СПЕКТР РЕЛЯТИВИСТСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ И ДИПОЛЕЙ ПРИ ИХ СВОБОДНОМ ПАДЕНИИ
В ЧЕРНУЮ ДЫРУ
А. А. Шацкий"*, И. Д. Новиков"Jl. Л. Н. Липатова"
а Астрокослшческий центр, Физический институт им. Лебедева Российской академии наук
117997, Москва, Россия
ь The Nielse Bohr International Academy, The Nielse Bohr Institute DK-2100, Copenhagen, Denmark
Поступила в редакцию 4 декабря 2012 г.
Рассмотрено движение электрических зарядов и диполей, радиально и свободно падающих на черную дыру Шварцшильда. Обратным влиянием электромагнитных полей на черную дыру пренебрегаем. Диполь считаем точечной частицей, поэтому деформацией, связанной с воздействием на него приливных сил, пренебрегаем. Согласно теореме «об отсутствии волос» у черных дыр, мультипольные электромагнитные поля должны полностью излучаться при падении мультиполя в черную дыру. Найден спектр мощности электромагнитного излучения для этих мультиполей (монополя и диполя). Найдены различия в спектрах для разных ориентации падающего диполя. Разработан общий метод нахождения излучаемых мультипольных электромагнитных полей для свободно падающих в черную дыру мультиполей (в том числе и для мультиполей высших порядков — квадруполей и т.д.). Рассчитанные электромагнитные спектры могут быть сопоставлены с наблюдательными данными от черных дыр звездных масс и меньше.
DOI: 10.7868/S0044451013060049 1. ВВЕДЕНИЕ
Как известно (см., например, [1,2]) у черной дыры нет «волос», поэтому все мультипольные моменты от электромагнитных полей исчезают по мере приближения системы зарядов к горизонту черной дыры. Для статичного точечного заряда задача нахождения поля была решена Лннетом [3]. В этой работе было показано, в частности, что поле точечного заряда приближается к полю заряженной черной дыры (с таким же зарядом) по мере приближения заряда к горизонту. Из этого следует, что все мультипольные электрические и магнитные моменты должны излучаться по мере приближения заряда (или системы зарядов или токов) к горизонту черной дыры.
При ускоренном движении монополя (одиночного заряда) потеря энергии происходит главным образом за счет тормозного излучения. Это излучение является дипольным, поскольку его мощность обратно пропорциональна с3 (с скорость света),
* E-mail: shatsldy'fflasc.rssi.ru
а излучаемые компоненты поля обратно пропорциональны с2.
Если же па черную дыру падает массивный диполь, то существование диполыгого излучения в этом случае является неочевидным в связи с тем, что оба заряда диполя двигаются и ускоряются в одном направлении, а знаки этих зарядов противоположные. Однако нарастающая кривизна пространства приводит к излучению именно диполыгого типа (см. разд. 4).
В квадруполыгом приближении можно провести полную аналогию с квадрупольным излучением гравитационных волн при орбитальном движении двух масс (мощность которого обратно пропорциональна с5). В этом случае знаки зарядов (масс) одинаковы, а скорости и ускорения противоположно направлены.
2. ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНО ПАДАЮЩЕЙ ЧАСТИЦЫ
Рассмотрим радиальное, свободное падение заряда или электрического диполя с массой т на черную
дыру Шварцшильда с массой М. Метрика Шварц-шильда имеет вид1);
d.s2 = {1 - '-Л-
г
di2
г
dr"
г2 (dO2 + sin2 0 dtp2). (1)
Здесь гд = 2М радиус горизонта черной дыры Шварцшильда. Как известно, ускоренно двигающийся заряд излучает. При этом в локально малой окрестности заряда, в собственной (сопутствующей заряду) системе отсчета излучение отсутствует2^. В жесткой системе отсчета, покоящейся относительно черной дыры, ускорение массивной частицы3^ определяется известными выражениями (см. работу [4], §87):
du
— Г1 и v?.
ds kJ
(2)
Здесь иг компоненты 4-скорости частицы и Г^ • символы Кристоффеля. Для черной дыры Шварцшильда (см. [4], §§ 100, 102) имеем4''
Г/./.(г) — П9_п (1
2г
Ггг {у)
2г2(1 — Гд/г)
(3)
Г, = - 1
Г.//г, - Гд/Го
i/'-o
1^('ГС) = (г,
• \2 \Sr
Г„ г г - г,
•/'Гр
aU 1 - Гд/Го
1 - Гд/ГС
Ч''(>■, ) = -ф'д/г С - Га/г0.
(4)
Здесь гс (¿) радиус частицы, г0 радиус, с которо-
го начинается падение частицы, а (#) трехмерная
скорость частицы в координатах Шварцшильда.
Здесь выбрана система единиц, в которой скорость света с = 1 и гравитационная постоянная О = 1.
Сопутствующая, свободно падающая система отсчета не является жесткой системой, шитому между ее разными точками всегда существует относительное ускорение, которым можно пренебречь только в локально малой окрестности заряда (в падающем лифте Эйнштейна). Именно в чтом свободно падающем «лифте» и отсутствует излучение от свободно падающего заряда (в приближении малости деформации системы отсчета внутри «лифта» за время от падения).
Масса падающей частицы предполагается пренебрежимо малой по сравнению с массой черной дыры.
Здесь и далее точка будет означать дифференцирование по времени t.
Во многих работах (см., например, [5], § 2.4) приводится закон движения 1(гс) пробной частицы, ра-диально и свободно падающей в поле Шварцшильда с бесконечного радиуса:
t(rc
= const--—
3 \r„
3/2
(5)
Нам потребуется аналогичный закон, но для падения с конечного радиуса Гр.
Приведем здесь оригинальную формулу5 h
t(rc) = фгс(го - гс)(г0/гд - 1) +
(г0 + 2Гд ) s/го/гд - 1 / 2гс
---arccos ( -
г0
+ Гд 111
2\/гс (го-гс)(Гр/Гд-1 )"+г0+гс (Гр/Гд-2)
M'l'c/l-g ~ 1)
. (6)
Таким образом, начальные условия соответствуют тому, что t(rc = Гр) = 0.
Представим, что вдоль всей траектории падающей частицы расположены часы, показывающие шварцшильдовское время t. Но пока световой сигнал от часов (мимо которых пролетает частица) доходит до наблюдателя, проходит еще время А/ —Л/1. Здесь промежуток времени At соответствует расстоянию между частицей (когда она пролетает мимо часов) и начальным ее местоположением (на радиусе Го). А промежуток времени Ati = const соответствует расстоянию между начальным радиусом Гр и удаленным наблюдателем, этот промежуток есть константа.
Согласно [4], §101 для промежутка времени At-имеем
At = Гр ~ Г, + Гд 111
гр
(7)
Здесь и далее предполагается, что удаленный наблюдатель находится почти па той же линии, что и частица. Следовательно, зависимостью от малого угла 0 -С тг между радиус-векторами наблюдателя и частицы в формуле (7) можно пренебречь (в линейном приближении).
Таким образом, измерение удаленным наблюда-
В работе [о] есть аналогичная формула, но для зависимости собственного времени т падающей частицы от радиуса.
толом скорости падения частицы нужно описывать с помощью времени Т(гс) = I + Д£ + Д^:
Т(гс) = ф-с{г0 - rc)(r0/rg - 1) •
(г0 + 2гд) sfr0lrg - 1 ( 2ге
■arccos ( — »'о
Гд Ы
2 \/гс(г0-гс)(г0/гд-1)+г0+гс (г0/гд-2)
1\)(Г, /Гд - 1)
Г0 — Гс + Гд 111
ГО - Гд
Г г- - Г„
const. (8)
Благодаря логарифмам в формулах (6) (8) моменту достижения горизонта падающей частицей соответствует бесконечное время.
