Уроки истории
О. Б. ШЕЙНИН
СОЗВЕЗДИЕ ГОДОВЩИН
(из истории теории вероятностей)
2012-2013 годы стали юбилейными для многих важных событий в истории теории вероятностей. В 1662 г. вышли «Наблюдения» Дж. Граунта, в 1712 г. -работа Дж. Арбунтота и важный мемуар А. Муавра, годом позже - «Искусство предположений» Я. Бернулли, в 1812 г. - «Аналитическая теория вероятностей» П. С. Лапласа. С Граунта началась статистика населения и медицинская статистика, Лаплас же подытожил достижения предшественников и свои собственные результаты. Мы описываем соответствующие классические сочинения; более подробно о них сказано в нашей монографии.
Ключевые слова: Дж. Граунт, Дж. Арбутнот, Н. Бернулли, Я. Бернулли, А. Му-авр, П. С. Лаплас, история теории вероятностей.
2012-2013 годы стали юбилейными для многих важных событий в истории теории вероятностей. Прежде всего это касается выхода трудов, которые послужили фундаментом для этой дисциплины или оказали большое влияние на ее развитие. Цель данной статьи - кратко напомнить, в чем состояла ценность соответствующих классических сочинений. Читателя, желающего больших подробностей, мы отправляем к нашей монографии 1.
Джон Граунт (1620-1674) в 1662 г. опубликовал свои «Наблюдения» 2, которые неоднократно переиздавались и были переведены на несколько языков. Граунта и в меньшей степени Уильяма Петти можно назвать зачинателями статистики населения, Граунта же кроме того - и пионером медицинской статистики.
Граунт изучил лондонские бюллетени о смертности, которые начали появляться в XVI в. и регулярно публиковались с начала XVII в., в основном чтобы предупреждать о надвигавшихся эпидемиях чумы. Исходные данные в этих бюллетенях были ненадежны и неполны, но Граунт сумел оценить население Англии и Лондона, установил, вопреки распространенному мнению, что численности мужчин и женщин примерно равны, составил первую таблицу дожития, изучил смертность от различных заболеваний. Всего этого он достиг опираясь на здравый смысл и доверяя устойчивости статистических
1 Шейнин О. Б. Теория вероятностей. Исторический очерк. Берлин, 2013 (см.: http://www. sheynin de, документ № 11).
2 Граунт Дж. Естественные и политические наблюдения над бюллетенями смертности // Граунт Дж., Галлей Э. Начала статистики населения, медицинской статистики, математики страхового дела. Берлин, 2005. С. 5-105 (см.: http://www.sheynin.de, документ № 13). Впервые опубликовано в 1662 г. на английском языке.
© О. Б. Шейнин. ВИЕТ. 2014. № 2. С. 105-113.
отношений, математической же основой служила лишь коммерческая арифметика.
Граунт во многом ошибался. Его таблицей дожития нельзя было бы пользоваться на практике, и он считал, что население растет в арифметической прогрессии, а не в геометрической, как выяснили лишь в середине XVIII в. И. П. Зюсмильх и Л. Эйлер.
Современники Граунта и позднейшие авторы единодушно отзывались о нем самым положительным образом. Гюйгенс заявил, что
Трактат Гранта (так в оригинале. - О. Ш.) действительно заслуживает
внимания, и он мне очень нравится. Грант рассуждает разумно и ясно.
Я восхищаюсь тем, что он смог установить все свои выводы, исходя из
этих простых наблюдений, которые прежде казались бесполезными 3.
Сравнительно недавно А. Хальд, крупный статистик и историк статистики, так отозвался о Граунте:
Граунт незабываем в основном потому, что он обнаружил [...] равномерность и предсказуемость многих биологических явлений в массе [...].
Поэтому именно он оказался основателем статистики 4.
Исходя из таблицы Граунта, Гюйгенс ввел понятие о вероятном сроке жизни (хотя и не сам термин) и нарисовал непрерывную кривую функции
у = 1 - F(x), 0 < x < 100 лет,
проходящей через эмпирические точки таблицы Граунта 5. Здесь F(x) фактически была неустановленной функцией распределения. Такие функции были введены в теорию вероятностей лишь в конце XIX в.
Джон Арбутнот (1667-1735) собрал данные о рождениях (точнее, крещениях) в Лондоне за 1629-1710 гг. 6 Он заметил, что в течение этих 82 лет ежегодно рождалось больше мальчиков (т) чем девочек (/) и объявил этот факт «следствием Божественного провидения, действующего для доброй цели, а не результатом случая». Он пояснил, что мальчики и мужчины, «как нас убеждает опыт», подвергаются большим опасностям, чем девочки и женщины, так что их смертность выше. Даже не принимая во внимание ни «неизменное соотношение» т :/ ни «неизменные границы» разности (ш - /), «значение ожидания» подобных статистических данных, как он заявил, было менее 1/282.
3 J№ 1022. Christiaan Huygens à R. Moray. 9 juin 1662 // Huygens, Ch. Œuvres complètes. La Haye, 1891. T. 4. P. 149.
4 Hald, A. History of Probability and Statistics and Their Applications Before 1750. New York, 2001. P. 89.
5 Huygens, Ch. № 1777. Christiaan Huygens. Appendice I au No. 1776. 21 Novembre 1669 // Huygens, Ch. Œuvres complètes. La Haye, 1895. T. 6. P. 530-532.
