№ 3
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2008
УДК 536.24:532.517.4
© 2008 г. ТРУСОВ В.П., ШАБАНОВ А.П.
СОПРЯЖЕННЫЕ ЗАДАЧИ КОНДУКТИВНО-КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛОПЕРЕНОСА В КУСОЧНО-ГЛАДКИХ ОБЛАСТЯХ
III. РЕШЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СОПРЯЖЕННЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПЕРЕНОСА МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ
Разработан эффективный метод решения внутренних сопряженных нестационарных задач конвективно-кондуктивной теплопередачи на основе использования сопряженных собственных функций, полученных из решения стационарной сопряженной задачи. Из решения в общем виде предельным переходом можно получить все решения задач конвективного и кондуктивного теплообмена.
Возможности этого метода решения показаны на примере расчета теплообмена при турбулентном течении жидкости в круглой трубе с малотеплопроводной и высокотеплопроводной стенками. Рассчитаны поля температур в стенке и в жидкости и построены локальные характеристики теплообмена.
Необходимость решения нестационарных задач в сопряженной постановке возникает в связи с задачами регулирования и управления теплообменными аппаратами при высокоинтенсивных процессах теплопередачи [1-7]. В этом случае даже при бесконечно большой теплопроводности твердого тела, температуру обтекаемой поверхности нельзя считать постоянной, она меняется во времени, и закон изменения температуры от времени не может быть найден без решения задачи в сопряженной постановке. Исключение уравнения теплопроводности для твердой стенки и замена его заданием условий на границе ограничивает область применения полученных результатов - они становятся пригодными для очень тонких стенок или для труб с очень большой теплопроводностью. Анализ результатов решения сопряженных задач позволяет выяснить физическую картину нестационарного конвективно-кондуктивного теплообмена с большим приближением к реальной картине протекания процесса.
Необходимо принимать во внимание следующее:
1. Коэффициент теплоотдачи зависит не только от гидродинамики потока, но и от свойств обтекаемого твердого тела.
2. Использование закона Ньютона при рассмотрении конвективного теплообмена является недостаточно строгим и обоснованным. Физическая нестрогость закона Ньютона выражается в том, что закон зависимости температуры обтекаемой поверхности от времени и от координат не может быть задан заранее.
3. Необходима более строгая постановка задач конвективного теплообмена, учитывающая и характеристики набегающего потока, и свойства обтекаемого тела.
В связи с вышеизложенным математическая формулировка нестационарной сопряженной задачи конвективно-кондуктивного теплообмена может быть представлена в следующем виде для системы состоящей из n областей:
я" М (* (к)
э©22°
= е(2°( я)
э©22,) э©22
дх
д я
Граничные условия
Э0(11) /ЭЯ + й1(0(11) - ©С:)) = 0; Я = а1;
Э0(1Я)/дЯ - й2(©С0 - ©С2)) = 0; Я = Ъп. Условия сопряжения
2 , „(2"')
1
э©111)
Э Я
1 э©22)
^2 2
Я = Ъ'
ЭЯ
©1
,0 )|
я = <
1я = ъ
©
(2)1
|Я = а
(2)
(3)
(4)
Э©1
("')
дЯ
= 1
я = ъ"
о
1 +1-
д©2"+1)
ЭЯ
©1;)|
я = а
\я = Ъ
- ©('' + 1)| (1) = ©2 1я = а(' + ";
(5)
1 -1
Э©
(" -1)
2
дЯ
я = ъ
Э©(п) ,(»-1) Э Я
©2"-1)
я = а
Я = Ъ
= ©( п)| (п-1) = ©1 Я-
Начальные условия X = 0; ©12''-1) = 0; ©22° = 0;
Бо = 0; ©12''-1) = 0; ©22° = 0.
