научная статья по теме СОПОСТАВЛЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФОРМ ЗАПИСИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА В ПОТОКЕ СРЕДЫ Механика

Текст научной статьи на тему «СОПОСТАВЛЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФОРМ ЗАПИСИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА В ПОТОКЕ СРЕДЫ»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <1 • 2008

УДК 531.36

© 2008 г. В.А. САМСОНОВ, Ю.Д. СЕЛЮЦКИЙ

СОПОСТАВЛЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФОРМ ЗАПИСИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА В ПОТОКЕ СРЕДЫ

В [1-6] построена модель нестационарного воздействия потока среды на движущееся в нем тело в виде присоединенной динамической системы второго порядка. В литературе нередко (например, [7, 8]) используется представление аэродинамической силы в интегральной форме с интегралом типа Дюа-меля. В настоящей работе обращено внимание на тот факт, что система ОДУ эквивалентна не одному интегродифференциальному уравнению, а целому семейству. Поэтому необходимо обсуждать вопрос о соответствии множеств их решений. Интегро-дифференциальная форма представления аэродинамической силы приведена к виду, удобному для реализации процедуры разделения движений. При этом выделены два первых приближения по малому параметру. Оказалось, что для реальных профилей можно говорить не о присоединенной массе, а об "отсоединенной".

В задаче о вынужденном торможении крыла в потоке показано, что аэродинамическая сила при достаточно большом значении ускорения может сменить направление, превращаясь на некоторое время из тормозящей в "разгоняющую". В то же время, в случае свободного торможения достаточно легкой пластины эффект "разгона" не наблюдается, зато пластина в ходе торможения смещается относительно своего начального положения в направлении, противоположном исходному направлению движения.

1. Введение. В работах [1-6] обсуждалась задача о поступательном движении тела типа плоской пластины (крыла) в направлении поперек потока. Было показано, что воздействие потока на тело в этом случае аналогично воздействию специальным образом сконструированного присоединенного ("жидкого") осциллятора.

Выберем единицы измерения таким образом, что V0 = 1, b = 1, pS/2 = 1, где V0 - скорость набегающего потока на бесконечности, b - хорда пластины, р - плотность среды, S - площадь пластины. Тогда уравнения движения системы "тело+присоединен-ный осциллятор" имеют вид:

Mx = F + N, N = кц + кц (1.1)

m(x + n) = - N - C^in + x) (1.2)

Здесь введены следующие обозначения: M - нормализованная масса тела-пластины, x - координата тела, N - сила воздействия потока среды (аэродинамическая), F - некоторая внешняя сила неаэродинамической природы, приложенная к телу; m - масса присоединенного осциллятора, n - его смещение относительно тела, а к и к - его коэффициенты жесткости и демпфирования; Сп - традиционный для аэродинамики параметр, известный из статических измерений - так называемая производная от коэффициента нормальной силы по углу атаки.

В [1, 3, 5, 6] на основе анализа ряда экспериментальных данных (в частности, результатов экспериментов ЦАГИ) показано, что для крыльев различного удлинения можно предложить единый набор значений параметров к и к (к = 2, к = 10), а значение т полагать равным величине классической присоединенной массы (1.1-1.57). Этот набор пригоден, по крайней мере, для тех диапазонов (достаточно широких) значений параметров потока (числа Рейнольдса, Струхаля и т.п.), при которых были проведены обработанные эксперименты.

В дальнейшем оставим за величинами к, к, т, Сп смысл параметров. Будем предполагать, что для них выполнено соотношение (к + Сп )2 > 4кт, что обеспечит вещественность корней соответствующего характеристического полинома.

В литературе нередко (например, [7, 8]) используется представление аэродинамической силы в интегральной форме с интегралом типа Дюамеля. Известно, что линейную систему ОДУ (обыкновенных дифференциальных уравнений) можно преобразовать в интегродифференциальную форму. Проделаем это для системы (1.1), (1.2) и проведем сопоставление этих форм.

2. Интегродифференциальные формы уравнений движения. 2.1. Семейство инте-гродифференциалъных уравнений. Рассматривая (1.2) как неоднородное уравнение относительно переменной п(0, можно методом вариации произвольных постоянных построить общее решение этого уравнения. После соответствующих преобразований уравнение (1.1) приобретает вид:

MX = N ( t ) + F (2.1)

дг(А /^-4.« v ( wк(к / х + h) x>t п v ( ^m(к + hX) +

N(t) = - Cnx + По Х(-1 )-С-^ - По )-С-^ +

i =1 i =1

n ik/Xi + h х1 ^ i n „ к + hXi r X(t - т)

+ С,Xo £(-1 )г —с— e ' + £(-1 ) (m + Фх ) JXe )dr

i =1 i =1 0

(2.2)

По = П| (= 0' По = П| ,= о

Здесь ^ и Х2 (Х2 < < 0) - корни характеристического уравнения для присоединенного осциллятора

mX2 + (С, + h)Х + к = 0, с = J(h + Can) -4km (2.3)

Очевидно, что при (h + С° ) > 0 имеем Re(X1 2) < 0.

Таким образом, (2.1) представляет собой двупараметрическое семейство интегро-дифференциальных уравнений, в котором роль параметров играют величины п0 и П0. Поскольку само (2.1) содержит в качестве неизвестной лишь функцию x(t), то, вообще говоря, априори неясно, откуда следует брать значения этих параметров. Поэтому следует учитывать, что не каждое решение исходной системы является решением конкретного интегродифференциального уравнения из указанного семейства.

Форма (2.2) аналогична представлению аэродинамической силы, предложенному в работе [7]. Преобразование интегро-дифференциального уравнения в систему ОДУ также встречается в литературе (в том числе, в [8]), однако вопрос о соответствии их множеств решений не обсуждается.