Введем необходимые для дальнейшего обозначе-
u = ф -rg/rc, Ь = фгд/гс - гд/г0, ci = y/l -гд/го. Согласно выражениям (6) и (7) имеем
1 Ь + с1
_ __
(1ГС l\ 1 - Гд/Г,
и2Ь
¡■Ч'1'c
drc dT
u2h Ь + сл
О)
(Ю)
(Н)
Важно отметить, что в = 0 при гс = 0 и гс = гд (так же, как и для величины гс).
Физический смысл величины 3 заключается в том, что она является наблюдаемой (удаленным наблюдателем) скоростью падающей частицы.
3. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ
Для вычисления спектральной плотности электромагнитного излучения используем метод, который отличается от метода из работ [6 10].
Спектральная плотность электромагнитного излучения от радиального тока (который течет вдоль оси) определяется выражением (см. [4], §66)
=--Ш—«1г2ао(к1К <1о = 2ж яш в (19. (12)
4тг
Здесь Е'/г () и Н^,(и.') спектральные плотности физических компонент электрического и магнитного полей, ортогональные направлению распространения волны (па бесконечности); и> = квременная компонента нулевого 4-вектора фотона
причем компоненты к/, и ко являются интегралами движения для каждого излученного фотона.
Общерелятивистское обобщение этой формулы имеет вид
¿-/С')/' —
(Fff s/\googu 1) (FgT s/\googr 4тг2
-r2dodw. (13)
При этом спектральные плотности Р™" компонент тензора электромагнитного поля и контравариант-ные компоненты тензора электромагнитного поля
ртп
связаны друг с другом:
F™" = 2 / Fmn охр[+iwt]dt,
(14)
ОО
ртп = 1 /ртпрхр [^¡ШЩ. (15)
7Г .] О
Таким образом, спектральные плотности получаются из компонент поля обычным фурье-преобразованием. Учитывая, что в электромагнитной волне компоненты электрического и магнитного полей равны по модулю, выражение (13) на бесконечности (вдали от черной дыры) можно переписать в виде
¿-/С')/' —
|p0i|2 |J?fl»-|2
-r^dodiv =--^h-i^dodw. (16)
4тг2
4тг2
Таким образом, излучаемые фурье-компоненты поля ¥'1; и Р^Г на бесконечности должны быть обратно пропорциональны квадрату расстояния, для того чтобы удовлетворить условию сохранения энергии электромагнитных волн.
Полная излученная на бесконечность энергия получается интегрированном выражения (16).
4. ИЗЛУЧЕНИЕ ЗАРЯДА
Для нахождения компонент спектральной плотности Р™" электромагнитного поля используем вторую пару общерелятивистских уравнений Максвелла6) (см. [4], §90):
jn(r,t,r0) =
~,Fin) = 4тг >/=&/'", ±^-.6[г-гс(*)]6(вЩ<р). (17)
ПС.
(>' Суммирование ио е ведется ио всем зарядам (для диполя ио первому и второму зарядам).
Здесь = г2 ятв, а ¿> [г — гс(*)] дельта-функ-
ция с особенностью в точке нахождения заряда в момент времени 1.
Правая часть уравнений (17) при г > г0 всегда равна нулю (4-вектор тока =0), поэтому интегрируем компоненту уравнения (17) в пределах [0,0] по в и получаем: о
= 0.
(18)
В линейном приближении по малому углу в <С тг переписываем (18) в виде1'*
г2р01 = _вдг = 0 р^] =
-,;),. У'и),.А, . (19)
Здесь Л, 4-вектор электромагнитного поля падающего заряда в системе отсчета покоящегося удаленного наблюдателя. Падающая частица двигается с
4-скоростыо иг относительно удаленного наблюдателя, поэтому в соответствии с (11) имеем8''
и1
0. о
(20)
_
Здесь и далее стрелка обозначает предел при г/гд —¥ ос.
Для нахождения компонент Л/. и Л,. в системе отсчета
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.