&х2 + к*У 1пр + к^ 1п0) т

Е а = - ^ (V 1п х 2 + V 1п р + V 1п 0)

е

(3.4)

(3.5)

Р2

р2м2

Piui

Pi

Фиг. 1. Схема течения

0

д

4. В [9] на основе уравнений одножидкостной гидродинамики было показано существование протяженной зоны перед фронтом ударной волны, где возмущаются заряженные компоненты слабоионизованной плазмы, в случае Te = const > Th. Соответствующая структура перед фронтом скачка уплотнения названа ионно-звуковой волной в неизотермической плазме. Вместе с тем остался нерассмотренным интересный и важный вопрос об электростатическом поле в этой протяженной зоне перед фронтом ударной волны. Ранее в численных решениях задачи о вязком ударном слое в сла-боионизованном аргоне [4, 10] получены распределения концентрации ионов и амби-полярного электрического поля вдоль линии торможения с максимумами в ударной волне.

Далее рассматривается диффузия ионов в ударной волне, распространяющейся по достаточно разреженной трехкомпонентной двухтемпературной плазме (A — атомы, I — ионы и e — электроны), и выше по потоку при следующих предположениях: 1) плазма слабо ионизована, т. е. xTTe/Th < 1; 2) температуры ионов и атомов равны; 3) нет обмена энергией между электронами и тяжелыми частицами; 4) температура электронов посто

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком