РАСПЛАВЫ
6 • 2004
УДК 541.451-154:541.6
© 2004 г. Б. Р. Гелъчинский, А. А. Мирзоев, Г. П. Вяткин
СОВРЕМЕННЫЕ ТЕНДЕНЦИИ В МЕТОДАХ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЖИДКИХ МЕТАЛЛОВ1
Обсуждена роль компьютерного моделирования в физическом материаловедении. Рассмотрены основы квантовой теории конденсированных сред. Основное внимание уделено особенностям первопринципной (ab initio) молекулярной динамики. Обсуждены основные программные пакеты, используемые для моделирования. Дан краткий обзор применения компьютерного моделирования для исследования структуры жидких металлов и различных процессов в них.
Некристаллические системы, к числу которых относятся жидкие и аморфные металлы и полупроводники, в последние годы оказались в центре внимания современных технологий. Достаточно указать на различные методы модификации поверхностей конструкционных материалов, огромный объем выпуска аморфных полупроводниковых пленок, получаемых методами напыления и ионно-лучевой имплантации, жидкометаллические теплоносители в ядерных установках и тепловых трубах. Естественно, что изучение физико-химических свойств таких систем стало одной из самых актуальных областей современного физического материаловедения.
С точки зрения фундаментальных исследований, неупорядоченные системы представляют значительный интерес сами по себе. Хорошо изученные кристаллические вещества характеризуются регулярной периодичностью расположения атомов в пространстве, благодаря которой возникает "зонный" характер спектра электронных состояний. Поэтому для теории некристаллических веществ важнейшими являются вопрос о нахождении и способах описания пространственной структуры, с одной стороны, а с другой - вопрос о том, как связан спектр электронных состояний с данной атомной конфигурацией.
Ряд свойств неупорядоченных систем удалось понять на основе приближенных идеализированных моделей, допускающих аналитическое решение (так, модель идеального композиционного беспорядка позволила объяснить явление локализации электронов [1]). Однако сложность проблемы такова, что рассмотреть более реалистичные модели, позволяющие прогнозировать поведение, можно, только опираясь на методы компьютерного моделирования.
В принципе квантовая механика позволяет рассчитать взаимодействие между атомами и молекулами и моделировать химические реакции на микроскопическом уровне. Если использовать результаты подобных вычислений в качестве входных данных для расчетных методов статистической физики и физики сплошных сред, то возникает реальная возможность компьютерного моделирования мезо- и макроскопических свойств материалов из первых принципов (так называемые "ab initio''-методы [2, 3]).
Последние десятилетия стали временем значительного прогресса как в теории, так и в развитии соответствующих вычислительных алгоритмов в компьютерной фи-
1 Материал заслушан на XI Российской конференции "Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов", посвященной 100-летию со дня рождения Заслуженного деятеля науки и техники РСФСР, доктора технических наук, профессора Олега Алексеевича Бсина, состоявшейся 13-17 сентября 2004 г. в Екатеринбурге.
зике конденсированных сред и квантовой химии. Эти достижения, совпав по времени с революционным прогрессом компьютерных технологий, позволили впервые ставить и решать реальные материаловедческие задачи. Отметим, что роль компьютерного моделирования в физике неупорядоченных систем двояка: во-первых, позволяет исследовать сложные проблемы, где получение простых аналитических оценок невозможно, а во-вторых, является важной составной частью современного эксперимента. В результате возникла новая научная дисциплина - компьютерное материаловедение, которая пока еще является разделом физики, но имеет все шансы быстро превратиться в одну из перспективных инженерных наук. Можно сказать, что развивающиеся технологии компьютерного моделирования на атомарном уровне (вычислительная квантовая механика, молекулярная динамика и механика, моделирование свойств на молекулярном и субмолекулярном уровне) стали мостом, связывающим фундаментальную физику конденсированного состояния с инженерным материаловедением [4].
Основная проблема, возникающая при прогнозировании свойств материалов, заключается в получении квантово-механического решения для сложной системы из большого числа ионов и электронов с погрешностью, не превосходящей, скажем, величины теплоты образования исследуемого сплава или разницы свободной энергии между ОЦК- и ГЦК-фазами исследуемого элемента. Сложность проблемы и одновременно необходимость получения высокой точности приводят к тому, что подобные первопринципные методики расчета свойств материалов носят характер компьютерного моделирования, в которых точность и эффективность вычислительного алгоритма играет определяющую роль.
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ЛЕЖАЩИЕ В ОСНОВЕ МЕТОДОВ
ПЕРВОПРИНЦИПНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
1.1. Приближение Борна-Оппенгеймера
В силу того, что масса электрона составляет доли процента от массы иона, скорости движения атомных остовов и валентных электронов в твердом теле отличаются на несколько порядков. Это позволяет воспользоваться приближением Борна-Оппенгеймера, согласно которому электронная подсистема считается движущейся в поле У(т) неподвижно расположенных атомных остовов.