6 Arbuthnot, J. An Argument for Divine Providence Taken from the Constant Regularity Observed in the Birth of Both Sexes // Philosophical Transactions of the Royal Society. 1712 for 1710. Vol. 27. P. 186-190. Перепечатано в: Studies in the History of Statistics and Probability / M. G. Kendall, R. L. Plackett (eds.). London. 1977. Vol. 2. P. 30-34.
Арбутнот не смог установить, что рождения подчинялись биномиальному распределению (оно только начало вводиться в теорию вероятностей), которое гораздо убедительнее, чем неравенство т >/, выявило бы Божественное провидение, и, конечно же, не попытался оценить его параметр, примерно равный 18 : 17, как следовало из его данных 7.
Далее, он не учел, что крещения не равнозначны рождениям 8, что христиане быть может как-то отличались от иных лиц, и что Лондон быть может являлся исключением. Наконец, Арбутнот не исследовал границ разности (т - /) и не имел сведений о сравнительной смертности мужчин и женщин. Тем не менее А. Муавр и Николай Бернулли (см. ниже), а также Э. Шусмит 9, А. Хальд 10 и Г. Дэвид и Э. Эдвардс 11 заметили его выводы и продолжали изучать соотношение мужских и женских рождений, а Г. Фрейденталь 12 даже назвал Арбутнота автором первой публикации по математической статистике.
Д. Беллхауз 13 описал рукопись Арбутнота, написанную, видимо, в 1694 г., в которой исследовалась игра в кости и которая в некоторой степени предвосхищала его заметку.
Якоб Бернулли (1654-1705) был крупнейшим ученым своего времени, математиком, механиком и физиком. В частности, до него теория вероятностей лишь подавала надежды, он же положил начало ее классическому будущему и ее приложениям. Уже в своем «Дневнике» 14 1684-1690 гг. Бернулли исследовал азартные игры, гражданское право, а в нескольких рассуждениях применил статистическую вероятность (а не обычное для того времени сравнение шансов) и привел выходные данные рецензии на сочинение Граунта, а в статье 15 сослался на эту рецензию и применил результаты Граунта при решении одной задачи. Наконец, в том же «Дневнике» мы находим наброски доказательства его знаменитой теоремы.
7 В начале гл. 12 Граунт (см. Прим. 2) сообщил, что в одном провинциальном приходе за 90 лет, 1569-1658 гг., соотношение рождений равнялось 16 : 15 (= 1,067), в Лондоне же 14 : 13 (= 1,077), но соответствующих лет он не привел. По Арбутноту, 18 : 17 = 1,059. Кроме того, в начале гл. 8 Граунт указал, что с 1628 по 1662 г. в Лондоне родились 139 782 мальчиков и 130 866 девочек (соотношение, равное 1,068). Но у Арбутнота даже с 1629 по 1662 г. количества рождений оказались равными 145 288 и 134 689 (соотношение 1,079).
8 Граунт (конец гл. 3) заявил, что в 1650-1660 гг. менее половины общего населения полагали, что крещение необходимо.
9 Shoesmith, E. The Continental Controversy over Arbuthnot's Argument for Divine Providence // Historia Mathematica. 1987. Vol. 14. P. 133-146.
10 Hald. History of Probability and Statistics... Р. 279-280.
11 David, H. A., Edwards, A. W. F. Annotated Readings in the History of Statistics. New York, 2001. P. 7-12.
12 Freudenthal, H. 250 years of Mathematical Statistics // Quantitative Methods in Pharmacology / H. de Jonge (ed.). Amsterdam, 1961. P. xi.
13 Bellhouse, D. R. A Manuscript on Chance Written by J. Arbuthnot // International Statistical Review. 1989. Vol. 57. P. 249-259.
14 Bernoulli, J. Meditationes // Die Werke von Jakob Bernoulli / B. L. van der Waerden (Hrsg.). Basel. 1975. Bd. 3. S. 21-92.
15 Bernoulli, J. Theses logicae de conversione et oppositione enunciatorium (1686) // Die Werke von Jakob Bernoulli. Basel, 1969. Bd. 1. S. 275-284.
Основное сочинение Бернулли, «Искусство предположений» (ИП) 16, появилось лишь посмертно, в 1713 г. Закончить его автор явно не успел; в нем нет обещанного приложения «предшествующего учения в гражданских, моральных и экономических делах».
Первые три части ИП содержат важные исследования, хоть некоторые решенные задачи и не вписываются в общий контекст. Первая часть является комментарием, правда интересным, к трактату Гюйгенса 1657 г. 17, а не изложением собственных мыслей. Вторая часть посвящена комбинаторике, и в ней в связи с суммированием одинаковых степеней последовательных натуральных чисел Бернулли ввел «числа Бернулли». В дальнейшем они были включены в несколько важнейших формул, через них выражаются суммы многих бесконечных рядов, и они же появились в интегральном исчислении. На основании этой части автор решил ряд задач на жеребьевки и азартные игры в следующей третьей части.
В последней четвертой части Бернулли доказал свою основную теорему: изучаемое событие появляется с постоянной вероятностью р в большом числе я независимых испытаний и наступило ц раз, так что ц/я - статистическая вероятность события. Бернулли доказал, что с возрастанием п эта вероятность стремится к р, так что разность |ц/я -р| можно сколько угодно уменьшить, требуется лишь достаточно увеличить п. Это означает, как заметил Бернулли, что (в рамках его схемы) статистическая вероятность не хуже теоретической. Кроме того, он оценил скорость сходимости первой вероятности ко второй, т. е. указал, насколько следовало увелич
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.