Представим решение краевой задачи (1-7) в виде
г!21'-1)(Я, X, Бо) = г!2"-1)(Я, X) + у'?"-1)(Я, X, Бо);
г22°(Я, X, Бо) = г22°(Я, X) + у221)(Я, X, Бо),
(6)
(7)
(8) (9)
где Т 221) (Я, X); Т^1 1) (Я, X) - решение стационарной краевой задачи, полученное ранее [1], [2]; У12"-1) (Я, X, Бо); У22") (Я, X, Бо) - решение краевой задачи с однородными граничными условиями
Я-к ± (Як эуг^^ + э2 У12 ■• - 1 )
дЯ
дЯ
д X2
л у (2.-1)
СУ___1 г(2"-1).
/Ка ;
д X2
(10)
яК дЯ (*(Я) яК ^
= е(2 0( Я) !у- + дУ-/К а21)
ЭX ЭБо Граничные условия
ЭУ(11)/ЭЯ - А1(У(11)) = 0; Я = а(1);
Э У(1")/Э Я + Н2 (У(1")) = 0; Я = Ъ(п).
(11)
(12) (13)
Условия сопряжения
(1)
дя
я - Ь
(1) 2 дя
/(1)|
/(2)1
я - I
ТЛ -Ч - ТЛ' ,
У 1 \я - ь<1) - ^2 |я - а(2>;
д V1
(')
дя
- X
д V!
(' +1)
1 +1-
я - Ь
дя
п
(01
я - а>'
\я - Ь
/2 + 1)| 2я
Хя -1
д V(
.(я -1)
дя
д V!'
( я)
я - Ь"
дя
V
(я-1)1
я - а
1я - Ь
/«1 1 1я - а
Начальные условия X - 0; Vfi-1) - 0; V221) - 0;
(15)
Бо - 0; V(12i 1) - Т' 1)(я, X); v22i) - -Т22°(я, X).
(16)
Применим к краевой задаче (10)-(16) преобразование Лапласа по переменной Бо, тогда краевая задача в изображениях будет
л / дТ/(2''-1\ д^/2'-1) я-к д ! Rк-Vlл_ 1 . д ^л - ( „лР'-1) + Т(21-1)) ,„(21 -1).
я д-яяIя ""дГ"J + -"-1Хг---- (^ + Т1 ) а ;
(17)
як -я\я'
:(я)-яJ - е(2°(я)°-Х- + (+ т™)/„а20.
(2
д V
(18)
Граничные условия
д V(11л7дя - - 0; я - а(1);
дV(1ЛJI)/дя + й2V(1ЛJI) - 0; я - Ь(я). Условия сопряжения:
(19)
(20)
(1)
1----д---я------
я - Ь
дV (2)
(1) 2 дя
/(1)|
/(2)1
ТЛ ; - ТЛ' ,
У л |я - ь(" - к 2л |я - а<2>;
я - а
д V ( 0 Хд ^1 л
дя
я - Ь
дV (1' + 1)
- Х1 +'к 22 -л .('> 1 +' дя
я - а"
V(- V
" 1л | я - Ь® -
(' + 1)1
2л I я - а{'
(21)
Хя -1
д V(
(я -1)
2л
д я
д V (я) - X д ^1 л
я - Ь'
д я
; V
(я-1)|
2л
я - а1'
1я - Ь'
- V
(я)|
1л |я - а(л).
Начальные условия X - 0; V12;-1) - 0; V22л'') - 0.
Из решения стационарной задачи [1], [2] имеем
Т21'-1) = У12"-1)(Я) + wfi-1)(Я, X) = £ А;-1)( 1- в^);
1 = 1
(23)
Т22° = у22°(Я) + w220(Я, X) = £ А;ф(2°( 1- в-1*).
; = 1
(24)
Будем искать решение краевой задачи (17)-(22)
у(2л"-1)(Я, X, р) = -1)(|, Я)х(2"'-1)(X, р); уй0( Я, X, р) = ф(21)(|, Я )х(2°(X, р),
(25)
(26)
где Ф - собственные функции стационарной сопряженной задачи.
