МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2015
УДК 539.3
© 2015 г. Л. Д. АКУЛЕНКО, Д. В. ГЕОРГИЕВСКИЙ, С. В. НЕСТЕРОВ
СПЕКТР ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ УЧАСТКА ДВИЖУЩЕГОСЯ СТЕРЖНЯ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПРОДОЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
Исследованы собственные поперечные колебания участка постоянной длины прямолинейного тонкого стержня, движущегося вдоль нейтральной линии недеформированного состояния. Перемещение происходит между двумя фиксированными соосными направляющими (зажимами), расстояние между которыми равно длине колеблющейся части стержня. Кроме того предполагается, что вдоль нейтральной линии действует постоянная продольная сила, причем существенно различаются два случая: сила растягивает стержень; сила сжимает стержень.
Процесс колебаний описывается несамосопряженной обобщенной краевой задачей. Для произвольных величин скорости перемещения стержня и продольных сил посредством численно-аналитической процедуры с заданной точностью определены и проанализированы собственные частоты возможных мод колебаний. Установлены глобальные свойства спектра в зависимости от скорости, продольной силы и номера моды. Для высших мод обнаружены области неоднозначной зависимости частот и отсутствия более низких частот колебаний при увеличении скорости движения стержня, а также от величины и направления продольной силы. Установлено, что картина парциальных колебаний с позиции неподвижного наблюдателя кардинально отличается от общеизвестной для неподвижного стержня.
Полученные результаты интересны применительно к колебаниям различных элементов движущихся упругих сред, в том числе для систем с подвижными границами. Они могут находить технические применения в задачах динамики и прочности приборов, машин и механизмов в текстильной промышленности при производстве нитей и канатов, в металлургии, в частности, при прокатке металлических стержней и полос, протяжке проволоки, производстве изделий из пластмасс и рулонов бумаги. Разработанная методика вычисления собственных частот и форм применима для анализа поперечных колебаний участков транспортных трубопроводов с быстро протекающей жидкостью.
Ключевые слова: движение стержней, продольная сила, изгибные колебания, несамосопряженная задача, формулы Феррари, вековые уравнения, собственные частоты.
1. Описание системы и постановка задачи. В линеаризованной постановке изгибные (поперечные) колебания движущегося между фиксированными зажимами стержня в инерциальной системе координат (фиг. 1) описываются уравнением [1, 2]:
и(1У] + (а2 - Щи" + 2аи + и = 0 (1.1)
Фиг. 1
в безразмерном виде. Здесь и (х, т) — поперечный прогиб стержня относительно нейтральной линии; точками обозначены производные по безразмерному времени т = V t, римскими цифрами и штрихами — по безразмерной координате х = г //, где / — длина
стержня между зажимами; V2 = Е1 / (р/)4, Е — модуль Юнга, I — момент инерции поперечного сечения, р — линейная плотность стержня. Скоростной а и силовой Я параметры в (1.1) пропорциональны соответственно линейной скорости V перемещения
стержня и осевому напряжению Т, так что а = V/(V/), Я = Т/(ру2). Если Я > 0, то сила растягивает стержень, если Я < 0, то сжимает; эффективная жесткость стержня соответственно увеличивается или уменьшается.
На параллельных опорах стержень жестко защемлен, поэтому для поперечных колебаний граничные условия записываются в виде
и (0, т) = и' (0, т) = и (1, т) = и' (1, т) = 0 (1.2)
Требуется определить собственные частоты и формы колебаний при произвольных значениях параметров а и Я. С этой целью в (1.1) и (1.2) сделаем стандартную подстановку и = и (х) ехр (;ют) и получим обобщенную задачу на собственные значения и функции [1—5], т.е. частоты ш и формы и:
и^ + (а2 - Я)и" + 2;аю и' - ю2и = 0
и (0) = и' (0) = и (1) = и' (1) = 0
(1.3)
Собственные формы колебаний и„ (х), соответствующие собственным частотам а„ (п = 1,2,...), в данном случае являются комплексными. С их помощью строятся искомые вещественные парциальные колебания
ип (х, т) = Яе [ип (х) ехр (гют)]
(1.4)
которые видит неподвижный наблюдатель.
Для анализа краевой задачи (1.3) при Я ф 0 учтем результаты исследований, полученные ранее. При Я = 0 задача решалась приближенно методом Бубнова—Галеркина с использованием в качестве тестовых функций собственных функций неподвижного стержня [3]. Авторами получено точное аналитическое решение краевой задачи (1.3) для случая Я = 0 и 0 < а < да [4, 5]. Сравнение с [3] показывает, что решение методом Бубнова—Галеркина обеспечивает хорошее приближение (порядка 1%) к точному решению в диапазоне |а| < 2.
Заметим, что в [2] рассмотрен случай Я > 0 (растяжение стержня). Основное внимание уделено нахождению критических скоростей, при которых собственные часто-
x
ты обращаются в нуль, что соответствует статической потере устойчивости колебаний для заданного значения Я.
Исследования [5] посвящены анализу движения между опорами стержня с малой изгибной жесткостью по сравнению с жесткостью, создаваемой натяжением. Основным инструментом являются методы теории возмущений. Как в [2], так и в [5] отсутствует режим Я < 0 (сжатие), а также не изучена зависимость собственных частот от величины Я в широком диапазоне ее изменения.