1.2. Учет многочастичных эффектов
Многочастичная задача о поведении плотного электронного газа в решетке решается путем сведения к одночастичной задаче о движении электрона в эффективном поле ионов УеГ(т) [5], которое пытаются выбрать так, чтобы по возможности учесть эффекты взаимодействия электронов между собой. Эти эффекты - двоякого рода. Во-первых, это сильное электростатическое взаимодействие с другими валентными электронами, описываемое эффективным потенциалом Хартри Ух(т). Во-вторых, квантовомеханический принцип Паули заставляет электроны с параллельными спинами держаться порознь и тем самым понижает кулоновское взаимодействие на величину, называемую обменной энергией. Эти статические эффекты описываются приближением Хартри-Фока. Кроме того, однако, существуют динамические корреляции даже между электронами с антипараллельными спинами, которые дают вклад в так называемую корреляционную энергию.
1.3. Теория функционала локальной плотности
Важным событием последних двух десятилетий стало открытие, что эти сложные обменные и корреляционные явления могут быть достаточно точно описаны путем добавления локального обменно-корреляционного потенциала Ухс(т) [6] к потенциалу Хартри Ух(т). Получаемая при этом система самосогласованных уравнений Кона-Шэма, сводящая электронную задачу к одночастичной, получила название теории функционала локальной плотности (ТФЛП).
Система уравнений Кона-Шэма имеет вид
[ - У2 + УеГ( г )]Т;( г) = Е, (г), (1)
УеГ (г) = У (г) + Ух (г) + Ухс( г). (2)
Здесь
У
х( г) =
5 Вхс[ п (г)]
У (г) = —хс 1 у - - (3)
Ухс( г) 5 п ( г) , (3)
N
п( г) = (г )|2,
I = 1
где Ехс[п(г)] - обменно-корреляционная энергия электронного газа, рассматриваемая как функционал плотности электронов в данной точке.
Главной проблемой при построении УеГ(т) является определение вида обменно-корре-ляционного функционала Ехс[п(г)]. Для конкретных расчетов чаще всего пользуются приближением локальной плотности (ПЛП) [6]. В этом приближении энергия Ехс может быть записана следующим образом:
Вх
с[ п( г)] = |вхс[ п (г)] п( г) йг,
где ехс[п(г)] - обменно-корреляционная энергия на одну частицу в однородном электронном газе, имеющем плотность п(т). Тем самым задача об обмене и корреляции в неоднородном электронном газе сводится к задаче расчета энергии Ехс для однородного электронного газа, которая решается уже гораздо легче. ПЛП является точным в пределе плавно меняющейся плотности электронов и особенно хорошо работает в случае металлов. Практические расчеты показали, что энергетические уровни атомов и твердых тел определяются с большой точностью: так, в настоящее время когезионные свойства всех металлов получены теоретически с точностью до 10%.Самосогласова-ние уравнений Кона-Шэма представляет собой трудоемкую и непростую задачу. Опишем в общих чертах схему самосогласованного расчета (см. рисунок).
Сначала тем или иным способом строится начальное приближение для электронной плотности в кристалле. Обменно-корреляционная энергия Ехс определяется в одном из приближений в рамках ТФЛП. С помощью уравнений (1)-(3) находятся волновые функции, по которым снова определяется электронная плотность. Критерий самосогласованности вычислительной схемы заключается в требовании, чтобы плотность заряда, получающаяся в результате ш-й итерации, совпадала в пределах заданной точности с плотностью заряда на ее входе.
Вычислительная схема самосогласованного метода построения потенциала и расчета электронной плотности в рамках ТФЛП.
Наиболее трудоемкой частью расчета в рамках ТФЛП, безусловно, является решение уравнения Шредингера (1). Поэтому эффективность схемы полностью определяется эффективностью выбранного метода решения одноэлектронной задачи.
Разработка теории функционала плотности способствовала развитию практически всех направлений физики многоэлектронных систем - от теории химической связи в молекулах до расчетов электронной структуры в твердых телах. Во-первых, ТФП позволила достаточно точно рассчитывать распределение плотности и полную энергию системы электронов в атомах, не используя никаких других параметров, кроме атомного номера. Во-вторых, ТФП позволила дать интуитивно ясную картину механизма образования металлической связи и дать оценку ряда основных параметров, используемых различными теориями, из первых принципов [6].
2. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕД И ПРОБЛЕМА САМОСОГЛАСОВАНИЯ
2.1. Выбор базисных функций
На практике волновые функции у,(г) должны быть представлены в виде линейной комбинации конечного набора базисных функций. Выбор базиса, с одной стороны, связан с тем, насколько он подходит для расчета данного материала или его конкретных свойств, а с другой - определяет достижимую точность и вычислительную эффективность расчетной схем
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.