Подставляя (25), (26) в краевую задачу (17)-(22), получим уравнения (17)-(18) в виде
К Э 1 1)
Я^ЭЯ IЯК ^
д2 х(2.' -1) х(21 -1) + О х. ^(21 -1)_
1 д X }
(27)
- (р¥?1 -1 )Х(21 -1) - А V21 -1)( 1- в-^)) / К а21 -1) = 0;
п-к Э (Як ( Я)дд_ф2_)х(21) + п(21)дд_ХГ)ф(21)
Я дЯIя *(Я)"мГЛ + е "IX"Ф1 -
(28)
- (рфМ20 - А ФУ4(1 - в "О)/К
(21),
"IX ^ А21)
0.
Уравнение (27) умножим, соответственно, на Г)ЯкйЯ, а уравнение (28) на Ф(21)ЯкйЯ соответственно. Интегрируя по Я в пределах каждой подобласти (а(1), Ъ(1)), (а(2), Ъ(2)), ,..(а(п), Ъ(п) будем иметь для ¿-го члена
121 -1
Ъ21
1 к (яК^)
д2х( 21 -1) (21 -1) , д х._^(21 -1)_
хГ -' +
э X2
(29)
- (р-1)х121 -1) - А (21 -1)(1-в'1))/К-1)
21 -1) Як йЯ
= 0;
п
п
а
121'
Ът
.-к Э (пкЭФ(2°)_-(9г, эх
Я ------ Я
ЭЯ Г дЯ
х(121) + •
дх
(21)
1_е( 21)ф(21).
(30)
- (рф.21 )х121) - Аф121)( 1- в"ц1X)) / К а21)
Ф( 21) Як йЯ
1
а
Или складывая (29) и (30)
>,<2' -1)
Х2' -1
1 №
д ^кд¥(2' 1)^ш(2' -1)
дя
'йя
х<2'-1) +
+ Х2
(як / (я) 2°йя
i [я к--я(я7(я)
х<") +
+ Х 2 г - 1
7 (21 -1)
Ь 'Гд2х(2' -1)
ш(2 ' - 1 )-(рш(2' -1)х(2'-1) - А, ш(21'-1)( 1- в'1))) „-1)
д X
2 1
хШ2' 1 як йя
+ Х2
Ь<2'^-х( 2')
-х_2')ф(2о --X- * ф
- (рФ,2' )х!2,) - аф;2°( 1- е-1)) / „ а20
Ф( 20 як йя
Из решения сопряженной задачи Штурма-Лиувилля для стационарной задачи следует
я
к---д----д---я--
я
дш
(2' -1)-,
дя
2,т.(2"' -1) п (2' -1) п ,(2' -1)
+ м Ш - 0; а < я < Ь ;
(31)
п-к -
я -д---я--
як / дФ
(2')-,
дя
+ ц^2 i)Ф(2i) - 0; а(2°< я < Ь(2°; ' - 1, 2, 3 ...я.
(32)
Интегрируя по частям уравнения (29), (30) сопряженной задачи Штурма-Лиувилля, будем иметь
Х2' -1 | я
к---д----д---я--
я
кдш
(2' -1).
дя
а
>,(20
Х2' | я
дя
к -Ф
як / (я)
(2')-,
дя
ш(2"' -1)йях(2'-1) +
ш(2° йя х(20 +
а
Ь
1
а
а
Ь
кд
а
+ Х 2 1
дш
(2' -1)
дя
я - Ь
дш
(2' -1).
дя
йя
х(2' - 1) ■
(33)
+ Х2'
дФ
(2')
дя
я - Ь
я - а
i / (я) як
дФ
(2')-,
дя
йя
х м ^Л1 (2' -1)х(2' -1).Х м7(2')х(2') - Х2' -1ц х 1 + Х2'МZ,■ х 1 .
Из условий сопряжения для частных решений
ш(1)(Ь(1))х(1) - Ф(2)(а(2))х(2); ф(2)(ь(2))х(2) - ш(3)(а(3))х(3);
ф(я-1)(Ья-1))х(я-1) - ш(я)(а(я))х(я).