2. Схема решения задачи на собственные значения и функции. Используем алгоритм вычисления низших (п = 1,2) собственных частот юп и собственных форм ип колебаний как для Я < 0, так и для Я > 0, в котором не требуется предположений относительно малости тех или иных параметров, входящих в уравнение (1.3). Это уравнение
имеет четыре частных решения вида и = ек. Подстановка в уравнение (1.3) приводит к характеристическому уравнению для нахождения неизвестных значений комплексного волнового параметра к = к,- (ю, а, Я), у = 1,2,3,4:
к4 + (а2 - Я)к2 + 2/аюк - ю2 = 0 (2.1)
Пусть волновые числа к у = к у (ю, а, Я) найдены, тогда общее решение уравнения (1.3) имеет вид
4
и (х) = ЕСиУ (х), иу = ехр (кух) (.2)
у=1
где и у (х) — искомые собственные функции задачи (1.3), ку = Ку (ю, а, Я) — искомые волновые числа.
Подставляя (2.2) в граничные условия (1.3), получим однородную систему линейных уравнений относительно неизвестных постоянных Су. Для нетривиальности решения этой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель Б был равен нулю:
Б =
1 1 1 1
К1 к 2 к 3 к 4
К1 е 1 К 2 е 2 К3 е 3 К4 е 4
К1 к1 е 1 К2 к 2 е 2 К3 к3 е 3 К 4 к 4 е 4
= 0 (2.3)
Вековое уравнение (2.3) определяет вещественные собственные частоты юп = юп (а,Я), поскольку четыре комплексные зависимости ку (ю,а,Я) считаются известными согласно (2.1). Решение векового уравнения (2.3) является основной вычислительной проблемой проводимого исследования.
Для нахождения собственных форм, т.е. постоянных Су, каждая собственная частота юп должна быть подставлена в однородную систему уравнений, следующую из (1.3) и (2.2):
4 4 4 4
I Суиу (0) = X Суиу (1) = X Суи'у (0) = X Суи'у (1) = 0
у =1 у =1 у =1 у =1
Одну из постоянных Су ^ 0 можно задать пока произвольной и в дальнейшем определить из условия нормировки. После нахождения всех Су собственная комплексная форма записывается в виде
U„ (юв, x) = £CjUj (юв, x) = Ф„ (x) + (У „ (x)
j=1
Неподвижный наблюдатель видит форму колебаний, соответствующую частоте ю„, которая на основании (1.4) задается выражением
un (x, т) = Фn cos п sin (Йпт (2.4)
При а = 0 и R = 0 собственные функции Un (x) действительны и совпадают с собственными функциями стержня с жестко защемленными концами.
Картина колебаний согласно (2.4) существенно отличается от стандартной, представляющей собой систему стоячих волн с (n -1) -й внутренними неподвижными узловыми точками. Эффекты, описываемые (2.4), объясняются несамосопряженностью краевой задачи (1.3) (см. также [4, 6]).
3. Алгоритм вычисления собственных частот. Если R = 0, то характеристическое уравнение (2.1) допускает факторизацию и его корни Kj находятся в явном виде как функции частоты ю. Для вещественных собственных частот юп (а) получается довольно простое вековое уравнение, которое решается одним из численных методов [4, 5].
Если R ф 0, то корни характеристического уравнения находятся с помощью формул Феррари. Последние, по мнению авторов, почти не применялись в задачах математической физики и механики (одним из редких исключений является работа [6]).
Согласно формулам Феррари корни Kj (ю, a, R) уравнения (2.1) при Im Ъ = 0 могут быть представлены в виде
к1;2 = ±b - im, к3;4 = i(m ± Ъ2) (3.1)
В этом случае вековое уравнение (2.3) можно записать в виде трансцендентного уравнения
^ 2 ^ 2 ^ 2
d (ю) = ch Ъ1 cos Ъ2--1-2sh Ъ1 sin Ъ2 - cos2m = 0 (3.2)
2Ъф2
Зависимости величин Ъу, Ъ и m от параметров ю, а и R не выписаны из соображений краткости записи уравнения (3.2). Для численного решения уравнения (3.2) для исключения быстро (экспоненциально) растущих коэффициентов его целесообразно переписать в виде
2 2 2
it \ , 4m + Ъ1 -Ъ2 ,, . . cos2m n <ii\
d (ю) = cos Ъ2--1--th Ъ1sin Ъ2--= 0 (3.3)
2Ъ1Ъ2 ch Ъ1
Если Ki 2 = ±(Ъ1 - im (замена Ъ ^ Ъ), то вековое уравнение (3.2) примет вид ^ 2 ^ 2 ^ 2
d (ю) = cos Ъ1 cos Ъ2--1-2sin Ъ1 sin Ъ2 - cos 2m = 0 (3.4)
2ЪуЪ2
Как уже отмечено выше, величины Ъ1, Ъ2 и m являются (неявными) функциями частоты ш, а все коэффициенты в уравнениях (3.2) и (3.4) действительны. Алгоритм вычисления низших собственных частот юп (a, R) (n = 1,2,...) может быть проведен на основе уравнений (3.2) и (3.4) следующим образом.
Зададим действительное значение частоты ю, предполагая величины параметров а и R фиксированными и достаточно малыми. Согласно формулам Феррари определим
4
36
Q1
27 18
75
q2
50 25
5.0 Фиг. 2
7.5 а 10.0 0
4 8 а 12
Фиг. 3
корни к у (У = 1,2,3,4) и действительные величины Ь, ¿2 и и. Затем подставим их в уравнение (3.2) (или в (3.4)) и вычислим значение функции й(ю). Пусть, например, й (ю) > 0. Изменим ш так, чтобы было й (ю) < 0, и затем на основе метода стрельбы по параметру ю добьемся, чтобы й (ю) = 0 с приемлемой точностью для каждой выбранной моды и = 1,2,... Таким образом, приближенно находится одна ветвь зависимости собственной частоты от скоростного параметра и продоль
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.