РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2004, том 49, № 2, с. 196-204
ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
УДК 621.396.967:629.735.33 (024)
СОПОСТАВЛЕНИЕ ДВУХ МЕТОДОВ КОГЕРЕНТНОЙ ТОМОГРАФИИ
© 2004 г. В. П. Ющенко
Поступила в редакцию 12.11.2002 г.
Проведено сравнение метода томографии с помощью круговой апертуры, получаемой путем вращения объекта, с методом томографии, использующим линейный апертурный синтез. Сопоставлены передаточные функции точки, полученные разными методами томографии, и их пространственные спектры. Для получения передаточной функции точки в виде дельта-импульса предлагается линейный апертурный синтез в двух взаимно-перпендикулярных направлениях. Показано на томограмах моделей многоточечных объектов, что при линейном апертурном синтезе в двух взаимно перпендикулярных направлениях проблемы интерференции остаются, однако интерференционная картина ограничивается габаритами объекта. Предложен метод ослабления интерференции.
ВВЕДЕНИЕ
Специалистам, знакомым с апертурным синтезом, хорошо известен метод синтезирования круговой апертуры с помощью неподвижной антенны, использующий вращение объектов. Разработчики метода называли его томографическим обобщением доплеровской обработки сигналов, чем хотели подчеркнуть, что апертурный синтез хорошо трактуется с позиций томографии, фундаментом которой являются теории реконструкции изображения объекта в сечении по проекциям (основоположником данной теории считается немецкий математик Радон). В статье сопоставлен метод томографии с помощью круговой апертуры с методом томографии посредством прямолинейной синтезированной апертуры [1].
Сущность метода, используемого в работе [2] (будем его называть метод Менсы), состоит в следующем.
Сигнал, принимаемый в точке, в которой находятся передатчик, излучающий монохроматический
сигнал, и приемник, можно представить формулой1
x (r) = A J
1
r - r
a(Р)exp
- x|r - r |
ds', (1)
где интеграл берется по площади обследуемой
области А - несущественная постоянная, а( Г) -комплексная амплитуда рассеяния в точке, X -> >,
длина волны, г, г - радиус-векторы, отсчитываемые от центра регистрируемой области соответственно до наблюдателя и до отражающей точки. При большом расстоянии от центра томографи-
руемой области до наблюдателя | r - r'1
приближение дальней зоны. Если учесть это при-
1 В работе [2] радиальное уменьшение амплитуды сигнала ]
ближенное равенство в показателе экспоненты, то приведенная формула превращается в преобразование Фурье:
х( Г) = А | 1 а (Р) ехр ^-г г| ехр ^'ХП ГР^ = Г - Г' Г (2)
= A J 1--2 a (Р) C1exp ^ ds',
где ds' - элемент площади в области пространственных частот, rr - скалярное произведение векторов, С1 = exp |-г r) = const, так как r в методе
Менсы является постоянной величиной, Р - вектор в области пространственных координат. Выражение (2) является двумерным преобразованием Фурье в векторной форме. Следует обратить
внимание, что х( Г) в (1) и (2) приобретает смысл
спектральной функции X(Г), где Г является вектором в области пространственных частот, а регистрация значений х( Г) есть ни что иное, как сбор данных при томографировании в спектральной области. В методе Менсы данные X (Г) регистрируются по круговой линии, т.е. определяются значения спектра на кольце. Способ проведения измерений для получения отсчетов спектра на кольце был независимо предложен Адамсом и Андерсоном [3] и получил дальнейшее развитие в работе Д.Л. Менсы, Ш. Халеви и Г. Уэйда [2], а также в работах других специалистов. Этот метод, по существу, является круговым апертурным синтезом, осуществляемым в фурье-области.
Для восстановления распределения а( Г) из принимаемых сигналов используют преобразование, которое известно, как теорема о проекционном слое, или теорема о центральном сечении [4]. В век-
. r - rr р -
соответствии с 1/| r - Р |2 не учитывалось.
S
S
(a)
10
15 20
У
х 20
У 20
10-
0-
-10-
(б)
-20
-20
-10
10
20 х
Рис. 1. Передаточная функция точки, полученная методом Менсы (а) и вид этой функции сверху (б).
торной форме после операции обратного проецирования теорема примет вид
à ( r) = Ix( Г ) exp
-i Tlr - rl
ds,
(3)
где ds - элемент площади в области пространственных координат. Если учесть приближение дальней зоны, то правую часть выражения (3) можно считать преобразованием Фурье в векторной форме. Интеграл берется по площади, ограниченной линией, по которой перемещается наблюдатель. В частности, в методе Менсы перемещение идет по круговой линии. Таким образом, для восстановления функции а( г) достаточно подставить в правую часть (3) вместо интеграла выражение (1) и от обеих частей полученного равенства взять обратное преобразование Фурье. Представленный алгоритм известен как реконструкция методом обращения по Фурье [4]. Разрешающая способность метода характеризуется функцией рассеяния точки (термин из оптики), или передаточной функцией точки (термин Менсы [2]). Она получается, если в формуле (1) а( г) заменить дельта-функцией
в точке го, подставить результат в (3) вместо интеграла и взять обратное преобразование Фурье по кольцевой линии Ь, где dl' - элемент длины на кольцевой линии. Тогда оценка восстановленной
дельта-функции С( г, го) определится в виде
C ( r, Го ) =
= * I
> > |2 r - го
exp
i-----(\r - r| - |r - Го| )
dl.
(4)
В случае, рассмотренном в [2], при определении разрешающей способности с помощью передаточной функции точки полагалось, что го = 0, г > г' и результат (4) примет вид функции Бесселя 1
C( Г, 0 ) = АI
>|2 r
exp
I ■--- (\r - r | - |r| )
dl.
Учтем, что (|г - г'| - |г|) = |г'| ео8(ф - 6), где ф - угловое положение вектора г в пространственных координатах, 6 - угловое положение вектора г' в области пространственных частот. Тогда функция Бесселя примет вид
2п
C(lг ,ф) = -АI
r
exp
i--г- |r | cos(ф - 9) À
d9. (5)
Передаточная функция точки, полученная методом Менсы, имеет вид, предложенный на рис. 1.
Как видно из рис. 1, передаточная функция точки имеет главный лепесток шириной À/5, однако уровень первого бокового лепестка этой функции всего лишь на 8 дБ ниже уровня главного лепестка, что может существенно ограничить динамический диапазон восстанавливаемых изображений.
Для устранения влияния артефактов, т.е. боковых лепестков передаточной функции точки, Д. Менса предлагает двухпозиционную локацию или эквивалентное ей многочастотное зондирование. Это ведет к расширению спектра зондирующего сигнала и является некоторым отходом от когерентности. Когерентность хотелось бы сохранить, так как она дает возможность легко уп-
0
L
0
L
равлять разрешающей способностью, т.е. увеличением. Для этого достаточно уменьшить длину волны. Это следует из того, что разрешающая способность когерентного томографа при круговом синтезировании апертуры равна А/5.
Сбор данных в спектральной области сложен и занимает много времени, потому что надо регистрировать амплитуду, фазу принимаемого сигнала и соответствующий им угол поворота объекта.
Томографирование с применением приемов линейного апертурного синтеза [1, 5] позволяет существенно упростить сбор информации. В отличие от метода Д. Менсы сбор информации, т.е. процесс томографирования осуществляется не в фурье-области, а в области пространственых функций, называемых траекторными доплеровскими сигналами. Таким образом, процесс сбора информации сводится только к регистрации траекторного до-плеровского сигнала антенной с изотропной диаграммой. Это можно сделать, двигаясь мимо подсвеченного предмета по прямолинейной траектории с постоянной известной скоростью.
Суть метода томографии с помощью линейной синтезированной апертуры состоит в следующем.
Сигнал от г-й точки объекта с координатами (X, у), принимаемый приемопередатчиком при пролете мимо этой точки по прямолинейной тра-
ектории с постоянной скоростью ^ и промахом у, можно записать таким образом:
а( X;, у)
/ г (г) =
( V г + X ; - Са/2)2 + у2'
х ехр^ (^г + х ; - Са/2)2 + у2),
(6)
где а(х;, у) - комплексная амплитуда рассеяния в г-й точке, Са - длина синтезированной апертуры, г - время.
Сигнал, отраженный от всего объекта, состоящего из N точек, можно представить в виде
/ (г) = £ /(г).
(7)
г = 1
Опорный сигнал, отраженный от точечного объекта, можно записать в виде
/0( г) =
1
(V г - Са/2)2 + у2'
х ехр^ (Vг - Са/2)2 + у2^.
(8)
Тогда взаимно корреляционная функция между опорным сигналом /0(г) и сигналом /(г) может быть представлена в виде
у 2 г2 N
в(т, у) = Ц!
а(X у ;)
1 ^ ~ [( Vг + X; - Са/2)2 + у2] [( V(г + Т) - Са/2)2 + у^]
йуйг.
22
х
х ехр
у
- (V г + X ; - Са/2)2 + у2 - ТмТ+сЬС/^^+у"2
(9)
N
К сожалению, а(^, у) не выражается в явном виде из (9), поэтому каждая точка восстанавливаемого объекта будет содержать дифракционный множитель в виде экспоненты с разностью радикалов в показателе. В методе Менсы каждая восстанавливаемая точка также содержит дифракционный множитель в виде функции Бесселя (см. выражение (5)). Этот множитель дает боковые лепестки, которые проявляются на томограммах в виде
При определении взаимно-корреляционной функции лучше воспользоваться сверткой функций в
концентрических кругов. Они напоминают кольца Эйри, сопровождающие дифракционные явления в оптике. Менса называет их артефактами.
Чтобы получить передаточную функцию точки, нужно взять функцию /(г) для одноточечного объекта, т.е. в выражении (7) взять N = 1, также принять X = 0, у Ф 0, а^, у) = 1 и тогда взаимно корреляционная функция примет вид
(10)
спектральной области, тогда можно будет использовать алгоритмы быстрого преобразования
у 2 г 2 N
в (т, у) = И!
у1 г1
~ [(V г - Са/2)2 + у2 ][(V (г + т) - Са/2)2 + у2 ]
х
х ехр
йуйг.
(a) (б)
Рис. 2. Передаточная функция точки, полученная методом взаимной корреляции с опорными проекциями (а) и вид этой функции сверху (б).
Фурье, которые позволяют сэкономить число вычислительных операций:
B(x, y) = —Ц f f 5(œx,œy)K(œx, œy)x
( 2n)2 {{ y y (11)
x exp[i(œxx + œyy)]dœxdœy,
где
S(œ x, œ y) = f! s(x, y)exp [-i(œxx + fflyy )] dxdy, (12) K(fflx, œy) =
7 7 (13)
= I I s0(x, y)exp[-i(œxx + œyy)]dxdy
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.