621.394
Совершенствование полиномиальных методов воспроизведения ф ункциональных зависимостей в информационно-измерительных системах
В. В ЧЕКУШКИН1, К. В. МИХЕЕВ1, И. В. ПАНТЕЛЕЕВ2
1 Муромский филиал Владимирского государственного технического университета,
Муром, Россия, e-mail: chekvv@gmail.com 2 Муромский завод радиоизмерительных приборов, Муром, Россия
Усовершенствованы автоматизированные методы и алгоритмы поиска полиномов наилучшего приближения для аппроксимации функциональных зависимостей и градуировочных характеристик с позиций оптимизации критериев вычислительного процесса. Рассмотрены методы взаимной компенсации погрешностей специализированных вычислителей измерительных систем.
Кпючевые слова: измерительная система, полином наилучшего приближения, градуировочная характеристика, моделирование.
The automated methods and algorithms for finding the best approximation polynomials to approximate the functional relationships, calibration characteristics from the position of view of computation process criteria optimization. The mutual error compensation methods for specialized computers of measuring systems are considered.
Key words: measuring system, the best approximation polynomial, calibration characteristic, modeling.
Определяющее значение для повышения эффективности информационно-измерительных систем (ИИС) имеют методы обработки результатов измерений, ориентированные на использование в микропроцессорной вычислительной технике [1—3]. Большая роль при этом отводится эффективным способам воспроизведения функциональных зависимостей, калибровке измерительных каналов, вычислению стандартных функций, которые применяют в алгоритмах работы измерительных приборов [4]. Диапазон представления погрешностей может изменяться от 50 до 0,001 % и менее, что соответствует интервалу 1—24 и более двоичных разрядов результата в формате с фиксированной запятой перед старшим разрядом. В этих условиях в специализированных комплексах ИИС при различных погрешностях вычислений следует использовать рациональные методы и алгоритмы для сокращения программно-аппаратных и временных затрат [5, 6].
При воспроизведении функциональных зависимостей широко применяют полиномиальный метод, служащий для приближения стандартных функций, эталонов, реализации градуировочных характеристик датчиков и измерительных систем при их калибровке [1, 5, 6]. При аппроксимации функции f(x) с помощью полинома степени п со схемой Горнера
-п(*) = а0 + а1х + ... + апхП =
= {[К* + ап-1)х + ап -,] х + ... а^ х + а0, (1)
где -п(х) — полином; а0, ... , ап — константы; х — аргумент функции, сложность расчета составляет 2п операций: п умножений и п сложений. Кроме того, в памяти необходимо хранить п + 1 раз константы а0,..., ап и п+1 раз запрашивать их для вычисления полинома. Ограничение количества операций при воспроизведении функции Цх) достигается сокращением членов ряда в (1), начиная с п+1 степени, исходя из
оценки заданного максимального значения погрешности метода 8max в полиноме наилучшего приближения Чебышева
Smax = f(x) - Ln(x) < Р+\х) (b - a)n+1 / [(n+1)! 22n+1], (2)
где fn+1(x) — производная (п+1)-го порядка на интервале аппроксимации b-a, b — конец интервала.
При переходе от полинома Чебышева степени п с погрешностью Sn4(x) к полиному степени n+1 c погрешностью 8(П+1)Ч (x) в соответствии с (2) отношение погрешностей составит
8пч(х)/8(п+1)ч(х) = fn+1 (x) 4(n+2)/[fn+2 (x) (b - a)]. (3)
Если на первом этапе поиска оптимального алгоритма воспроизведения функции исключить отношение производных fn+1 (х), fn+2 (х) в (3) при увеличении степени многочлена n, то для повышения точности, например, при вычислении sin х, эффективно повышать степень полинома, т. е. при n = 4; 5; 6 в соответствии с (3) отношение погрешностей 84Ч(х)/85Ч(х) и 85Ч(х)/86Ч(х) составит соответственно 28 и 32. Увеличение степени полинома на единицу обеспечивает примерно пятизначное приращение М-двоичных цифр результата при увеличении вычислительных операций N на 2 и обращении к памяти Р за дополнительной константой на 1. В соответствии с (1) эффективным альтернативным средством повышения точности может быть и уменьшение интервала аппроксимации b-a в (2) c разбивкой его на подинтервалы равной или неравной длины [5—8]. При уменьшении интервала b-a в k раз погрешность должна уменьшиться в kn+1 раз, а при n = 4, k = 2 можно получить ее уменьшение в 25 раз. С введением двух подинтервалов аппроксимации количество операций вычисления полинома возрастет на 2 из-за необходимости определения подинтервала нахождения аргумента: извлечения константы фиксации границ подинтервалов и сравнения текущего аргумента функции с
этим значением. Имеются и другие потенциальные способы более рационального применения полиномиальных методов, связанные с исключением и (или) более сложной перегруппировкой членов степенного ряда в (1) [9, 10]. Сравнительный анализ и совершенствование приведенных численных методов повышения точностных характеристик при воспроизведении функциональных зависимостей с помощью полиномов имеет большое практическое значение.
Измерительная система состоит из аналоговых и цифровых устройств. Для преобразования аналоговых величин в цифровые используют ряд 4-, 8-, 24-разрядных АЦП с шагом изменения порядка двух двоичных разрядов. При калибровке измерительного канала максимальную погрешность результата измерения приближенно можно представить в виде выражения
Sp = 8д + 8АЦП + V + 8м ■
где 8д — погрешность дискретизации, обусловленная дискретным представлением аргумента с конечным числом разрядов; 8цУ — погрешность цифрового устройства, вызванная конечным числом разрядов представления операндов; 8АцП — погрешность АЦП; 8м — погрешность метода вычисления функции [8].
Предположим, что погрешность 8АцП не превышает 1—2 единицы младшего разряда двоичного кода и трансформируется в погрешность результата с таким же весовым соотношением. Тогда для 8...24-разрядных АЦП диапазон относительной погрешности (в процентах) будет примерно соответствовать 8^ е [0,4; 0,000001], так как 1/28 = 0,0039 и 1/224 = 0,00000006. Практический интерес вызывает такая комплектация ИИС, когда погрешности, вносимые различными устройствами, соразмерны, т. е. затраты на их реализацию не избыточны. Составляющие погрешностей цифро-аналоговых устройств устранять сложнее, чем цифровых. В связи с этим доли погрешностей цифровых устройств в общей погрешности результата должны составлять меньшие значения, например порядка 25 % погрешности всей системы. В то же время, для измерительных приборов 0,5-го и 1-го классов точности в соответствии с (2), (3) нецелесообразно задавать долю приведенной относительной погрешности метода вычислений в погрешности результата менее 0,2 %. В противном случае избыточная точность приведет к понижению быстродействия ИИС при вычислении полинома из-за увеличения числа операций и извлечения из памяти констант. Целесообразно и ограничение разрядной сетки минимальным числом разрядов в специализированном вычислительном комплексе, который обрабатывает информацию.
Полином Чебышева в соответствии с (2), (3) при fn+1(x) ф ф const можно использовать лишь в качестве средства получения предварительной оценки результатов [8]. Рациональное проектирование измерительных систем, воспроизведение сложных функциональных зависимостей с устранением невостребованных точностных характеристик можно обеспечить, совершенствуя технику экспериментальных исследований, моделируя физические процессы с поиском полиномов наилучшего приближения [7, 8, 11 ].
Цель данной работы — совершенствование методов моделирования вычислительного процесса для оптимизации алгоритмов определения типовых функциональных зависимостей в специализированных вычислительных комплексах
ИИС с достижением предельных оптимальных соотношений по точностным характеристикам, быстродействию и программно-аппаратным затратам. При представлении результатов измерений от 3 до 32-х значащих двоичных разрядов выходных данных в формате с фиксированной запятой перед старшим разрядом исследуются методы последовательного обеспечения максимального приращения количества значащих ц ифр представления результата М при соответствующем минимальном увеличении вычислительных операций N и обращений к памяти Р. Снижение погрешности достигается и при взаимной компенсации составляющих погрешностей результатов измерений. Цель исследований состоит в разработке приближенных вычислительных алгоритмов с погрешностью метода вычисления функциональных зависимостей, соответствующих дискретному приращению максимального числа значащих двоичных цифр при фиксированном возрастании сложности вычислительного алгоритма. Прикладное значение предложенного метода заключается в повышении точностных характеристик и быстродействия при обработке информации и фиксированных или сокращенных разрядных сетках специализированных вычислительных комплексов.
Совершенствование методов поиска полиномов наилучшего приближения. В отличие от классического чебышевс-кого альтернанса, когда в (1) для полного многочлена степени п с п+1 членами имеется п+1 узел аппроксимации, в котором значения функции и интерполянта совпадают, сократим N и Р, уменьшив число узлов интерполяции и исключив отдельные константы а/ и члены ряда а/ X или проведя их специальную группировку. При этом увеличение погрешностей метода 8тах по сравнению с погрешностями для полинома степени п, у которого п+1 член, должно быть незначительным. В то же время обеспечим при т оставшихся константах а1 и т+1 узлах аппроксимации, как и в полиноме наилучшего приближения, принцип чередования не менее чем т+1 раз знака погрешности 8тах, воспроизводимой полиномом функции, с наименьшим отклонением ее от нуля [10].
Упрощенный алгоритм поиска оптимального полинома для указанных условий (рис. 1) после задания начальных данных в виде требуемой точности приближения включает этапы:
приближенное определение полинома с наименьшей степенью п, обеспечивающего заданную максимальную погрешность 8тах воспроизведения функции и расчет констант а;
исключение неэффективных, н
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.