ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2012, № 6, с. 3-14
ТЕОРИЯ СИСТЕМ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 517.977
Для поточечно управляемых линейных автономных дифференциальных систем с соизмеримыми запаздываниями построен динамический регулятор, приводящий исходную систему к дифференциально-разностной системе с конечным спектром. Результаты проиллюстрированы примером.
0. Введение. Рассмотрим линейную автономную дифференциально-разностную систему с соизмеримыми запаздываниями
I = 0,1...; — постоянные п х п-матрицы ( = 0,ш); Ъ — постоянный п-вектор; 0 < к — постоянное
запаздывание; начальная функция п е С([-шк,0],Яп) из банахова пространства непрерывных п-вектор-функций; и — скалярное управление. Далее векторные величины полагаем записанными в столбец, штрих обозначает операцию транспонирования. Невырожденным преобразованием фазовых переменных х = их вектор Ъ можно привести к виду иЬ = еп = [0;...; 0; 1]'. Поэтому считаем, что в (0.1) Ь = еп.
Пусть Л(к) = А + Л{к + ... + Лшкш, Ж(р,Х) = рЕп - Л(Х) — характеристическая матрица, й(р) = = | W(p, е ~рк)| — характеристический квазиполином системы (0.1) (| М| — определитель матрицы М). Множество а корней характеристического уравнения {р е С|й(р) = 0} (С — множество комплексных чисел) называют спектром системы (0.1). Считаем, что спектр исходной системы (0.1) бесконечен. Замкнем систему (0.1) динамическим регулятором
|и(0 = и(0 - (а-"1(А,)х1(0 +... + ат(к)Х"Ш (0 3)
\йЩ = 7 '(Х)х«) + Г(Х)й(1), ■
где й(!) = ео1[й(0,..., й(гЛт, если г > 1; й(!) = 0, если г = 0; 7'(К) = ШК),..., Ш\ 7' (V =
= [/п+10*\ (^)] — векторные полиномы, подлежащие определению.
Цель настоящей работы — обратной связью по состоянию (0.3) привести систему (0.1) к системе с конечным спектром так, чтобы замкнутая система осталась системой запаздывающего типа. В таком случае систему (0.1) будем называть [1] спектрально приводимой, а рассматриваемую задачу — задачей спектральной приводимости. Системы с конечным спектром по сути — конечномерные системы, поэтому исследование таких систем упрощается. В частности, успокаивающие управления для систем с конечным спектром можно строить в классах простейших функций. Если ввести вспомогательные переменные у1(!) = й(!),..., уг(!) = й{г-1)(0, то
х(!) = Л + Л{К + ... + ЛшХш)х(!) + ЬйЦ), ! > 0, х(Г) = п(0, 1 е [-шк, 0].
(0.1) (0.2)
Здесь х — п-вектор-столбец решения уравнения (0.1) (п > 2); X — оператор сдвига: к'х(!) = х( 1 - ¡к),
й() = У1() - (ап1(Х)х1() + ... + апп(Х)Хп()), у() = У2(1),
(0.4)
1УД0 = 7 'Ш!) + 7 (0-
Здесь у(!) = ео1[у1(!),..., уг(!)], если г > 1; у(() = 0, если г = 0.
Замечание 1. Ввиду иЦ) = у() - (ап1(к)х1{1) + ... + апп(к)хп^)) п-е уравнение замкнутой системы (0.1), (0.4) запишем как хп^) = у^). Поэтому впредь будем полагать последнюю строку матрицы Л(Х) = ||ау(^)|| нулевой: ап;(Х) = 0, у = 1, п, и искать регулятор в виде
и(0 = уМ У1(0 = У2(0, Уг(0 = /+ 7'(Ш).
Таким образом, матрица замкнутой системы (0.1), (0.4) порядка N = п + г имеет вид
A(X) =
" MX)
an-1,1(X) 0
0
. т
MX)
0
an-i,n(X) 0 0 1
0
0
fn(X) fn+i(X)
0
0 0
1
fn+r (X).
и замкнутая система, как и исходная система (0.1), — запаздывающего типа.
1. Постановка задачи. Пусть 1¥(р,Х) = pEN - Л(Х) — характеристическая матрица, й(р) = = 11¥(р, е ~рН) — характеристический квазиполином замкнутой системы (0.1), (0.4). Требуется выбрать в (0.4) полиномы /¡(к),I = 1, N, так, чтобы й(р) = (р - р1)...(р - pN), где aN = [р{ е С,/ = 1,N — некоторый конечный спектр замкнутой системы (0.1), (0.4) (комплексные р{ входят в аN сопряженными парами). Задача управления спектром системы (0.1) возникла в связи с проектированием систем с заданными свойствами, в частности, в связи с задачей стабилизации [2, 3]. В работе [3] задача стабилизации сводится к полной управляемости конечномерной подсистемы [4], соответствующей неустойчивой части спектра в обобщенном собственном подпространстве системы (0.1). Затем эта задача была обобщена как задача спектральной управляемости — полной управляемости конечномерной подсистемы, соответствующей всякому спектральному значению системы (0.1). Критерий спектральной управляемости имеет [5] вид
rank
\pEn - (Л + Ae-ph + ... + Ame-pmh),b] = nVp G C.
(1.1)
Управление u(t), t > 0, называют [6] успокаивающим для начального состояния (0.2), если x(t) = 0, u(t) = 0, t > t1, где t1 > 0 — некоторый момент времени. Если успокаивающее управление существует для всякого начального состояния (0.2), то систему (0.1) называют полностью управляемой. Условие спектральной управляемости (1.1) обеспечивает [7] системе (0.1) также и полную управляемость. В связи с работой [3] возникла [8] также задача замены конечной самосопряженной части спектра системы (0.1) произвольным аналогичным набором. Было установлено, что для системы (0.1) условие (1.1) необходимо и достаточно [8, 9] для разрешимости данной задачи.
Основная часть исследований по замыканию системы (0.1) посвящена [10—12] задаче FSA (finite spectrum assignment) — назначения произвольного самосопряженного конечного спектра. В [10] доказано, что для разрешимости задачи FSA в классе регуляторов с распределенным запаздыванием необходимо, чтобы система была спектрально управляема. Далее было установлено [11], что условие (1.1) и достаточно для разрешимости задачи FSA в классе регуляторов с распределенным запаздыванием. Численная реализация такого регулятора сложна, поэтому возникает вопрос: каковы возможности управления системой (0.1) в классе дифференциально-разностных регуляторов?
Задача спектральной приводимости системы (0.1) в классе дифференциально-разностных регуляторов изучалась в [1], где показано, что условие (1.1) достаточно для спектральной приводимости системы (0.1). Там же обосновано необходимое условие спектральной приводимости системы (0.1) в классе регуляторов (0.4): равенство (1.1) может нарушаться только в конечном числе точек
Pb = {Pi е C, i = 1, n1 |rank[W(pi), b] < n}.
(1.2)
Проверка этого условия может быть выполнена [13] посредством вычисления рангов полиномиальных матриц, выражаемых через матрицы системы (0.1). В [1] также показано, что для си-
стемы (0.1) с соизмеримыми запаздываниями условие (1.2) обеспечивает существование дифференциально-разностного регулятора, приводящего систему (0.1) к системе с конечным спектром, но замкнутая система может оказаться нейтрального или опережающего типа.
Вопросы спектрального приведения системы (0.1) в классе регуляторов вида (0.4) к системе запаздывающего типа изучались в [14]. Там для системы (0.1) с одним запаздыванием (т = 1) обоснована схема получения коэффициентов регулятора (0.4), предполагающая лишь вычисление миноров матриц, получаемых из системы (0.1). Задача полного успокоения системы (0.1) без
запаздывания: А = 0, 1 = 1, т, посредством динамического дифференциально-разностного регулятора решена в [15]. Подход к конструированию регуляторов полного успокоения линейных автономных систем с запаздыванием на основе критерия Винера—Пэли предложен в [16].
В [9] доказано, что для спектральной управляемости системы (0.1) необходимо, чтобы
гаик[Ь,Л(Х)Ь,..., Лп-1(Х)Ь] = пЗХ е С.
(1.3)
В то же время условие (1.3) достаточно (но не необходимо [17]) для выполнения условия (1.2), т.е. достаточно для спектральной приводимости системы (0.1). Под регулярным случаем задачи спектрального приведения системы (0.1) будем понимать наличие условия (1.3), которое необходимо и достаточно [7] для поточечной управляемости системы (0.1).
Система (0.1) называется [7] поточечно управляемой, если для Уа > 0 Зt1 > а + (п - 1)тк, такое, что для Уху е у = 0,у (у — фиксированное натуральное число), и Уру : 0 = р0 < ... < ру < а найдется управление и(}), t > 0, при котором соответствующее решение х(:), t > 0, системы (0.1) обладает свойством х^1 - ру) = Ху, у = 0, у. Управление спектром системы (0.1) при более жестком ограничении
гаик[Ь,Л(Х)Ь,..., Лп-\Х)Ь] = п УХ е С
в классе разностных регуляторов исследовано в [18]. Там обоснована возможность приведения характеристического квазиполинома замкнутой системы к виду
П (р+ш)
1 = 1
где р;(Х), I = 1, п, — произвольные полиномы. В настоящей работе при наличии условия (1.3) строится дифференциально-разностный регулятор (0.4), приводящий систему (0.1) к системе с конечным спектром, который, вообще говоря, не является произвольным (см. разд. 3).
2. Достаточные условия регулятора спектрального приведения. Пусть
Л(Х) =
' аи(Х) ... аы(Х) '
а„-Ц(Х) ... а„-1>п(Х) 0 ... 0
С(Х) = [Ь,Л(Х)Ь,..., Лп-1(Х)Ь].
Ввиду (1.3) 5(Х) = |С(Х)| ф 0 ЭХ е С. Множество корней полинома 8(Х) обозначим Л5 =
= {XI е С, I = 1, ц |8(Х;-) = 0}, VI — их алгебр аич ес ки е кратности. Запишем матрицу размеров N х N (N = п + г)
' ап(Х)
_ ап_!1(Х) Л(Х) = 0
0 0
ащ(Х) 0
ап-1,„(Х) 0 0 1
0 0 0 0
0
п
Обозначим eN = [0;...; 0; 1]' — ^-вектор-столбец, C(X) = [eN, A(X)eN,AN 1(X)eN]. Нетрудно видеть, что в силу (1.3)
rank\eN, A(X)eN,..., AN~l(X)eN] = N 3X e C.
Рассмотрим характеристический полином: |p^N - A(X)| = pN + a1(X)pN-1 + ... + aN(X). Очевидно, что a i(X) = 0, i = n, N. Пусть C(X) = [eN, A(X)eN,..., AN-1(X)eN ], S(X) = C (k)C ~\X), где
A(k) =
0 0 -a N (k) -a N -1(k) тогда [19, с. 54]
0 0
1
-a1(k)_
A(k) = S~\k)A(k)S(k), S ~\k)eN = eN.
(2.1)
Замечание 2. Матрица £ (к) определена кроме ^еЛ8, т.е. кроме, возможно, конечного множества значений X.
Пусть уДХ),..., ун(X) — произвольные полиномы, С(р,Х) = \рЕн - Л(Х)| — характеристический полином матрицы Л(Х), [Л(Х) — Ы-я (последняя) строка матрицы Л(Х). Теорема 1. Для того чтобы
d(p,X) = pN + yA) pN-1 + ... + y n (X),
(2.2)
достаточно Ы-ю строку матрицы Л(Х) взять в виде
[Л(Х)]н = [а N (Х) - У N (Х), ах(Х) - У1&)]? ЛХ).
Доказательство. Характеристический полином С1(р, X) матрицы Л(Х), исключая X & Л 8, такой же как и у матрицы
(
s 'x(x)a(x)s(:x) = s ~х(х)
A(X) +
0
0
= S _1(X)A(X)S(X) + S _1(Х)
0 ... 0 [an(X) - yN(X), щ(Х) - Y1(X)]S-\X)_ 0 ... 0
0 ... 0
_an(Х) - yN(Х) ... аДХ) - уДХ)_
S(X) =
= A(X) +
0
0
0 ... 0
an(X) -YN(X) ... аДХ) -Y1(X)_
0
0
1
0
1
-YN(X) -YN-
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.