Отсюда можно получить м/1^ Ь(1))
х(2) _ У; (Ь -х(1) _ р(2)х( 1). х1 - ^ ( 2 ) - ( 2 ) - х1 - Г х1 ;
Ф) ча')
ф(2)(Ь(2)) ф(2)( Ь(2))
х(3) - ф (Ь -х(2) - (J|)j (Ь - Г2)х(1) - *(3)х(1), 1 ( 35 ) - ( 31 ) - 1 ( 33 ) - ( 31 ) - 1 1 ;
м) (а ) м) (а ) м(3)( Ь(3))
х(4) ¥я (ьЬ - с(2)р(3)х(1) Р(4)х(1). х : - -—--г-т^ Г Г х : - Г х : ;
1 Фя (а ) 1 1 (34)
ф(я-2)( Ь(я-2)) Ф( 2)( ,(2) ( 1)( Ь(1))х(1)
х(я -1) - Ф 1 ( Ь ) • • • Ф; ( Ь )( Ь ) х 1 - *(я -1)х(1),
х
(я)
Ф(я-1)( а(я 1 ))^¥(3)( а(3))Ф(2)( а( 2)) Ф(я-1)( Ь(я-1))„.Ф(2)( Ь( 2))у(1)( Ь( 1))х(1) Ф (я) ( а (я ) ) • . . 1 (а ( 3) ) Ф (2 ) ( а ( 2 ) )
*( я)х(1)
Вводя обозначения:
с(2' -1)
(2' -1)п 2 о к
я йя ;
2(2о - | е(2')[ф(20]2якйя; у<2'') - I [ф(2')]2якйя; ' - 1, 2, 3.
(35)
С учетом (33-35), сложив сопряженные операторы (29) и (30), имеем
2 (1 )
д2х
1 +!(1-1)г2"-1))[-чт x„X20220*
■Л2' -1)^(2' -1)
- X2
' -1
йх
(1)/ я
йX
Л2') 7(2'),-,(2')
V' - 1
- х^м
x 42°ъ1 0+ м2 а(1)х(о(2'-1)т^1"-1))
я
+р
'-1
(2' -1)^2' -1)/„(2' -1)
(1)'
.(2' -1)^(2' -1),
'-1
x о-1) т
x 2(2')Г2')/„(2')
'-1
я
'-1
- А
\п
X о(2'-1)т(2'-1)/„(2'-1) + X ъ((2')Г2')/К2')
1Л' - 1 ' - 1 ^
-м X
(1-еМ ).
(36)
Ь
а
Ь
Ь
а
а
4 Энергетика, № 3
97
Выполнив тождественные преобразования, уравнение (36) можно переписать виде
,3.x2 У. ¿х
I 2 1 2^,(1) 2, X
- 1|| + -_■_-_ + рг;- X = А1 ( 1 - в 1 )
(37)
с условием х(1 = 0, X = 0 и х(1 < «> при X ^ < Здесь введены обозначения:
а
= £ 2(21) р< 21)/К121) /
11 1 = 1
0(.1) + £( о(21 -1) р<21 -1))
(21 -1^( 21-1К
1=2
(38)
пп
£ 0<.21 -1) 21 -1)/К(21 -1) + £ 2(21) р(И)К(21)/К21)
^^^ 1 а ^^^ 1 1 а
г2 = ^
1=1
0 1) + £( О2 -1) 21 -1))
,(21 -1)„( 21 -1),
1=2
С учетом (38), (39) решение краевой задачи (37) в изображениях будет
1;Ха ;
х(1)( X, р) = С ехр
А 1 -I/х
2 У,
ИП - XI; 1р + (42
г/ 2у
22 рг2 + I; + (| а1 ^)
(39)
(40)
Используя начальное условие при X = 0 и условие обобщенной ортогональности, можно определить значение неизвестных коэффициентов С в изображениях по Лапласу
С
_р рг2 +1 + (| ¡а 1 /у:)_
(41)
1 Г] • I }>
Осуществляя переход от изображений по Лапласу к оригиналам в (40), будем иметь
х(1)(Х, Бо) = А \ ваХ2К1"'1-(ц2+
2 Х
-а;Х/ 2К
егге
Хг 1 а 1 ТБо
2 К
+ в
ajXI2Klyj
егге
Хг ■ а: -УЁ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.