Отметим, что (2.2) содержит слагаемое, зависящее от мгновенной скорости тела, и слагаемые, связанные с предысторией, в том числе, и интегральное. Видно, что собственно начальные условия движения тела и присоединенного осциллятора "забываются" с экспоненциальной скоростью.

2.2. Разделение движений. При работе с интегродифференциальными уравнениями типа (2.2) обычно интегрированием по частям понижают порядок производной под интегралом, чтобы упростить вид уравнения. Покажем, что обратная операция, т.е. повышение порядка производной, дает определенные преимущества. В результате этого преобразования получим

N (t) = - Cn Х-

2

/ 2 7./7.П ,7.4. 2

m —i

v^ wk(k/X, + h) x't . v, lVm(k + hX,) xtt

x + ПоX(-1) —;;—e - noX(-1) —;;—e

10 ,

V У i =1 i =1

2 k/X, + h x,t Л , „a ,„ k/X, + h x,t

+ caxo X (-1)i e* + Хо X (-1)i(m + C^/X,e" + (2.4)

i = 1 i = 1

, а - к/X, + Иг Х( г - т)

+ £ (-1 )г (т + СП/Х,.) —Д— | X е Л }ёт

г = 1 о

Использовать такую форму представления оказывается удобно, если тело совершает, так сказать, "медленное" движение. Введем в (2.4) медленное время / = /е, е ^ 1:

N(t) = - eCa x' - е2

2

f Ca^ 2 7-/7-/ч , 2

m —-

k

V У

k(k/X, + h) Xit/e . v ( m(k + hX,) Xit/e

x+ По X(-1) —;—e - no X(-1) —;—e +

i = 1 i = 1

V ( ^,к/Х +Н Х/е . ^ ,( , -а/Х)к/Хг + Ь Х,Ие (25)

+ С«х0 Х(-1) -Д-е + Х0 Х(-1)(т + Сп/Х,)-Д-е + (2.5)

1 = 1 г =1

3-Д , а„ к/Х, + Ь г Х,(г/е - т)

+ е3 Х(-1)г(т + сП/Хг) —!-| х"'е

г = 1 0

Здесь штрихом обозначена производная по медленному времени.

Из (2.5) видно, что при е ^ |Х1| процесс "забывания" начальных условий и присоединенного осциллятора, и пластины протекает в рамках "погранслоя по времени" (/ < Т ~ е/|Х1|).

Остальные слагаемые естественным образом разделились по степеням малого параметра. Ясно, что при медленном движении тела нормальная составляющая N аэродинамической силы мала. Если ограничиться в (2.5) лишь слагаемым порядка е, то получим квазистатическое приближение, т.к. для традиционно принятого в аэромеханике мгновенного угла атаки имеем а = - X".

Вообще говоря, может возникнуть необходимость учета членов второго порядка малости по е, т.е. второго слагаемого в (2.5). Видно, что постоянный коэффициент при ускорении отрицателен как раз для пластин с относительно высоким значением

Са. Так что в этом случае справедливей говорить не о "присоединении" массы, а скорее об ее "отсоединении".

Таким образом, новая форма (2.5) оказалась удобной для реализации процедуры разделения времени.

Вообще говоря, интегродифференциальные уравнения типа (2.2) можно привести к виду (2.4) и в случае ядер более общего вида.

2.3. Вынужденное движение. Предположим, что тело-пластина совершает движение по закону

x( t) =

u0, t < 0

uQ Xot, 0 < t < t^ uo^X0

o, t* < t

(2.6)

Так как n(0) = - u0 Cn /k, n (0) = 0, a x - кусочно-постоянная функция, то для описания функции N(t) удобно использовать представление (2.2):

N (t) =

-С„ uQ, t < Q

/

- C„un +

C„ i re * k/X, + A Xfi a m - -k- - £ (-1)!(m + C°n/Xl) -e ' + C^t

\ i = 1

k / X, + A

о

-X,^ M

-XQ £(-1)г(m + Can/X,) —о— (1- ^ *)e ' , t* < t

(2.7)

x0, 0 < t < t* (2.8) (2.9)

Естественно, что формула (2.7) соответствует "статическому" значению силы. Формула (2.8) описывает силу на этапе равномерного торможения, а соотношение (2.9) описывает последействие, возникающее после остановки пластины.

Нетрудно показать, что зависимость Ыф при t > 0 имеет немонотонный характер. Более того, в моменты t = 0 и t = (точки разрыва ускорения) производная йЩй также терпит разрыв.

Видно, что N(0 ^ 0 при t ^ ^ т.к. зависимость силы N от времени представляет собой сумму убывающих экспонент. Заметим, что характеристические показатели этих экспонент являются собственными числами для уравнения присоединенного осциллятора.

Возникает вопрос о возможности изменения направления силы N. Нетрудно показать, что при выполнении условия И > Сп существует единственное критическое значение ускорения, при котором сила N в процессе движения один раз (в рассматриваемом случае при t = t^) обращается в нуль. Если 0 < х0 < то направление силы остается неизменным во время торможения и последующего релаксационного процесса. Если же х0 > то сила N изменяет направление, причем дважды: один раз на фазе торможения, второй раз - на фазе последействия.

Таким образом, при х0 > на этапе торможения имеется интервал времени, в течение которого сила воздействия со стороны потока стремится не остановить пластину, а, напротив, "разогнать" ее. Максимальная величина N этой "разгоняющей" силы

определяется соотношением = (A - C^)u0

(2.10)

и соответствует случаю мгновенной остановки пластины.

Отметим, что на этапе последействия ^ > t^) функция N(0 имеет единственный минимум и принимает в нем отрицательное значение, что коррелирует с некоторыми известными эксперимент

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком