Автоматика и телемеханика, JVS 12, 2008
Обзоры
PACS 02.30.Yy
© 2008 г. E.H. ГРЯЗИНА, канд. физ.-мат. наук, В.Т. ПОЛЯК, д-р техн. наук, A.A. ТРЕМВА, канд. физ.-мат. наук (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ МЕТОДА D-РАЗБИЕНИЯ1
Предлагается обзор последних обобщений и новых областей применения классического метода Д-разбиения. Для систем с одним входом или одним выходом и параметрами, линейно входящими в характеристический полином, исследуется структура разбиения пространства параметров на области с различным количеством устойчивых корней характеристического полинома. Рассматривается Д-разбиение для полиномов с неопределенностью, а также задача описания всех стабилизирующих регуляторов заданной структуры (например, ПИД-регуляторов), удовлетворяющих критерию Показано, что техника
.О-рюбиепия имеет естественное описание в рамках М — Д-конфигурации, общей схемы анализа задач с неопределенностями, и применима для описания допустимых множеств линейных матричных неравенств. Указывается на возможность применения метода Д-разбиения для робастного синтеза управления в линейных системах.
1. Введение
Рассмотрим линейную систему с характеристическим полиномом а(в,к), зависящим от вектора параметров к. Граница области устойчивости в пространстве к находится среди решений уравнения
(1) а(]ш,к) = 0, ш £
которое представляет собой отображение параметризованной мнимой оси (границы области устойчивости на плоскости корней) в пространство параметров. В случае к £ К2 (или к £ С) получаем два уравнения (для вещественной и мнимой части (1)) от двух переменных, которые в общем случае задают параметрическую кривую к(ш),ш £ (-те, определяющую границу области устойчивости. Более
того, кривая к(ш) делит плоскость на области с постоянным количеством устойчивых корней полинома а(в, к). В этом и заключается основная идея Д-разбиения. Истоки ее восходят к XIX в. к работам Вышнеградского [85], который рассматривал
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты X» 08-08-00371, 05-08-01177) и Программы президиума РАН №22. В сокращенном
виде работа была представлена на IX Международной Четаевской конференции 12-16 июня 2007 г.
кубический полином вида a(s, k) = s3 + kis2 + k2s + 1 с двумя коэффициентами в качестве параметров. В этом случае уравнение (1) дает kiw2 = 1, w(k2 — w2) = 0. Исключая w, получаем, что D-разбиение задается гиперболой k1k2 = 1. Устойчивой является область k1k2 > 1, k1 > 0 k2 > 0.
Для общего случая аналогичные идеи можно встретить в работах Фрэйзера и Дункана, Соколова, Андронова и Майера [1,27,51] ( в поелвдних двух статьях рас— сматриваются системы с запаздыванием). Более того, годограф Найквиста может рассматриваться как воплощение той же самой идеи. Однако в законченном виде D-разбиение было представлено Неймарком в 1948-49 гг. [13,14], он и ввел само название метода. В западной литературе эта техника впервые описана Митрови-чем [68], он также предложил отображать на пространство параметров другие контуры, а не только мнимую ось. Позднее это направление исследований было подхвачено и суттт,ественно продвинуто Шильяком [80-82]. Он распространил подход D-разбиения на нелинейные системы и на частный случай нелинейной зависимости от параметров, в его работах D-разбиение (которое он называет parameter plane method) стало полезным инструментом для задач синтеза. Метод Неймарка также был исследован Лехником [63], который получил некоторые результаты для случая большого числа параметров. Сам метод вошел во многие советские учебники по автоматическому управлению, в западной литературе он описан в книгах [32,38], а в работах [33,39,52,61] нашел эффективное применение для синтеза регуляторов низкого порядка с дополнительными требованиями к качеству типа H^. Анализ геометрических свойств D-разбиения представлен в [17-19].
С возникновением в 80-е годы задач с неопределенностью (робастного управления) D-разбиение оказалось эффективным при исследовании целых семейств линейных систем [15]. При исследовании устойчивости большой интерес вызывает вопрос, останется ли система устойчивой, если ее параметры неизвестны и принадлежат некоторому множеству, но постоянны. На эти параметры часто ссылаются как на «неопределенности». Самыми известными результатами такого рода являются теорема Харитонова [30] с ее аналогами, касающимися робастной устойчивости интервальных полиномов, и использование годографа Цыпкина - Поляка при интервальных и эллипсоидальных ограничениях на коэффициенты полинома [21,24,30].
Оказывается, что метод D-разбиения можно применить к системам, представленным в пространстве состояний. Пусть задан класс K матриц размером r х m, требуется найти все матрицы K £ K такие, что матрица замкнутой системы A + BKC устойчива:
(2) D = {K £ K : A + BKC устойчива}.
Здесь A,B, C - заданные матрицы размерностей n х n, n х r, m х n соответственно; устойчивость понимается либо в непрерывном смысле (система устойчива, если все собственные значения матрицы замкнутой системы имеют отрицательную вещественную часть), либо в дискретном смысле (все собственные значения лежат внутри единичной окружности). Класс K может быть различным; подробно будут рассмотрены следующие простейшие случаи:
(3) K = k £ Rn или K = kT, k £ Rn (m = 1 или r = 1),
(4) K = kl, k £ R или k £ C, m = r,
(5) K £ R2x2.
В этих случаях все вычисления можно сделать явно и представить результат графически. Случай (3) соответствует системам с одним входом или одним выходом, когда передаточная функция представляет собой отношение двух полиномов ^ два других случая существенно матричные. Тем не менее ко всем им применим единый подход в рамках D-разбиения, который очень близок M — Д-конфигурации.
38ут1ДЧс1 (2) возникает при синтезе и робастном анализе. Например, чтобы найти все статические стабилизирующие регуляторы по выходу (u = Ky) для системы
(6) x = Ax + Bu, y = Cx
можно описать область D (2) с K = RrXm; здесь матрица K содержит параметры
A
и ее возмущения имеют вид A + BKC, где K постоянная r х m матрица, тогда (2) описывает все возможные возмущения, которые сохраняют устойчивость. Конечно, если известна граница области устойчивости dD, то не составит труда определить расстояние до нее:
(7) р = min ||K||.
KeSD
Величина р-1 тесно связана га структурным сингулярным числом р [86]. Если класс K - все матрицы CrXm (RrXm), р
D
р
D
D
получить более подробную информацию о корнях характеристического полинома внутри D. Например, если интересуемся степенью устойчивости а > 0, то ju заменяется на —а + ju в уравнении D-разбиения. Этот подход предложен Неймарком [14] и был значительно развит Митровичем [68] и Шильяком [80-82]. Разумеется, метод D
пример, с сектором или иной областью расположения корней. Такая информация о расположении корней внутри области устойчивости оказывается очень полезной в задачах синтеза. В работе ограничимся рассмотрением наиболее распространенных областей локализации корней: левая полуплоскость (устойчивость непрерывных систем) и единичный круг (устойчивость дискретных систем).
В этой связи возникает естественный вопрос: какая польза в нахождении всех областей с различным количеством устойчивых корней, если в большинстве случаев интерес представляет только область устойчивости? Отчасти ответом на этот вопрос
D
чала описание границ всех областей, а потом выделение области устойчивости (если таковая существует). С другой стороны, в некоторых ситуациях области с немаксимальным количеством устойчивых корней тоже представляют интерес. Например, при построении диаграмм Найквиста для систем с неопределенностью нужно гарантировать одинаковое количество устойчивых полюсов для всех рассматриваемых систем. В некоторых случаях можно предложить эффективный способ выделения
D
пойдет в подразделе 2.2.
В 1991 г. была сформулирована и в частных случаях решена задача робастного
D
деляются два вещественных (или один комплексный), остальные параметры неопределенные, но ограничены по норме. В плоскости выделенных параметров требуется построить множество, для которого полином устойчив при любых допустимых значениях неопределенных параметров. Такое разбиение параметров на два класса характерно для задачи синтеза робастных регуляторов заданной структуры. В [28]
D
ственным параметрам для аффинного семейства полиномов при ¿^-ограниченных параметрических неопределенностях.
j—л 11,6 одной новой D
нейных матричных неравенств [2,41]. В такой постановке метод позволяет опреде-
лить все области в пространстве параметров, внутри которых аффинное семейство симметричных матриц имеет фиксированное количество собственных значении одного знака [25].
Наконец, весьма перспективной является техника рандомизации внутри области устойчивости для целей оптимального синтеза регуляторов [74].
Остальная часть статьи организована следующим образом. Во втором разделе будут рассмотрены задачи для одномерных систем, устойчивость которых определяется расположением корней характеристического полинома.
В первом подразделе рассматривается классическое Д-разбиение для полиномов с одним и двумя параметрами. Здесь подробно рассматриваются геометрические свойства Д-разбиения и приводятся оценки сверху общего количества областей, на которые разбивается плоскость параметров. Во втором подразделе речь пойдет о Д-разбиении для построения областей апериодической устойчивости.
В третьем разделе внимание уделяется характеристическим полиномам с аффинной неопределенностью специального вида и произвольным числом параметров. Оказывается, что для такого семейства область устойчивости в пространстве параметров является объединением многогранников. Предлагается простой способ выделения области устойчивости и нахождения радиуса устойчивости для различ-иых норм неопределенности для непрерывных и дискретных систем.
Четвертый раздел содержит результаты по робастному Д-разбиению.
Пятый раздел посвящен задаче синтеза регуляторов заданной структуры по критерию Нж. Рассматривается линейная ст
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.